نفروئید

تولید نفروئید توسط یک دایره نورد

در هندسه ، نفروئید (از یونانی ὁ νεφρός ho nephros ) یک منحنی هواپیمای خاص است که نام آن به معنای شکل کلیه است (مقایسه نفرولوژی ). اگرچه اصطلاح نفروئید برای توصیف منحنی های دیگر استفاده می شد ، اما در این مقاله توسط پروكتور در سال 1878 به این منحنی اعمال شد .

nephroid یک IS منحنی های جبری از درجه 6. این را می توان با آلیاژها یک دایره با شعاع تولید $آ$ در قسمت بیرونی یک دایره ثابت با شعاع $2a$ . از این رو ، نفروئید یک اپی سیکلوئید است .

فهرست

معادلات [ ویرایش ]

Nephroid: تعریف

اگر دایره کوچک شعاع دارد $آ$ ، حلقه ثابت دارای نقطه میانی است $(۰))$ و شعاع $2a$ ، زاویه نورد حلقه کوچک است $\ displaystyle 2 \ varphi$ و نکته ${\ نمایشگر (2a ، 0)}$ نقطه شروع (نمودار را ببینید) سپس یکی می شود

نمایش پارامتری

$\ displaystyle x (\ varphi) = 3a \ cos \ varphi -a \ cos 3 \ varphi = 6a \ cos \ varphi -4a \ cos ^ {3 \ varphi \،}$

$\ displaystyle y (\ varphi) = 3a \ sin \ varphi -a \ sin 3 \ varphi = 4a \ sin ^ {3} \ varphi \، \ qquad 0 \ leq \ varphi <2 \ pi$

درج کردن $\ displaystyle x (\ varphi)$ و $\ displaystyle y (\ varphi)$ به معادله

$\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = 108a ^ {4} y ^ {2}}$

نشان می دهد که این معادله بازنمایی ضمنی از منحنی است.

اثبات نمایش پارامتری

اثبات نمایش پارامتری به راحتی با استفاده از اعداد پیچیده و نمایش آنها به عنوان صفحه پیچیده انجام می شود . حرکت دایره کوچک را می توان به دو چرخش تقسیم کرد. در صفحه پیچیده چرخش یک نقطه $z$ اطراف نقطه ${\ نمایشگر 0}$ (مبدا) توسط یک زاویه $\ واریفی$ را می توان با ضرب نقطه انجام داد $z$ (شماره پیچیده) توسط $\ displaystyle e ^ {i \ varphi}$ . از این رو

چرخش $\ فی _ {3$ اطراف نقطه ${\ Displaystyle 3a$ با زاویه $\ displaystyle 2 \ varphi$ است $\ displaystyle: z \ mapsto 3a + (z-3a) e ^ {i2 \ varphi}$ ،

چرخش $\ Phi_0$ اطراف نقطه ${\ نمایشگر 0}$ با زاویه $\ واریفی$ است $\ displaystyle: \ quad z \ mapsto ze ^ {i \ varphi$ .

یک نقطه $\ displaystyle p (\ varphi)$ از نفروئید با چرخش نقطه ایجاد می شود $2a$ توسط $\ فی _ {3$ و چرخش بعدی با $\ Phi_0$ :

$\ displaystyle p (\ varphi) = \ Phi _ {0} (\ Phi _ {3} (2a)) = \ Phi _ {0} (3a-ae ^ {i2 \ varphi}) = (3a-ae ^ i2 \ varphi}) e ^ {i \ varphi} = 3ae ^ {i \ varphi} -ae ^ {i3 \ varphi$ .

از اینجا یکی می شود

$\ displaystyle {\ fill {array} {cclcccc} x (\ varphi) & = & 3a \ cos \ varphi -a \ cos 3 \ varphi & = & 6a \ cos \ varphi -4a \ cos ^ {3} \ varphi \، && \\ y (\ varphi) & = & 3a \ sin \ varphi -a \ sin 3 \ varphi & = & 4a \ sin ^ {3} \ varphi &. & \ end {array}}$

$\ displaystyle e ^ {i \ varphi = \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi، \ \ cos ^ {2} \ varphi + \ sin ^ 2} \ varphi = 1، \ \ cos 3 \ varphi = 4 \ cos ^ {3} \ varphi -3 \ cos \ varphi، \؛ \ sin 3 \ varphi = 3 \ sin \ varphi -4 \ sin ^ {3} \ varphi$

استفاده شده. توابع مثلثاتی را مشاهده کنید .)

اثبات بیان ضمنی

با

$\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2} = (3a \ cos \ varphi -a \ cos 3 \ varphi) ^ {2} + (3a \ sin \ varphi -a \ sin 3 \ varphi) ^ {2} -4a ^ {2} = \ cdots = 6a ^ {2} (1- \ cos 2 \ varphi) = 12a ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi$

یکی می شود

$\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = (12a ^ {2}) ^ {3} \ sin ^ {6} \ varphi = 108a ^ 4} (4a \ sin ^ {3} \ varphi) ^ {2} = 108a ^ {4} y ^ {2} \.}$

جهت گیری دیگر

اگر گیره ها بر روی محور y باشد ، نمایش پارامتری است

$\ displaystyle x = 3a \ cos \ varphi + a \ cos 3 \ varphi، \ quad y = 3a \ sin \ varphi + a \ sin 3 \ varphi).$

و ضمنی:

$(x ^ 2 + y ^ 2-4a ^ 2) ^ 3 = 108a ^ 4x ^ 2.$

خصوصیات متریک [ ویرایش ]

برای نفروئید بالاتر از

arclength است $\ نمایشگر L = 24a ،$
حوزه $\ displaystyle A = 12 \ pi a ^ {2} \$ و
شعاع خمیدگی است $\ displaystyle \ rho = | 3a \ sin \ varphi |.}$

اثبات این عبارات از فرمولهای مناسب در منحنیها ( طول قوس ، مساحت و شعاع انحنای ) و بازنمایی پارامتری در بالا استفاده می کنند

$\ displaystyle x (\ varphi) = 6a \ cos \ varphi -4a \ cos ^ {3} \ varphi \،$

$\ displaystyle y (\ varphi) = 4a \ sin ^ {3} \ varphi$

و مشتقات آنها

$\ displaystyle {\ dot {x}} = - 6a \ sin \ varphi (1-2 \ cos ^ {2} \ varphi) \، \ quad \ {\ ddot {x}} = - 6a \ cos \ varphi ( 5-6 \ cos ^ {2} \ varphi) \ ،$

$\ displaystyle {\ dot {y}} = 12a \ sin ^ {2} \ varphi \ cos \ varphi \ quad، \ quad \ quad \ quad \ quad {\ ddot {y}} = 12a \ sin \ varphi (3 \ cos ^ {2} \ varphi -1) \.$

اثبات طول قوس

$\ displaystyle L = 2 \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ sqrt {{\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2}}} \؛ d \ varphi = \ cdots = 12a \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ varphi \؛ d \ varphi = 24a$ .

اثبات منطقه

$\ displaystyle A = 2 \ cdot {\ tfrac {1} {2}} | \ int _ {0} ^ {\ pi} [x {\ dot {y}} - y {\ dot {x}}] \ ؛ d \ varphi | = \ cdots = 24a ^ {2} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {2} \ varphi \؛ d \ varphi = 12 \ pi a ^ {2}}$ .

اثبات شعاع خمیدگی

$\ displaystyle \ rho = \ left | {\ frac {\ left ({{\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2}} \ Right) ^ {\ frac {3 {2}}} {dot \ dot {x}} {\ ddot {y}} - {\ dot {y}} {\ ddot {x}}} right \ Right | = \ cdots = | 3a \ sin \ واریفی |.$

نفروئید به عنوان پاکت مداد دایره

نفروئید به عنوان پاکت مداد دایرهها [ ویرایش ]

بگذار $c_ {0$ یک دایره و ${\ نمایشگر D_ {1} ، D_ {2}$ نقاط قطر ${\ نمایشگر d_ {12}}$ ، سپس پاکت مداد حلقه ها ، که دارای نقاط میانی هستند $c_ {0$ و در حال لمس کردن هستند ${\ نمایشگر d_ {12}}$ یک nephroid با لت ${\ نمایشگر D_ {1} ، D_ {2}$ .

اثبات

اجازه دهید $c_ {0$ دایره باشید $\ displaystyle (2a \ cos \ varphi، 2a \ sin \ varphi)}$ با نقطه میانی $(۰))$ و شعاع $2a$ . قطر ممکن است بر روی محور x باشد (نمودار را ببینید). مداد حلقه ها دارای معادلات هستند:

$\ displaystyle f (x، y، \ varphi) = (x-2a \ cos \ varphi) ^ {2} + (y-2a \ sin \ varphi) ^ {2} - (2a \ sin \ varphi) ^ { 2} = 0 \}$

شرط پاکت است

$\ displaystyle f _ {\ varphi (x، y، \ varphi) = 2a (x \ sin \ varphi -y \ cos \ varphi -2a \ cos \ varphi \ sin \ varphi) = 0 \}$

به راحتی می توان نقطه نفروئید را بررسی کرد $\ displaystyle p (\ varphi) = (6a \ cos \ varphi -4a \ cos ^ {3} \ varphi \؛، \؛ 4a \ sin ^ {3} \ varphi)$ یک راه حل سیستم است $\ displaystyle f (x، y، \ varphi) = 0، \؛ f _ {\ varphi (x، y، \ varphi) = 0$ و از این رو نقطه ای از پاکت مداد حلقه ها.

نفروئید به عنوان پاکت یک مداد از خطوط [ ویرایش ]

nephroid: tangents به عنوان وترهای یک دایره ، اصل

nephroid: مماس به عنوان آکورد یک دایره

روش مشابه زیر تولید قلبی به عنوان پاکت مداد خطوط است:

یک دایره رسم کنید ، محیط آن را به قسمت های مساوی مساوی تقسیم کنید {\ نمایشگر 3N $3N$ نقاط (نمودار را ببینید) و تعداد متوالی آنها را شماره گذاری کنید.
آکورد را بکشید: $\ displaystyle (1،3)، (2،6)، ....، (n، 3n)، ....، (N، 3N)، (N + 1،3)، (N + 2، 6) ، .... ،$ . (یعنی: نکته دوم با سرعت سه برابر منتقل می شود.)
پاکت از این آکورد nephroid است.

اثبات

مورد زیر از فرمول های مثلثاتی برای استفاده می کند

$\ displaystyle \ cos \ alpha + \ cos \ beta، \ \ sin \ alpha + \ sin \ beta، \ \ cos (\ alpha + \ beta) ، \ \ cos 2 \ alpha$ . به منظور ساده نگه داشتن محاسبات ، اثبات آن برای نفروبید همراه با cusps بر روی محور y داده می شود.

معادله مماس

برای نفروئید با نمایش پارامتری

$\ displaystyle x = 3 \ cos \ varphi + \ cos 3 \ varphi، \؛ y = 3 \ sin \ varphi + \ sin 3 \ varphi$ :

از این رو یک بردار عادی تعیین می شود
$\ displaystyle {\ vec {n}} = ({\ dot {y}}، - {\ dot {x}}) ^ {T}$ ، در ابتدا.
معادله مماس

$\ displaystyle {\ dot {y}} (\ varphi) \ cdot (xx (\ varphi)) - {\ dot {x}} (\ varphi) \ cdot (yy (\ varphi)) = 0$ است:

$\ displaystyle (\ cos 2 \ varphi \ cdot x \ + \ \ sin 2 \ varphi \ cdot y) \ cos \ varphi = 4 \ cos ^ {2} \ varphi \.}$

برای $\ displaystyle \ varphi = {\ tfrac {\ pi} {2}}، {\ tfrac {3 \ pi} {2}}}$ یکی از گیره های نفروئید می شود ، جایی که هیچ مماس وجود ندارد. برای

$\ displaystyle \ varphi \ neq {\ tfrac {\ pi} {2}}، {\ tfrac {3 \ pi} {2}}}$ می توان تقسیم کرد $\ cos \ varphi$ بدست آوردن

$\ displaystyle \ cos 2 \ varphi \ cdot x + \ sin 2 \ varphi \ cdot y = 4 \ cos \ varphi \.}$

معادل وتر

به دایره با نقطه میانی

$(۰))$ و شعاع $4$ : معادله وتر حاوی دو نکته $\ displaystyle (4 \ cos \ تتا ، 4 \ sin \ تتا) ، \ (4 \ cos {\ رنگ {قرمز} 3} \ تتا ، 4 \ sin {\ رنگ {قرمز} 3} \ تتا))$ است:

$\ displaystyle (\ cos 2 \tata \ cdot x + \ sin 2 \ theta \ cdot y) \ sin \ theta = 4 \ cos \ theta \ sin \ theta \.}$

برای $\ displaystyle \ تتا = 0 ، \ pi$ وتر تا نقطه انحطاط می کند. برای $\ displaystyle \tata \ neq 0، \ pi$ می توان تقسیم کرد $\ گناه \ تتا$ و معادل وتر را بدست می آورد:

$\ displaystyle \ cos 2 \ theta \ cdot x + \ sin 2 \ theta \ cdot y = 4 \ cos \ theta \.}$

دو زاویه $\ displaystyle \ varphi، \ theta$ متفاوت تعریف شده اند $\ واریفی$ نیمی از زاویه نورد است ، $\ تتا$ پارامتر دایره است که آکورد آن مشخص می شود) ، برای $\ displaystyle \ varphi = \ تتا$ یکی همان خط می شود. از این رو ، هر وتر از دایره فوق برای نفروئید و

nephroid پاکت نامه آکورد حلقه است.

نفروئید به عنوان یک نازک از نیمی از دایره [ ویرایش ]

نفروئید به عنوان سوز آور یک دایره: اصل

نفروئید به عنوان سوز آور نیمی از دایره

ملاحظات ساخته شده در بخش قبلی را اثبات برای این واقعیت است، که تند تند از نیمی از یک دایره یک nephroid است.

اگر در هواپیما پرتوهای نور موازی نیمی از بازتابنده از دایره را ملاقات کنند (نمودار را مشاهده کنید) ، سپس پرتوهای بازتاب شده برای یک نفروئید مماس هستند.

اثبات

این دایره ممکن است منشاء آن به عنوان نقطه میانی باشد (مانند قسمت قبل) و شعاع آن است {\ نمایشگر 4 $4$ . دایره نمایش پارامتری دارد

$\ displaystyle k (\ varphi) = 4 (\ cos \ varphi، \ sin \ varphi) \.$

مماس در نقطه دایره $\ displaystyle K: \ k (\ varphi)$ دارای بردار معمولی است $\ displaystyle {\ vec {n}} _ {t} = (\ cos \ varphi، \ sin \ varphi) ^ {T}$ . پرتوی بازتاب شده دارای بردار عادی است (نمودار را ببینید) $\ displaystyle {\ vec {n}} _ {r} = (\ \ cos {\ color {red} 2} \ varphi، \ sin {\ color {red} 2 \ varphi) ^ {T}}$ و حاوی نقطه دایره $\ displaystyle K: \ 4 (\ cos \ varphi، \ sin \ varphi)}$ . از این رو پرتوی منعکس شده بخشی از خط با معادله است

$\ displaystyle \ cos {\ color {red} 2} \ varphi \ cdot x \ + \ \ sin {\ color {red} 2} \ varphi \ cdot y = 4 \ cos \ varphi \،$

که به نفروئید بخش قبلی در نقطه مماس است

$\ displaystyle P: \ (3 \ cos \ varphi + \ cos 3 \ varphi، 3 \ sin \ varphi + \ sin 3 \ varphi)$ (بالا را ببین).

نفروئید سوز آور در انتهای فنجان چای

تکامل و درگیری یک نفروئید [ ویرایش ]

نفروئید و مژگان تکامل یافته آن
: نقطه با دایره نوسان کننده و مرکز انحنای آن

تکامل [ ویرایش ]

تکامل از یک منحنی منبع مراکز انحنای است. در جزئیات: برای یک منحنی $\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {c} s (s)$ با شعاع انحنا ${\ displaystyle \ rho (s)$ تکامل بازنمایی دارد

${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {c} s (s) + \ rho (s) {\ vec {n}} (s).$

با (بازدید کنندگان) ${\ displaystyle \ vec {n}} (بازدید کنندگان)$ واحد مناسب گرا معمولی است.

برای نفروئید یکی می شود:

تکامل از یک nephroid نیم nephroid به عنوان بزرگ است و چرخش 90 درجه (شکل زیر).

اثبات

نفروئید همانطور که در تصویر نشان داده شده است نمایه پارامتری دارد

$\ displaystyle x = 3 \ cos \ varphi + \ cos 3 \ varphi، \ quad y = 3 \ sin \ varphi + \ sin 3 \ varphi \،$

بردار عادی واحد که به مرکز انحناء اشاره دارد

$\ displaystyle {\ vec {n}} (\ varphi) = (- \ cos 2 \ varphi، - \ sin 2 \ varphi) ^ {T}}$ (بخش بالا را ببینید)

و شعاع انحنا $\ displaystyle 3 \ cos \ varphi$ (بخش در مورد خصوصیات متریک). از این رو تکامل دارای این نمایش است:

$\ displaystyle x = 3 \ cos \ varphi + \ cos 3 \ varphi -3 \ cos \ varphi \ cdot \ cos 2 \ varphi = \ cdots = 3 \ cos \ varphi -2 \ cos ^ {3} \ varphi،}$