ادامه معادلات ناویر-استوکس

معادلات پیوستار عمومی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اشتقاق معادلات ناویه-استوکس

همچنین نگاه کنید به: معادله حرکت موشی Cauchy form فرم حفاظت

معادله حرکت Navier-Stokes را می توان به عنوان شکل خاصی از معادله حرکت کشی که شکل کلی همرفتی آن است ، مشتق کرد .

$\ frac {D {\ mathbf {u}}} {Dt}} = {\ frac 1 \ rho} \ nabla \ cdot {\ boldsymbol \ sigma}} + {\ mathbf {g}$

با تنظیم تنش استرس کوشی $\ boldsymbol \ sigma$ مبلغ یک اصطلاح ویسکوزیته است $\ boldsymbol \ tau}}$ ( استرس انحرافی ) و یک اصطلاح فشار $\ displaystyle -p \ mathbf {I}$ (استرس حجمی) که به آن می رسیم

معادله حرکت کشی (شکل همرفت)

$\ displaystyle \ rho {\ frac {D \ mathbf {u}} t Dt}} = - \ nabla p + \ nabla \ cdot {\ boldsymbol \ tau}} + \ rho \، \ mathbf {g}}$

جایی که

$\ frac {D} {Dt}}$ است مشتق مواد ، تعریف شده به عنوان $\ displaystyle {\ frac {\ جزئی} {\ جزئی t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla}$ ،
$.رو$ چگالی است ،
شما سرعت جریان هستید ،
$\ nabla \ cdot$ است واگرایی ،
ص است فشار ،
تی است زمان ،
$\ boldsymbol \ tau}}$ است تانسور تنش deviatoric ، که دارای سفارش دو،
g نمایانگر شتاب های بدن است که بر روی زنجیره عمل می کند ، به عنوان مثال گرانش ، شتاب های اینرسی ، شتاب های الکترواستاتیک و غیره ،

در این شکل ، بدیهی است که در فرض یک مایع نامرئی - استرس انحرافی- معادلات کوشی به معادلات اویلر کاهش نمی یابد .

با فرض حفظ جرم می توانیم از معادله تداوم جرم (یا به سادگی معادله پیوستگی) استفاده کنیم ، $\ displaystyle {\ frac {\ جزئی \ rho} {\ جزئی t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \، \ mathbf {u}) = 0$ برای رسیدن به فرم حفاظت از معادلات حرکت. این اغلب نوشته می شود: [3]

معادله حرکت کشی (فرم حفاظت)

$\ displaystyle {\ frac {\ جزئی = - \ nabla p + \ nabla \ cdot \ boldsymbol \ tau}} + \ rho \، \ mathbf {g}$

که در آن ⊗ است کالا بیرونی :

$\ displaystyle \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} = \ mathbf {u} \ mathbf {v} ^ {\ mathrm {T}}.$

سمت چپ معادله شتاب را توصیف می کند ، و ممکن است از اجزای وابسته به زمان و همرفت (همچنین اثرات مختصات غیر اینرسی در صورت وجود) تشکیل شود. سمت راست معادله در واقع جمع بندی اثرات هیدرواستاتیک ، واگرایی از استرس انحرافی و نیروهای بدن (مانند گرانش) است.

تمام معادلات تعادل غیر نسبیتی ، مانند معادلات ناویه-استوکس ، می توانند با شروع معادلات کوشی و مشخص کردن تنش استرس از طریق یک رابطه سازنده بدست آیند . با بیان تانسور تنش انحرافی (برشی) از نظر ویسکوزیته و گرادیان سرعت سیال و با فرض ویسکوزیته ثابت ، معادلات کوشی فوق به معادلات ناویه-استوکس در زیر می انجامد.

شتاب همرفتی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: معادله حرکت کشی accel شتاب همرفت

نمونه ای از همرفت. گرچه جریان ممکن است پایدار باشد (مستقل از زمان) ، سیال با حرکت به سمت مجرای واگرا (با فرض جریان غیرقابل فشردگی یا فرعی قابل فشرده سازی جریان فرعی) کاهش می یابد ، از این رو شتاب بیش از موقعیت اتفاق می افتد.

یکی از ویژگیهای مهم معادله كوشی و به تبع آن همه معادلات پیوستار دیگر (از جمله اویلر و ناویه-استوكس) وجود شتاب همرفتی است: تأثیر شتاب جریان با توجه به فضا. در حالی که ذرات مایع فردی در واقع شتاب وابسته به زمان را تجربه می کنند ، شتاب همرفتی میدان جریان اثر فضایی دارد ، یکی از نمونه ها سرعت در یک نازل است.

جریان فشرده سازی [ ویرایش ]

نکته: در اینجا ، تنش استرس کویی مشخص شده است $\ boldsymbol \ sigma$ (بجای $\ boldsymbol \ tau}}$ همانطور که در معادلات پیوستار عمومی و در بخش جریان غیر قابل فشار وجود داشت ).

معادله فشردگی ناویه-استوکس از مفروضات زیر در مورد تنش استرس کوشی نتیجه می گیرد: [4]

استرس تغییر ناپذیر گالیله است : این بستگی مستقیم به سرعت جریان ندارد ، بلکه فقط به مشتقات مکانی سرعت جریان بستگی دارد. بنابراین متغیر استرس گرادیان تانسور است ∇ تو .
تنش در این متغیر خطی است: σ (∇ u ) = C : (∇ u ) ، که در آن C تنشور مرتبه چهارم است که ثابت کننده تناسب است ، به نام ویسکوزیته یا تانسور الاستیسیته ، و: محصول دو نقطه است. .
مایع فرض می شود همسانگرد ، به عنوان با گازها و مایعات ساده، و به تبع آن V تانسور ایزوتروپیک است. علاوه بر این ، از آنجا که تانسور تنش متقارن است ، با تجزیه هلمولتز می توان آن را با توجه به دو پارامتر مقیاس لام ، ویسکوزیته فله λ و ویسکوزیته پویای μ بیان کرد ، همانطور که در کشش خطی معمول است :

معادله سازنده استرس خطی (عبارت مورد استفاده برای جامد الاستیک)

$\ boldsymbol \ sigma}} = \ lambda (\ nabla \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {I} +2 \ mu \ boldsymbol {\ varepsilon}$

جایی که من تنسور هویت هستم ، ε (∇ u )1/2∇ تو +1/2(∇ تو ) T نرخ انر ژی است تانسور کرنش و ∇ · تو سرعت گسترش از جریان است. بنابراین می توان این تجزیه و تحلیل را توضیح داد:

$\ displaystyle \ boldsymbol \ sigma}} = \ lambda (\ nabla \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {I} + \ mu \ left (\ nabla \ mathbf {u} + (\ nabla \ mathbf { تو}) ^ {\ ریاضی {T}} \ درست).$

از آنجا که اثری از تانسور نرخ فشار در سه بعد است:

$\ displaystyle \ operatorname {tr} ({\ boldsymbol \ varepsilon}}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {u}.}$

ردیابی از تنش استرس در سه بعد می شود:

$\ displaystyle \ operatorname {tr} ({\ boldsymbol \ sigma}}) = (3 \ lambda +2 \ mu) \ nabla \ cdot \ mathbf {u}.}$

بنابراین با جایگزین کردن تانسور تنش در قسمت های ایزوتروپیک و انحرافی ، به طور معمول در دینامیک سیال: [5]

$\ displaystyle {\ boldsymbol \ sigma}} = \ left (\ lambda + {\ tfrac {2} {3}} \ mu \ Right) \ چپ (\ nabla \ cdot \ mathbf {u} \ Right) \ mathbf {من} + \ مو \ چپ (\ nabla \ mathbf {u} + \ left (\ nabla \ mathbf {u} \ Right) ^ {\ mathrm {T}} - {\ tfrac {2} {3}} \ سمت چپ (\ nabla \ cdot \ mathbf {u} \ Right) \ mathbf {I} \ Right)$

معرفی ویسکوزیته دوم ζ ،

$\ displaystyle \ zeta \ equiv \ lambda + {\ tfrac {2} {3}} \ mu،$

ما به معادله سازنده خطی به روشی که معمولاً در هیدرولیک حرارتی استفاده می شود می رسیم : [4]

معادله سازنده استرس خطی (عبارت مورد استفاده برای مایعات)

$\ displaystyle \ boldsymbol \ sigma}} = \ zeta (\ nabla \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {I} + \ mu \ left (\ nabla \ mathbf {u} + (\ nabla \ mathbf { u}) ^ {\ mathrm {T}} - {\ tfrac {2 {{3}} (\ nabla \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {I} \ Right)$

ویسکوزیته دوم ζ و گرانروی پویا μ لازم نیستند ثابت باشند - به طور کلی ، آنها به چگالی وابستگی دارند (ویسکوزیته با فشار بیان می شود) ، و در جریان های قابل فشرده سازی نیز بر دما. هر معادله ای که یکی از این ضریب حمل و نقل را در متغیرهای حفاظت توضیح دهد ، معادله ای از حالت نامیده می شود . [6]

با محاسبه اختلاف تانسور تنش، از انشعاب از تانسور ∇ تو است ∇ 2 U و واگرایی از تانسور (∇ تو ) T است ∇ (∇ · تو ) ، یکی در نهایت به تراکم (کلی ترین) ناویر می رسد معادله حرکت استوکس: [7]

معادله حرکت Navier-Stokes ( شکل همرفتی )

$\ displaystyle \ rho {\ frac {D \ mathbf {u}} {Dt}} = \ rho \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ Right) = - \ nabla {\ bar {p}} + \ mu \، \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} + {\ tfrac {1 {3}} \ mu \، \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {u}) + \ rho \ mathbf {g}.}$

جایی که $D / Dt$ است مشتق مواد . دست چپ در فرم حفاظت از معادله حرکت Navier-Stokes تغییر می کند:

معادله حرکت Navier-Stokes ( فرم حفاظت )

$\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ part t t}} (\ rho \، \ mathbf {u}) + \ nabla \ cdot (\ rho \، \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {u}) = - \ nabla {\ bar {p}} + \ mu \، \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} + {\ tfrac {1} {3}} \ mu \، \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {u}) + \ rho \ mathbf {g}.$

ویسکوزیته انبوه فرض می شود ثابت باشد ، در غیر این صورت نباید از آخرین مشتق خارج شود. اثر ویسکوزیته ζ این است که فشار مکانیکی معادل فشار ترمودینامیکی نیست : [8]

$\ displaystyle {\ bar {p}} \ equiv p- \ zeta \، \ nabla \ cdot \ mathbf {u}،$

این اختلاف معمولاً مورد غفلت قرار می گیرد ، گاهی با فرض صریح ζ = 0 ، اما می تواند در جذب صدا و میرایی و امواج شوک تأثیر داشته باشد. [9] اصطلاح شتاب همرفتی نیز می تواند به صورت زیر نوشته شود

$\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} = (\ nabla \ times \ mathbf {u}) \ times \ mathbf {u} + {\ frac {1} {2}} \ nabla \ mathbf {u} ^ {2}}$ ،

جایی که بردار $\ displaystyle (\ nabla \ بار \ mathbf {u}) \ بار \ mathbf {u}$ به عنوان بردار بره معروف است .

برای مورد خاص جریان غیر قابل فشار ، فشار این جریان را محدود می کند به طوری که حجم عناصر سیال ثابت باشد: جریان ایزوژوریک و در نتیجه یک میدان سرعت solenoidal با ∇ U = 0. [10]

جریان غیرقابل توصیف [ ویرایش ]

معادله غیرقابل تحمل ناویور-استوك از مفروضات زیر در مورد تنش استرس كوشی نتیجه می گیرد: [4]

استرس تغییر ناپذیر گالیله است : این بستگی مستقیم به سرعت جریان ندارد ، بلکه فقط به مشتقات مکانی سرعت جریان بستگی دارد. بنابراین متغیر استرس گرادیان تانسور است ∇ تو .
مایع فرض می شود همسانگرد ، به عنوان با گازها و مایعات ساده، و به تبع آن τ تانسور ایزوتروپیک است. علاوه بر این ، از آنجا که تانسور تنش انحرافی می تواند از نظر ویسکوزیته پویای μ بیان شود :

معادله سازنده استرس استوکس (اصطلاح مورد استفاده برای مواد جامد غیر قابل فشرده)

$\ boldsymbol \ tau}} = 2 \ mu {\ boldsymbol \ varepsilon}$

جایی که

$\ displaystyle {\ boldsymbol \ varepsilon}} = {\ frac {1} {2}} \ سمت چپ (\ mathbf {\ nabla u} + \ mathbf {\ nabla u} ^ {\ mathrm {T}} \ درست )}$

تانسور نرخ فشار است . بنابراین می توان این تجزیه و تحلیل را توضیح داد: [4]

معادله سازنده استرس استرس (عبارت مورد استفاده برای مایعات چسبناک غیر قابل فشار)

$\ displaystyle \ boldsymbol \ tau}} = \ mu \ left (\ nabla \ mathbf {u} + \ nabla \ mathbf {u} ^ {\ mathrm {T}} \ Right)$

ویسکوزیته دینامیکی μ لازم نیست ثابت باشد - در جریان های غیر قابل فشار می تواند به تراکم و فشار بستگی داشته باشد. هر معادله ای که یکی از این ضریب انتقال در متغیرهای محافظه کار را توضیح دهد ، معادله ای از حالت نامیده می شود . [6]

واگرایی از استرس انحرافی توسط:

$\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol \ tau}} = 2 \ mu \ nabla \ cdot \ boldsymbol \ varepsilon}} = \ mu \ nabla \ cdot \ left (\ nabla \ mathbf {u} +) nabla \ mathbf {u} ^ {\ mathrm {T}} \ Right) = \ mu \، \ nabla ^ {2} \ mathbf {u}}$

زیرا $\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0$ برای یک مایع غیر قابل فشار عدم تراکم پذیری امواج تراکم و فشار مانند امواج صوتی یا شوک را رد می کند ، بنابراین اگر این پدیده ها مورد توجه باشند ، این ساده سازی مفید نیست. فرض جریان غیر قابل فشار به طور معمول با تمام مایعات در تعداد کم ماخ (مثل مدل Mach 0.3) مطابقت دارد ، مانند مدل سازی بادهای هوا در دماهای معمولی. [11] برای عدم فشار (چگالی یکنواخت ρ 0 ) جریان هویت زیر را دارد:

$\ frac {1} {\ rho _ {0}}} \ nabla p = \ nabla \ left ({\ frac {p} {\ rho _ {0}}} \ Right) \ equiv \ nabla w$

جایی که w کار ترمودینامیکی خاص (با توجه به واحد سطح ) است ، اصطلاح منبع داخلی است. سپس معادلات ناپایدار ناویه-استوکس با تقسیم چگالی به بهترین وجه تجسم می شوند:

معادلات ناویر-استوکس غیرقابل توصیف ( شکل همرفتی )

$\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}} + (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ mathbf {u} - \ nu \، \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} = - \ nabla w + \ mathbf {g}.$

که در آن ν =μ/ρ 0ویسکوزیته سینماتیک نامیده می شود .

نشان دادن

یک مثال از جریان چند لایه

خوب است که معنای هر اصطلاح را رعایت کنید (با معادله حرکت کشی ) مقایسه کنید:

$\ displaystyle \ overbrace {\ underbrace {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ part t t} {_ {\ آغاز {smallmatrix} {\ متن {تنوع}} \ end {smallmatrix} + \ underbrace { (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ mathbf {u}} _ {\ fill smallmatrix} text \ متن ve Convection}} \ end {smallmatrix}}} ^ {\ متن {اینرسی (در هر حجم)}} \ overbrace - \ underbrace {\ nu \، \ nabla ^ {2} \ mathbf {u}} _ {\ text {انتشار} \ = \ underbrace - \ nabla w} _ {\ متن begin smallmatrix} {\ متن {داخلی}} \\ {\ text {منبع}} \ end {smallmatrix}}} ^ {\ text {واگرایی از استرس} + \ underbrace {\ mathbf {g}} _ {\ متن smallmatrix} {\ متن خارجی}} \\ {\ متن {منبع}} \ پایان {smallmatrix}}.$

مدت مرتبه بالاتر ، یعنی واگرایی تنش برشی τ · ، به سادگی به وکتور لاپلاسی کلمه μ ∇ 2 u کاهش یافته است . [12] این اصطلاح لاپلاسی را می توان به عنوان تفاوت بین سرعت در یک نقطه و میانگین سرعت در یک حجم کوچک اطراف تعبیر کرد. این بدان معنی است که - برای یک مایع نیوتنی - ویسکوزیته به عنوان انتشار حرکت حرکت می کند ، تقریباً به همان روش انتقال حرارت . در واقع بی توجهی به اصطلاح همرفت ، معادلات ناویور-استوک غیر قابل فشرده منجر به یک معادله انتشار بردار می شود (یعنی معادلات استوکس) ، اما به طور کلی اصطلاح همرفت موجود است ، بنابراین معادلات ناویه-استوکس غیر قابل فشرده به کلاس معادلات همرفت-انتشار تعلق دارند .

در حالت معمول یک میدان خارجی یک حوزه محافظه کار است :

$\ displaystyle \ mathbf {g} = - \ nabla \ varphi$

با تعریف سر هیدرولیک :

$\ displaystyle h \ equiv w + \ varphi$

سرانجام می توان کل منبع را در یک مدت متراکم کرد و به معادله غیر قابل فهم ناوی-استوکس با زمینه خارجی محافظه کار رسید:

$\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}} + (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ mathbf {u} - \ nu \، \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} = - \ nabla h.$

معادلات ناوی-استوک غیر قابل فشرده با میدان خارجی محافظه کار معادله اساسی هیدرولیک است . دامنه این معادلات معمولاً یک فضای 3 یا کمتر اقلیدسی است ، که معمولاً برای آن یک فریم مرجع مختصات متعامد تنظیم شده است تا سیستم معادلات دیفرانسیل جزئی مقیاس پذیر را حل کند. در سیستم های مختصات متعامد سه بعدی 3: دکارتی ، استوانه ای و کروی است. بیان معادله بردار Navier-Stokes در مختصات دکارتی کاملاً ساده است و تحت تأثیر تعداد ابعاد فضای اقلیدسی مورد استفاده قرار نمی گیرد ، و این مورد همچنین در مورد اصطلاحات مرتبه اول (مانند تغییرات و همرفت) نیز در سیستم های مختصات متعامد غیر دکارتی اما برای اصطلاحات مرتبه بالاتر (این دو ناشی از واگرایی از استرس انحرافی که معادلات ناویه-استوکس را از معادلات اویلر متمایز می کند) برخی محاسبات تانسور برای استنباط یک عبارت در سیستم های مختصات متعامد غیر کارته ای لازم است.

معادله ناپذیر ناوی-استوکس کامپوزیت است ، جمع دو معادله متعامد ،

$\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} {\ frac {\ جزئی \ mathbf {u}} {\ جزئی t}} & = \ Pi ^ {S} \ سمت چپ (- (\ \ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ mathbf {u} + \ nu \، \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} \ Right) + \ mathbf {f} ^ {S} \\\ rho ^ {- 1} \، \ nabla p & = \ Pi ^ {I} \ چپ (- (\ \ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ mathbf {u} + \ nu \، \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} \ Right) + \ mathbf {f ^ {I} \ end {تراز شده}}}$

که در آن Π S و Π من سیملوله و غیرچرخشی اپراتورهای طرح رضایت Π S + Π من = 1 و F S و F من قسمت غیر محافظه کار و محافظه کار از نیروی بدن می باشد. این نتیجه از قضیه Helmholtz (که به عنوان قضیه اساسی حساب حساب برداری نیز شناخته می شود) پیروی می کند. معادله اول یک معادله حاکم بر فشار برای سرعت است ، در حالی که معادله دوم برای فشار تابعی از سرعت است و مربوط به معادله فشار پواسون است.

شکل کاربردی صریح اپراتور طرح ریزی به صورت سه بعدی از قضیه Helmholtz یافت می شود:

$\ displaystyle \ Pi ^ {S} \، \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ nabla \ Times \ int {\ frac {\ nabla ^ { \ Prime \ times \ mathbf {F} (\ mathbf {r} ')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} \، dV '، \ quad \ Pi ^ {I} = 1- \ Pi ^ {S}}$

با ساختار مشابه در 2D بنابراین معادله حاکم یک معادله دیفرانسیل با عیار داخلی شبیه به قانون کولومب و بیوت-ساوارت است ، برای محاسبات عددی مناسب نیست.

یک شکل ضعیف یا متغیر معادل از معادله ، ثابت کرد که تولید همان راه حل سرعت به عنوان معادله Navier-Stokes ، [13] داده شده است ،

${\ displaystyle \ left (\ mathbf {w، {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ part t t} right \ Right) = - \ left (\ mathbf {w، \ left (\ mathbf { u} \ cdot \ nabla \ Right) \ mathbf {u} \ Right) - \ nu \ left (\ nabla \ mathbf {w}: \ nabla \ mathbf {u} \ Right) + \ left (\ mathbf {w ، \ mathbf {f} ^ {S} \ درست)$

برای توابع آزمون بدون واگرایی W رضایت شرایط مرزی مناسب. در اینجا ، پیش بینی ها با ارتودنسی بودن فضاهای عملکرد الکترونوئیدی و غیر آبرسان انجام می شود. شکل گسسته ای از این امر کاملاً مناسب برای محاسبه عناصر محدود جریان عاری از واگرایی است ، همانطور که در بخش بعدی خواهیم دید. در آنجا شخص می تواند به این سؤال بپردازد "چگونه می توان مشکلات محور فشار (Poiseuille) را با معادله حاکمیتی بدون فشار مشخص کرد؟".

فقدان نیروهای فشار از معادله سرعت حاکم نشان می دهد که معادله پویا نیست بلکه یک معادله سینماتیک است که در آن شرایط بدون واگرایی نقش یک معادله حفاظت را ارائه می دهد. به نظر می رسد این همه اظهارات مکرر را که فشار غیرقابل فشار باعث تحمل شرایط عاری از واگرایی می شود ، رد می کند.

شکل تغییرات معادلات ناویه-استوک غیر قابل فشرده [ ویرایش ]

فرم قوی [ ویرایش ]

معادلات ناپذیر ناویه-استوکس را برای یک مایع با چگالی ثابت در نظر بگیرید $.رو$ در یک دامنه $\ displaystyle \ امگا \ زیرمجموعه \ mathbb {R} ^ {d}$ (با $\ displaystyle d = 2،3}$ ) با مرز $\ displaystyle \ partial \ امگا = \ گاما _ {D} \ فنجان \ گاما _ {N}$ ، بودن $\ صفحه نمایش \ گاما _ {D}$ و $\ displaystyle \ گاما _ {N}$ قسمت هایی از مرز که به ترتیب به ترتیب یک Dirichlet و یک شرط مرزی Neumann استفاده می شود ( $\ displaystyle \ گاما _ {D} \ cap \ گاما _ {N} = \ vacyset}$ ): [14]

$\ displaystyle {\ شروع {موارد} \ rho {\ dfrac {\ partial {\ boldsymbol {u}}} part \ partial t}} + \ rho ({\ boldsymbol {u}} \ cdot \ nla) {u}} - \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} ({\ boldsymbol {u}}، p) = {\ boldsymbol {f}} & {\ text {در} O امگا \ بار (0 ، T) \\\ nabla \ cdot {\ boldsymbol {u}} = 0 & {\ text {در}} \ امگا \ بار (0 ، T) \\ {\ boldsymbol {u}} = {\ boldsymbol {g } & {\ text {در}} \ گاما _ {D} \ بار (0 ، T) \\\ sigma ({\ boldsymbol {u}} ، p) \ boldsymbol \ hat {n}}} = \ boldsymbol {h}} & {\ text {on}} \ گاما _ {N} \ بار (0 ، T) \\ {\ boldsymbol {u}} (0) = {\ boldsymbol {u}} _ {0 } & {\ متن {در}} \ امگا \ بار \ {0 \} \ پایان {موارد}}}$

$\ displaystyle \ boldsymbol {u}}}$ سرعت سیال است ، $پ$ فشار مایع ، $\ displaystyle \ boldsymbol {f}}}$ یک اصطلاح اجباری داده شده ، $\ displaystyle {\ boldsymbol \ hat {n}}}}$ بردار عادی واحد جهت دار به خارج $\ displaystyle \ گاما _ {N}$ و $\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} ({\ boldsymbol {u}}، p)$ تانسور چسبناک استرس تعریف می شود: [14]

$\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} ({\ boldsymbol {u}}، p) = - p {\ boldsymbol {I}} + 2 \ mu {\ boldsymbol \ varepsilon}} ({\ boldsymbol {u }).$

اجازه دهید {\ صفحه نمایش \ مو $\ مو$ ویسکوزیته پویا سیال باشد ، $\ displaystyle \ boldsymbol \ varepsilon} ({\ boldsymbol {u}})}$ تانسور کرنش نرخ تعریف می شود: [14]

$\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} ({\ boldsymbol {u}}) = {\ frac {1} {2}} ((\ nabla {\ boldsymbol {u}}) + (\ nabla {\ boldsbol) {تو}}) ^ {T}).$

توابع $\ displaystyle \ boldsymbol {g}}}$ و $\ displaystyle \ boldsymbol {ساعت}}}$ داده های مرزی Dirichlet و Neumann داده می شوند ، در حالی که $\ displaystyle \ boldsymbol {u}} _ {0}$ است شرایط اولیه . معادله اول معادله تعادل حرکت است ، در حالی که دوم نمایانگر حفظ انبوه یعنی معادله پیوستگی است . با فرض ویسکوزیته پویا ثابت ، با استفاده از هویت بردار $\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla {\ boldsymbol {f}}) ^ {T} = \ nabla (\ nabla \ cdot {\ boldsymbol {f}})}$ و بهره برداری از حفاظت از انبوه ، واگرایی از تنش تنش کل در معادله حرکت نیز می تواند چنین بیان شود: [14]

$\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} ({\ boldsymbol {u}}، p) & = \ nabla \ cdot (-p \ boldsymbol {I} + 2 \ mu {\ boldsymbol \ varepsilon} ({\ boldsymbol {u}})) = - \ nabla p + 2 \ mu \ nabla \ cdot \ boldsymbol {\ varepsilon}} ({\ boldsymbol {u}}) = - \ nabla p + 2 \ mu \ nabla \ cdot {\ bigg [} {\ frac {1} {2}} ((\ nabla {\ boldsymbol {u}}) + + (\ nabla {\ boldsymbol {u }) ^ {T}) {\ bigg]} \\ [5pt] & = - \ nabla p + \ mu (\ Delta \ boldsymbol {u}} + \ nabla \ cdot (\ nabla {\ boldsymbol {u}) ) ^ {T}) = - \ nabla p + \ mu (\ Delta {\ boldsymbol {u}} + \ nabla \ underbrace {(\ nabla \ cdot {\ boldsymbol {u}})} _ {= 0}) = - \ nabla p + \ mu \، \ Delta \ boldsymbol {u}}. \ end {تراز شده}$

علاوه بر این ، توجه داشته باشید که شرایط مرزی نویمان می تواند دوباره تنظیم شود: [14]

$\ displaystyle \ sigma ({\ boldsymbol {u}}، p) {\ boldsymbol \ hat n}}} = (- p {\ boldsymbol {I}} + 2 \ mu {\ boldsymbol {\ varepsilon}} ({\ boldsymbol {u}})) {\ boldsymbol \ hat {n}}} = - p {\ boldsymbol \ hat {n}}} + \ mu {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {u} } {\ جزئی {\ boldsymbol \ hat n}}}}}.}$

فرم ضعیف [ ویرایش ]

برای پیدا کردن یک شکل متغیر از معادلات Navier-Stokes ، در مرحله اول ، معادله حرکت را در نظر بگیرید [14]

$\ displaystyle \ rho {\ dfrac {\ partial {\ boldsymbol {u}}} {\ part t t} \ - \ mu \ Delta {\ boldsymbol {u}} + \ rho ({\ boldsymbol {u}} \ cdot \ nabla) \ boldsymbol {u}} + \ nabla p = {\ boldsymbol {f}}}$

آن را برای یک عملکرد آزمایشی ضرب کنید $\ displaystyle \ boldsymbol {v}}}$ تعریف شده در یک فضای مناسب $V$ ، و هر دو عضو را با توجه به دامنه ادغام کنید $\ امگا$ : [14]

$\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ rho {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {u}}} part \ partial t}} \ cdot \ boldsymbol {v}} - \ int _ {\ امگا} \ mu \ Delta {\ boldsymbol {u}} \ cdot {\ boldsymbol {v}} + \ int _ {\ امگا \ rho ({\ boldsymbol {u}} \ cdot \ nabla) {\ boldsymbol {u}} \ cdot {\ boldsymbol {v}} + \ int _ {\ امگا} \ nabla p \ cdot {\ boldsymbol {v}} = \ int _ {\ امگا} {\ boldsymbol {f}} \ cdot {\ boldsymbol {v }}$

مقادیر پراکندگی و فشار و قطعات با استفاده از قضیه گاوس توسط بخش ادغام شده: [14]

$\ displaystyle - \ int _ {\ Omega} \ mu \ Delta {\ boldsymbol {u}} \ cdot {\ boldsymbol {v}} = \ int _ \ Omega} \ mu \ nabla {\ boldsymbol {u}} \ cdot \ nabla {\ boldsymbol {v}} - \ int _ {\ partial \ Omega} \ mu {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {u}}} part \ partial {\ boldsymbol {\ hat {n}} }} \ cdot {\ boldsymbol {v}}}$

$\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla p \ cdot {\ boldsymbol {v}} = - \ int _ {\ Omega} p \ nabla \ cdot {\ boldsymbol v}} + \ int _ {\ جزئی \ امگا} پ {\ boldsymbol {v}} \ cdot \ boldsymbol \ hat n}}}}$

با استفاده از این روابط ، فرد بدست می آید: [14]

$\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ rho {\ dfrac {\ partial {\ boldsymbol {u}}} {\ جزئی t}} \ cdot \ boldsymbol {v}} + \ int _ {\ امگا} \ mu \ nabla {\ boldsymbol {u}} \ cdot \ nabla {\ boldsymbol {v}} + \ int _ {\ امگا} \ rho ({\ boldsymbol {u}} \ cdot \ nabla) {\ boldsymbol {u \ cdot {\ boldsymbol {v}} - \ int _ {\ امگا} p \ nabla \ cdot \ boldsymbol {v}} = \ int _ \ امگا} {\ boldsymbol {f} c \ cdot {\ boldsymbol {v}} + \ int _ {\ partial \ Omega} {\ bigg (} \ mu {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {u}}} {\ partial {\ boldsymbol \ hat {n}}} } -p {\ boldsymbol \ hat {n}}} big \ bigg)} \ cdot {\ boldsymbol {v} \. \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \ forall {\ boldsymbol {v}} \ in V$

در همین روش ، معادله پیوستگی برای یک عملکرد آزمایشی ضرب می شود {\ displaystyle q $ق$ متعلق به یک فضا {\ نمایشگر Q} $س$ و در دامنه یکپارچه شده است {\ صفحه نمایش \ امگا $\ امگا$ : [14]

$\ displaystyle \ int _ {\ Omega} q \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {u}} = 0. \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \ forall q \ in Q.$

توابع فضا به شرح زیر انتخاب می شوند:

$\ displaystyle V = [H_ {0} ^ {1} (\ Omega)] ^ {d} = \ {{\ boldsymbol {v}} \ در [H ^ {1} (\ Omega)] ^ {d : \؛ \؛ \؛ \ boldsymbol {v}} = {\ boldsymbol {0}} {\ متن {در}} \ گاما _ {D} \} ،}$

$\ displaystyle Q = L ^ {2} (\ امگا)$

با توجه به اینکه عملکرد آزمون است $\ displaystyle \ boldsymbol {v}}}$ در مرز دیرکلت از بین می رود و با توجه به شرایط Neumann ، انتگرال موجود در این مرز را می توان دوباره تنظیم کرد: [14]

$\ displaystyle \ int _ {\ partial \ Omega} {\ bigg (} \ mu {\ frac {\ partial \ boldsymbol {u}}} {\ partial {\ boldsymbol {\ hat {n}}}}} - p {\ boldsymbol \ hat {n}}} \ bigg)} \ cdot {\ boldsymbol {v}} = \ underbrace {\ int _ {\ گاما _ {D}} {\ bigg (} \ mu {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {u}}} \ partial {\ boldsymbol \ hat {n}}}}} - p {\ boldsymbol {\ hat {n}}} \ bigg)} \ cdot {\ boldsymbol {v}} {_ {{\ boldsymbol {v}} = {\ boldsymbol 0}} {\ متن {در}} \ گاما _ {D} \} + \ int _ {\ گاما _ {N}} \ underbrace {{\ bigg (} \ mu {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {u}}} part \ partial {\ boldsymbol {\ hat {n}}}} p - p {\ boldsymbol {\ hat {n }} big \ bigg)}} _ {= {\ boldsymbol {h}} {\ text {on} Gam \ گاما _ {N}} \ cdot {\ boldsymbol {v}} = \ int _ {\ گاما _ N}} {\ boldsymbol {h}} \ cdot {\ boldsymbol {v}}.$

با توجه به این نکته ، فرمول ضعیف معادلات ناویور-استوکس به شرح زیر است: [14]

$\ displaystyle \ text {find}} {\ boldsymbol {u}} \ in L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {+} \؛ [H ^ {1} (\ Omega)] ^ {d }) \ cap C ^ {0} (\ mathbb {R} ^ {+} \؛ [L ^ {2} (\ امگا)] ^ {d}) {\ متن {به گونه ای که:}}$

$\ displaystyle {\ شروع {موارد} \ displaystyle \ int _ {\ امگا} \ rho {\ dfrac {\ جزئی {\ boldsymbol {u}}} {\ جزئی t}} \ cdot {\ boldsymbol {v}} + \ int _ {\ Omega} \ mu \ nabla {\ boldsymbol {u}} \ cdot \ nabla \ boldsymbol {v}} + \ int _ {\ امگا} \ rho ({\ boldsymbol {u}} \ cdot \ nabla) \ boldsymbol {u}} \ cdot {\ boldsymbol {v}} - \ int _ {\ Omega} p \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {v}} = \ int _ {\ امگا} {\ boldsymbol f}} \ cdot {\ boldsymbol {v}} + \ int _ {\ گاما _ {N}} {\ boldsymbol {h}} \ cdot \ boldsymbol {v}}. \؛ \؛ \؛ \؛ \ forall \ boldsymbol {v} in \ in V \\\ displaystyle \ int _ {\ Omega} q \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {u}} = 0. \؛ \؛ \؛ \؛ \ forall q \ in Q. \ end {موارد}}}$

سرعت گسسته [ ویرایش ]

با تقسیم بندی دامنه مسئله و تعیین توابع پایه بر روی دامنه تقسیم شده ، شکل مجزا از معادله حاکم ،

$\ displaystyle \ left (\ mathbf {w} _ {i}، {\ frac {\ partial \ mathbf {u} _ {j}} {\ partial t} right \ Right) = - \ left (\ mathbf {w _ {i}، (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ mathbf {u} _ {j} \ Right) - \ nu (\ nabla \ mathbf {w} _ {i}: \ nabla \ mathbf { u} _ {j}) + \ left (\ mathbf {w} _ {i}، \ mathbf {f} ^ {S} \ درست).$

مطلوب است که توابع پایه ای انتخاب شوند که ویژگی اصلی جریان غیر قابل فشرده را منعکس کند - عناصر باید عاری از واگرایی باشند. در حالی که سرعت متغیر علاقه است ، وجود کارکرد جریان یا پتانسیل بردار توسط قضیه هلمولتز ضروری است. علاوه بر این ، برای تعیین جریان سیال در غیاب شیب فشار ، می توانید تفاوت مقادیر عملکرد جریان در یک کانال 2D یا خط انتگرال خط جزء مماس از پتانسیل بردار در اطراف کانال را به صورت سه بعدی مشخص کنید ، این جریان داده می شود. توسط قضیه استوکس . بحث در زیر به 2D محدود خواهد شد.

ما بحث را بیشتر در مورد عناصر محدود مداوم هرمیت که حداقل درجه های مشتق آزادی از آزادی دارند محدود می کنیم. با این کار ، می توانید تعداد زیادی از عناصر مثلثی و مستطیلی کاندید را از ادبیات صفحه خمش بکشید. این عناصر مشتقات به عنوان اجزای شیب دارند. در 2D ، شیب و حلقه یک مقیاس به وضوح متعامد ، با عبارات بیان شده است ،

$\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} \ nabla \ varphi & = \ left ({\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x}}، \،، \ frac {\ partial \ varphi {\ partial y } \ Right) ^ {\ mathrm {T}}، \\\ nabla \ times \ varphi & = \ left ({\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial y}، \، - {\ frac {\ جزئی \ varphi {\ جزئی x}} \ درست) ^ {\ mathrm {T}}. \ end {تراز شده}}$

اتخاذ عناصر پیوسته خم بشقاب ، تعویض درجات مشتق از آزادی و تغییر علامت مناسب ، به بسیاری از خانواده ها عناصر عملکرد جریان می دهد.

در نظر گرفتن حلقه از عناصر عملکرد جریان مقیاس پذیر عناصر سرعت عاری از واگرایی است. [15] [16] شرط لازم است كه عناصر تابع جریان بطور مداوم اطمینان داشته باشند كه مؤلفه طبیعی سرعت در بین رابط های عنصر پیوسته است ، تمام آنچه برای ناپدید شدن واگرایی در این واسط ها لازم است.

شرایط مرزی کاربردی ساده است. عملکرد جریان در سطوح بدون جریان با شرایط سرعت بدون لغزش روی سطوح ثابت است. اختلاف عملکرد عملکرد در کانالهای باز جریان را تعیین می کند. هیچ شرایط مرزی در مرزهای باز لازم نیست ، اگرچه مقادیر سازگار با برخی از مشکلات ممکن است مورد استفاده قرار گیرد. اینها همه شرایط دیرکلت است.

معادلات جبری که باید حل شوند ساده هستند ، اما البته غیر خطی هستند و نیاز به تکرار معادلات خطی دارند.

ملاحظات مشابه در مورد سه بعد اعمال می شود ، اما پسوند از 2D به دلیل ماهیت بردار پتانسیل فوری نیست و هیچ ارتباط ساده ای بین شیب و حلقه وجود ندارد همانطور که در 2D وجود داشت.

بازیابی فشار [ ویرایش ]

بازیابی فشار از میدان سرعت بسیار آسان است. معادله ضعیف گسسته برای گرادیان فشار ،

${\ displaystyle (\ mathbf {g} _ {i}، \ nabla p) = - \ left (\ mathbf {g} _ {i}، \ left (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ Right) \ mathbf {u} _ {j} \ Right) - \ nu \ left (\ nabla \ mathbf {g} _ {i}: \ nabla \ mathbf {u} _ {j} \ Right) + \ left (\ mathbf {g _ {من} ، \ mathbf {f} ^ {من} \ درست)$

که در آن تست / وزن عملکردهای غیر منطقی است. هر عنصر محدود مقیاس سازگار ممکن است استفاده شود. با این وجود ، زمینه گرادیان فشار نیز ممکن است مورد توجه باشد. در این حالت می توان از عناصر هرمیتی مقیاس پذیر برای فشار استفاده کرد. برای توابع آزمون / وزن g i می توان عناصر بردار غیرعقلانی حاصل از شیب عنصر فشار را انتخاب کرد.

قاب مرجع غیر اینرسی [ ویرایش ]

قاب مرجع چرخش برخی نیروهای شبه جالب را با استفاده از اصطلاح مشتق ماده وارد معادلات می کند . یک قاب بی حرکت مرجع K را در نظر بگیرید و یک قاب مرجع غیر اینرسی K '، که با سرعت ترجمه می شود $\ displaystyle \ mathbf {U} (t)$ چرخش با سرعت زاویه ای $\ displaystyle \ mathbf {\ امگا} (t)$ با توجه به قاب ثابت. معادله Navier-Stokes مشاهده شده از قاب غیر اینرسی سپس تبدیل می شود

معادله حرکت Navier-Stokes در قاب غیر اینرسی

$\ displaystyle \ rho {\ frac {D \ mathbf {u}} t Dt}} = - \ nabla {\ bar {p}} + \ mu \، \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} + {\ tfrac {1 {{3}} \ mu \، \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {u}) + \ rho \ mathbf {g} - \ rho \ left (2 \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {u} + \ mathbf {\ امگا} \ بار (\ mathbf {\ امگا} \ بار \ mathbf {x}) + {\ frac {d \ mathbf {U}} {dt}} + {\ frac {d \ mathbf {\ امگا}} {dt} times \ بار \ mathbf {x} \ درست).$

اینجا $\ mathbf {x$ و $\ mathbf تو$ در قاب غیر اینرسی اندازه گیری می شود. ترم اول در پرانتز نشان دهنده شتاب کوریولیس ، دوره دوم به دلیل شتاب گریز از مرکز ، سوم نیز به دلیل شتاب گیری خطی K ’با توجه به K و دوره چهارم به دلیل شتاب زاویه ای K’ با توجه به ک

+ نوشته شده در جمعه دوم خرداد ۱۳۹۹ ساعت 5:15 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی