چهار تکرار اول برف برف کوچ

هفت تکرار اول در انیمیشن

بزرگنمایی در منحنی کوچ

ضد شناسایی فلش کچ

چهار تکرار اول

تکرار ششم

محاط (همچنین به عنوان شناخته شده منحنی کخ ، ستاره کخ ، یا کخ جزیره [1] [2] ) است منحنی فراکتال و یکی از اولین فرکتال به شرح داده شده است. این بر اساس منحنی كوچ است كه در مقاله 1904 با عنوان "روی منحنی مداوم بدون مماس ، قابل ساختن از هندسه مقدماتی" [3] توسط ریاضیدان سوئدی هلژ فون كوچ ظاهر شد .

دانه برف کوچ می تواند به صورت تکراری و در توالی مراحل ساخته شود. مرحله اول یک مثلث مساوی است و هر مرحله متوالی از اضافه کردن خم های بیرونی به هر طرف مرحله قبل تشکیل می شود و مثلث های دو طرفه کوچکتر را می سازد. مناطق محصور شده توسط مراحل پی در پی در ساخت برف دانه همگرا به8/5مساحت مثلث اصلی را چندین برابر می کند ، در حالی که محیط مراحل پی در پی بدون محدودیت افزایش می یابد. در نتیجه ، دانه برف یک منطقه محدود را محصور می کند ، اما دارای یک محیط نامتناهی است .

 

فهرست

ساخت و ساز [ ویرایش ]

دانه برف کوچ می تواند با شروع با یک مثلث مساوی ساخته شود ، سپس هر قطعه خط را به صورت زیر تغییر دهید:

  1. بخش خط را به سه بخش از طول مساوی تقسیم کنید.
  2. مثلث دو طرفه را ترسیم کنید که قسمت میانی آن را از مرحله 1 به عنوان پایه خود قرار دهید و به سمت بیرون نشان دهید.
  3. بخش خط را که پایه مثلث است از مرحله 2 خارج کنید.

اولین تکرار این فرایند ، رئوس یک هگزاگرام را تولید می کند .

برف كوش حدي است كه مراحل فوق به طور نامحدود دنبال مي شود. منحنی كوش كه در ابتدا توسط هلگ فون كوچ توضیح داده شده است ، با استفاده از تنها یكی از سه ضلع مثلث اصلی ساخته شده است. به عبارت دیگر ، سه منحنی کوچ یک برف کوک را ایجاد می کند.

بازنمود مبتنی بر منحنی کوچ از یک سطح اسمی مسطح به طور مشابه می تواند با تقسیم مکرر هر خط در یک الگوی اره مخصوص قطعات با زاویه مشخص ایجاد شود. [4]

یک سطح خشن فراکتالی که از تکرارهای منحنی چندگانه ساخته شده است

خواص [ ویرایش ]

پیرامون برف برف کوچ [ ویرایش ]

در هر تکرار تعداد طرفین در برف کوچ به چهار برابر می شود ، بنابراین تعداد طرفین بعد از تکرار n توسط:

N_ {n} = N_ {n-1} \ cdot 4 = 3 \ cdot 4 ^ {n} \،.

اگر مثلث متساوی الاضلاع اصلی تا به طرف طول بازدید کنندگان ، طول هر طرف از برف ریزه پس از N تکرار است:

\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {S_ {n-1}} {3}} = {\ frac {s} {3 ^ {n}}} \،}

قدرت معکوس از سه برابر طول اصلی. محیط پیرامون برف پس از تکرار n :

P_ {n} = N_ {n} \ cdot S_ {n} = 3 \ cdot s \ cdot left \ left ({\ frac {4} {3}} \ Right)} ^ {n} \ ،.

منحنی کوچ دارای طول نامتناهی است ، زیرا طول کل منحنی توسط یک عامل افزایش می یابد4/3با هر تکرار هر تکرار چهار برابر بخش خط نسبت به تکرار قبلی ایجاد می کند و طول هر یک از آنها وجود دارد1/3طول بخش در مرحله قبل. از این رو ، طول منحنی بعد از تکرار n خواهد بود (4/3) n برابر از مثلث اصلی است و بدون مرز است ، زیرا n به بی نهایت گرایش دارد.

محدودیت پیرامون [ ویرایش ]

از آنجا که تعداد تکرارها به بی نهایت گرایش پیدا می کند ، حد پیرامون:

\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} P_ {n} = \ lim _ {n \ Rightarrow \ infty} 3 \ cdot s \ cdot \ left ({\ frac {4} 3}} \ Right) ^ {n = \ infty \ ،

از |4/3|  > 1

یک Ln 4/3اندازه گیری بعدی وجود دارد ، اما تاکنون محاسبه نشده است. فقط مرزهای بالا و پایین اختراع شده است. [5]

منطقه از برف کچ [ ویرایش ]

در هر تکرار یک مثلث جدید در هر طرف از تکرار قبلی اضافه می شود ، بنابراین تعداد مثلث های جدید اضافه شده در تکرار n برابر است:

T_ {n} = N_ {n-1} = 3 \ cdot 4 ^ {n-1} = {\ frac {3} {4}} \ cdot 4 ^ {n} \،.

مساحت هر مثلث جدید که در یک تکرار اضافه شده است 1/9مساحت هر مثلث اضافه شده در تکرار قبلی ، بنابراین مساحت هر مثلث اضافه شده در تکرار n برابر است:

a_ {n} = {\ frac {a_ {n-1}} {9}} = {\ frac {a_ {0}} {9 ^ {n}}} \،.

جایی که 0 مساحت مثلث اصلی است. بنابراین کل منطقه جدید اضافه شده در تکرار n به این ترتیب است:

b_ {n} = T_ {n} \ cdot a_ {n} = {\ frac {3} {4}} \ cdot {\ سمت چپ ({\ frac {4} {9}} \ سمت راست)} ^ {n} \ cdot a_ {0}

مساحت کل برف ریزه پس از N تکرار است:

A_ {n} = a_ {0} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} = a_ {0} \ left (1 + {\ frac {3 {4}} \ sum _ k = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {4}} 9}} \ Right) ^ {k} \ Right) = a_ {0} \ چپ (1 + {\ frac {1} {3 } \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ left ({\ frac {4} {9}} \ Right) ^ {k} \ Right) \ ،.

جمع کردن مبلغ هندسی می دهد:

A_ {n} = a_ {0} \ سمت چپ (1 + {\ frac {3} {5}} \ سمت چپ (1- \ سمت چپ ({\ frac {4} {9}} \ سمت راست) ^ {n} \ راست) \ راست) = {\ frac {a_ {0}} 5}} \ سمت چپ (8-3 \ سمت چپ ((\ frac {4} {9}} \ Right) ^ {n} \ Right) \، .

محدودیت مساحت [ ویرایش ]

حد مساحت:

\ lim _ {n \ Rightarrow \ infty} A_ {n} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {0}} {5}} \ cdot \ left (8-3 \ left ({ \ frac {4} {9}} \ Right) ^ {n} \ Right) = {\ frac {8} {5}} \ cdot a_ {0} \، ،

از |4/9|  <1

به این ترتیب ، منطقه برف کچ واقع شده است 8/5مساحت مثلث اصلی. از نظر طول طرف s مثلث اصلی بیان شده است: [6]

\ displaystyle {\ frac {2s ^ {2} {\ sqrt {3}}} {5}}.}

جامد انقلاب [ ویرایش ]

حجم جامد انقلاب برف برف كچ در مورد يك محور تقارن مثلث شروع كننده مثلث طرف واحد است.\ displaystyle {\ frac {11 {\ sqrt {3}}} {135}} \ pi.[7]

خواص دیگر [ ویرایش ]

برف کچ با شش نسخه کوچکتر در اطراف یک نسخه بزرگتر در مرکز ، در حال تکثیر است. از این رو ، این کاشی irrep-7 است (برای کاوش در کاشی Rep ).

بعد فرکتال از منحنی کخ استLn 4/3 26 1.26186 این بیشتر از یک خط (= 1) اما کمتر از پیانو را منحنی فضای پر کردن (= 2).

منحنی کوچ در همه جا مداوم است ، اما در هیچ کجا قابل تفکیک نیست.

Tessellation هواپیما [ ویرایش ]

Tessellation توسط دو اندازه از برف برف کوچ

طوفان هواپیما با کپی برف های برف کوچ در دو اندازه مختلف امکان پذیر است . با این وجود ، چنین طرز برخورد تنها با استفاده از برف های یک اندازه امکان پذیر نیست. از آنجا که هر برف برفی کوچ در tessellation را می توان به هفت برف کوچکتر از دو اندازه مختلف تقسیم کرد ، همچنین می توان به یک tessellations که بیش از دو اندازه به طور همزمان استفاده می شود ، تقسیم کرد. [8] ممکن است از برف های برف کوچ و کشی های ضد انعقاد کوچ به همان اندازه برای کاشی کاری هواپیما استفاده شود.

دنباله Thue – Morse و گرافیک لاک پشت [ ویرایش ]

گرافیک لاک پشت منحنی است که تولید اگر یک ماشین با یک توالی برنامه ریزی است. اگر از اعضای دنباله Thue-Morse برای انتخاب حالت برنامه استفاده می شود:

  • اگر t ( n ) = 0 ، با یک واحد حرکت کنید ،
  • اگر t ( n ) = 1 است ، با زاویه ای از جهت خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخانیدπ/3،

منحنی در نتیجه به برف کوک همگرا می شود.

 

منابع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake