epitrochoid (قرمز) با شعاع دایره ثابت R = 3 ، شعاع دایره نورد r = 1 و فاصله d = 1/2 از مرکز دایره نورد تا نقطه تولید

hypotrochoid (قرمز) با R = 100 ، r = 200 ، d = 100

در هندسه ، یک چرخه زاد محور است رولت تشکیل شده توسط نورد دایره در امتداد یک دایره دیگر. یعنی ، این مسیری است که توسط یک نقطه به یک دایره وصل می شود زیرا دایره بدون لغزش در یک دایره ثابت می چرخد. این اصطلاح شامل epitrochoid و hypotrochoid است . مرکز این منحنی تعریف شده است که مرکز دایره ثابت شده است.

از طرف دیگر ، یک تروکوئید محور می تواند به عنوان مسیری که با جمع دو بردار ردیابی می شود ، تعریف شود که هر یک با یکنواخت در یک دایره حرکت می کنند. به طور خاص ، یک trochoid در مرکز یک منحنی است که می تواند در صفحه پیچیده توسط آن پارامتر شود

z = r_ {1} e ^ {{i \ omega _ {1} t}} + r_ {2} e ^ {{i \ omega _ {2} t}}، \،

یا در هواپیمای دکارتی توسط

{\ displaystyle x = r_ {1} \ cos (\ omega _ {1} t) + r_ {2} \ cos (\ omega _ {2} t)،}

{\ displaystyle y = r_ {1} \ sin (\ omega _ {1} t) + r_ {2} \ sin (\ omega _ {2} t)، \،

جایی که

r_ {1}، r_ {2}، \ omega _ {1}، \ omega _ {2} \ neq 0، \ quad \ omega _ {1} \ neq \ omega _ {2}. \،

اگر\ امگا _ {1} / \ امگا _ {2منطقی است و سپس منحنی بسته و جبری است. در غیر این صورت ، منحنی ها در اطراف مبدأ تعداد نامحدودی بار می کنند ، و در ناحیه با شعاع بیرونی متراکم می شوند| r_ {1} | + | r_ {2} | و شعاع داخلی|| r_ {1} | - | r_ {2} ||.

 

فهرست

اصطلاحات [ ویرایش ]

بیشتر نویسندگان از epitrochoid به معنای رولت دایره ای می چرخند که به دور یک دایره دیگر می چرخد ، hypotrochoid به معنای رولت دایره ای است که در اطراف یک دایره دیگر می چرخد و trochoid به معنای رولت دایره ای است که در امتداد یک خط می چرخد . با این حال ، برخی نویسندگان (به عنوان مثال [1] پیروی از F. Morley ) از "trochoid" به معنای رولت دایره ای می چرخند که در امتداد دایره دیگر قرار دارد ، اگرچه این با اصطلاحات رایج تر مغایر است. اصطلاح چرخهزاد محور به عنوان به تصویب رسید [2] ترکیب epitrochoid و درونچرخهزاد به یک مفهوم واحد برای ساده کردن نمایش ریاضی و مطابق با استاندارد موجود است.

اصطلاح منحنی Trochoidal epitrochoids ، hypotrochoids و trochoids را توصیف می کند (نگاه کنید به [3] ). یک منحنی trochoidal را می توان به عنوان مسیری که از مجموع دو بردار ردیابی می شود تعریف کرد ، هر کدام با یک سرعت در یک دایره یا در یک خط مستقیم حرکت می کنند (اما هر دو در یک خط حرکت نمی کنند).

در معادلات پارامتری ارائه شده در بالا ، منحنی اپی تروکوئید اگر است \ امگا _ {1 و \ امگا _ {2 اگر علائم متضاد دارند ، یک علامت یکسان و یک هیپوتروکوئید دارند.

نسل دوگانه [ ویرایش ]

بگذارید یک دایره شعاع باشد ب روی یک دایره شعاع چرخیده شوید آ، و یک نکته پبه دایره نورد وصل شده است. منحنی ثابت را می توان به عنوان پارامتر کردf (t) = ae ^ {{it}} و منحنی نورد می تواند به عنوان هر دو پارامتر شود r (t) = be ^ {{i (a / b) t} یا r (t) = - be ^ {{- i (a / b) t}}بسته به اینکه پارامتر کردن دایره را در همان جهت یا در جهت مخالف با پارامتر کردن منحنی ثابت طی می کند. در هر صورت ممکن است از آنها استفاده کنیمr (t) = ce ^ {{i (a / c) t} جایی که| ج | = ب. اجازه دهیدپ به دایره نورد در وصل شودد. سپس با استفاده از فرمول رولت ، نقطه منحنی را كه توسط:

{\ شروع {تراز شده} f (t) + (dr (t)) {f '(t) \ over r' (t)} & = ae ^ {{it}} + (d-ce ^ {{i ( a / c) t}}) {aie ^ {{it} over \ over aie ^ {{i (a / c) t}}} \\ & = (ac) e ^ {{it} + de ^ { {i (1 / a / c) t}}. \ end {تراز شده}}

این پارامتری است که در بالا آورده شده است \ r_ {1} = ac، r_ {2} = d، \ امگا _ {1} = 1، \ omega _ {2} = 1-a / c.

برعکس ، داده شده استr_ {1، ، و \ امگا _ {2، منحنی r_ {1} e ^ {{i \ omega _ {1} t}} + r_ {2} e ^ {{i \ omega _ {2} t}} می تواند به عنوان مجددا اندازه گیری شودr_ {1} e ^ {{it}} + r_ {2} e ^ {{i (\ omega _ {2} / \ omega _ {1}) t}} و معادلات r_ {1} = ac،r_ {2} = d،\ omega _ {2} / \ omega _ {1} = 1-a / c قابل حل است  a}آ، ج و د به دست آوردن a = r_ {1} (1- \ omega _ {1} / \ omega _ {2}) ، \ c = -r_ {1} {\ omega _ {1} / \ omega _ {2}}، \ d = r_ {2.

منحنیr_ {1} e ^ {{i \ omega _ {1} t}} + r_ {2} e ^ {{i \ omega _ {2} t}} اگر شاخصهای 1 و 2 معکوس شوند اما مقادیر حاصل از آن یکسان است باقی می ماند آ، ج و د، به طور کلی ، این کار را نکنید. این قضیه نسل Dual را تولید می کند که بیان می کند ، به استثنای مورد ویژه که در زیر مورد بحث قرار گرفته است ، هر ترووئید محور را می توان از دو طریق اساساً متفاوت به عنوان رولت یک دایره در حال چرخش بر روی دایره دیگر تولید کرد.

مثالها [ ویرایش ]

قلبی [ ویرایش ]

کاردیود است پارامتر2e ^ {{it}} - e ^ {{2it}}. بگیرr_ {1} = 2 ، r_ {2} = - 1، \ omega _ {1} = 1، \ omega _ {2} = 2 به دست آوردن a = 2 (1-1 / 2) = 1، c = -2 (1/2) = - 1، d = -1. دایره ها هر دو شعاع 1 دارند و از آنجا که c <0 ، دایره نورد در اطراف دایره ثابت چرخیده است. نقطه p از واحد نورد 1 واحد است بنابراین در محیط اطراف آن قرار دارد. این تعریف معمول قلبی است. همچنین ممکن است منحنی را به عنوان پارامتر کنیم-e ^ {{2it}} + 2e ^ {{it}}بنابراین ممکن است ما نیز عمل کنیم r_ {1} = - 1 ، r_ {2} = 2 ، \ امگا _ {1} = 2 ، \ امگا _ {2} = 1 به دست آوردن .a = -1 (1-2) = 1 ، b = - (- 1) (2) = 2، d = 2.در این حالت دایره ثابت دارای شعاع 1 است ، دایره نورد دارای شعاع 2 است و از آنجا که c> 0 ، دایره نورد به دور حلقه ثابت به روش حلقه هولا می چرخد . این تعریف کاملاً متفاوت از منحنی یکسان ایجاد می کند.

الیپس [ ویرایش ]

اگر\ امگا _ {1} = - \ امگا _ {2 سپس منحنی پارامتری را بدست می آوریم r_ {1} e ^ {{it}} + r_ {2} e ^ {{- it، یا x = (r_ {1} + r_ {2}) \ cos t، y = (r_ {1} -r_ {2}) \ sin t \، \!. اگ| r_ {1} | \ neq | r_ {2} |، این معادله بیضی با محورها است2 | r_ {1} + r_ {2} | و 2 | r_ {1} -r_ {2} |. ارزیابیآ، جو دمثل قدیما؛ یا a = 2r_ {1}، c = r_ {1}، d = r_ {2} \، \! یا a = 2r_ {2}، c = r_ {2}، d = r_ {1} \، \!. این دو روش مختلف برای ایجاد بیضی را ایجاد می کند ، که هر دو شامل یک دایره ای هستند که درون یک دایره با دو برابر قطر می چرخند.

خط مستقیم [ ویرایش ]

اگر علاوه بر این ، در کنارr_ {1} = r_ {2} = r، سپس a = 2r، b = r، c = r \، \!در هر دو حالت و دو روش تولید منحنی یکسان هستند. در این حالت منحنی به سادگی استx = 2r \ cos t، y = 0 \، \! یا بخشی از محور x.

به همین ترتیب ، اگرr_ {1} = r، r_ {2} = - r \، \!، سپس a = 2r، c = r، d = -r \، \! یا a = -2r، c = -r، d = r \، \!. دایره در مورد منشأ متقارن است ، بنابراین هر دوی اینها یک جفت دایره به هم می دهند. در این حالت منحنی به سادگی استx = 0 ، y = 2r \ sin t \، \!: بخشی از محور y.

قضیه \ omega _ {1} = - \ omega _ {2}، \ | r_ {1} | = | r_ {2} |یک استثناء (در واقع تنها استثنا) برای قضیه نسل دوگانه است که در بالا گفته شد. این مورد منحط ، که در آن منحنی یک بخش مستقیم است ، زیربنای زوج طوسی است .

منابع