حلقه اندومورفیسم

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و دوم مرداد ۱۴۰۴ | 1:50

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

در ریاضیات ، اندومورفیسم‌های یک گروه آبلی X یک حلقه تشکیل می‌دهند. این حلقه ، حلقه اندومورفیسم X نامیده می‌شود که با End( X ) نشان داده می‌شود؛ مجموعه‌ای از همه همومورفیسم‌های X در خودش. جمع اندومورفیسم‌ها به طور طبیعی به صورت نقطه‌ای و ضرب از طریق ترکیب اندومورفیسم رخ می‌دهد. با استفاده از این عملیات، مجموعه اندومورفیسم‌های یک گروه آبلی یک حلقه (واحد) با نگاشت صفر تشکیل می‌دهد. ${\textstyle 0:x\mapsto 0}$ به عنوان هویت افزایشی و نقشه هویت ${\textstyle 1:x\mapsto x}$ به عنوان یک هویت ضربی . [ 1 ] [ 2 ]

توابع مربوطه به آنچه که در متن به عنوان همومورفیسم تعریف می‌شود، محدود می‌شوند که به دسته شیء مورد بررسی بستگی دارد. در نتیجه، حلقه اندومورفیسم چندین ویژگی داخلی شیء را رمزگذاری می‌کند. از آنجایی که حلقه اندومورفیسم اغلب جبری روی حلقه R است، می‌توان آن را جبر اندومورفیسم نیز نامید .

یک گروه آبلی همان چیزی است که به عنوان یک ماژول روی حلقه اعداد صحیح ، که شیء اولیه در دسته حلقه‌ها است ، در نظر گرفته می‌شود. به طور مشابه، اگر R هر حلقه جابجایی باشد ، اندومورفیسم‌های یک R- مدول ، با همان اصول و مشتق، یک جبر روی R تشکیل می‌دهند. به طور خاص، اگر R یک میدان باشد ، ماژول‌های آن M فضاهای برداری هستند و حلقه اندومورفیسم هر یک، جبری روی میدان R است .

توضیحات

[ ویرایش ]

فرض کنید ( A ,+) یک گروه آبلی باشد و همریختی‌های گروه را از A تا A در نظر می‌گیریم . سپس جمع دو همریختی از این نوع را می‌توان به صورت نقطه‌ای تعریف کرد تا همریختی گروه دیگری ایجاد شود. به طور صریح، با داشتن دو همریختی f و g ، مجموع f و g برابر با همریختی f + g است : x ↦ f ( x ) + g ( x ) . تحت این عملیات، End( A ) یک گروه آبلی است. با عملیات اضافی ترکیب همریختی‌ها، End( A ) یک حلقه با همانی ضربی است. این ترکیب به طور صریح fg : x ↦ f ( g ( x )) است . همانی ضربی، همانی همریختی روی A است . وارون‌های افزایشی، وارون‌های نقطه‌ای هستند.

اگر مجموعه A یک گروه آبلی تشکیل ندهد ، آنگاه ساختار فوق لزوماً خوش‌تعریف نیست، زیرا در این صورت مجموع دو همومورفیسم لزوماً یک همومورفیسم نیست. [ 3 ] با این حال، بسته شدن مجموعه اندومورفیسم‌ها تحت عملیات فوق، نمونه‌ای متعارف از یک حلقه نزدیک است که حلقه نیست.

خواص

[ ویرایش ]

حلقه‌های اندومورفیسم همیشه دارای همانی‌های افزایشی و ضربی هستند ، به ترتیب نقشه صفر و نقشه همانی .
حلقه‌های اندومورفیسم شرکت‌پذیر هستند ، اما معمولاً غیرجابه‌جایی هستند .
اگر یک ماژول ساده باشد ، آنگاه حلقه اندومورفیسم آن یک حلقه تقسیم است (این گاهی اوقات لم شور نامیده می‌شود ). [ 4 ]
یک ماژول تجزیه‌ناپذیر است اگر و تنها اگر حلقه اندومورفیسم آن حاوی هیچ عنصر خودتوان غیربدیهی نباشد . [ 5 ] اگر ماژول یک ماژول تزریقی باشد ، تجزیه‌ناپذیری معادل حلقه اندومورفیسم به عنوان یک حلقه محلی است . [ 6 ]
برای یک مدول نیمه ساده ، حلقه اندومورفیسم یک حلقه منظم فون نویمان است .
حلقه اندومورفیسم یک مدول تک‌سریالی راست غیرصفر ، یک یا دو ایده‌آل راست ماکسیمال دارد. اگر مدول آرتینی، نوتری، تصویری یا تزریقی باشد، آنگاه حلقه اندومورفیسم یک ایده‌آل ماکسیمال منحصر به فرد دارد، به طوری که یک حلقه موضعی است.
حلقه اندومورفیسم یک مدول یکنواخت آرتینی ، یک حلقه موضعی است. [ 7 ]
حلقه اندومورفیسم یک ماژول با طول ترکیب محدود، یک حلقه نیمه اولیه است .
حلقه اندومورفیسم یک ماژول پیوسته یا ماژول گسسته، یک حلقه تمیز است . [ 8 ]
اگر یک ماژول R به صورت متناهی تولید شده و تصویری باشد (یعنی یک پیش‌ساز )، آنگاه حلقه اندومورفیسم ماژول و R تمام خواص ثابت موریتا را به اشتراک می‌گذارند. یک نتیجه اساسی از نظریه موریتا این است که همه حلقه‌های معادل R به عنوان حلقه‌های اندومورفیسم پیش‌سازها به وجود می‌آیند.

مثال‌ها

[ ویرایش ]

در دسته R- ماژول‌ها ، حلقه اندومورفیسم یک R- ماژول M فقط از همومورفیسم‌های R- ماژول استفاده می‌کند که معمولاً زیرمجموعه‌ای از همومورفیسم‌های گروه آبلی هستند. [ 9 ] وقتی M یک ماژول تصویری تولید شده به صورت متناهی باشد ، حلقه اندومورفیسم برای هم‌ارزی موریتا دسته‌های ماژول‌ها اهمیت اساسی دارد.
برای هر گروه آبلی $A$ ، $\mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))\cong \operatorname {End} (A^{n})$ ، از آنجا که هر ماتریسی در $\mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))$ دارای ساختار همومورفیسم طبیعی استالفن $A^{n}$ به شرح زیر:
$\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi _{11}&\cdots &\varphi _{1n}\\\vdots &&\vdots \\\varphi _{n1}&\cdots &\varphi _{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{1i}(a_{i})\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}\varphi _{ni}(a_{i})\end{pmatrix}}.}$

می‌توان از این ایزومورفیسم برای ساخت بسیاری از حلقه‌های اندومورفیسم غیرجابجایی استفاده کرد. برای مثال: $\displaystyle \operatorname {End} (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z})\cong \mathrm {M} _{2}(\mathbb {Z})}$ ، از آنجایی $\operatorname {End} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ .

همچنین، هنگامی که $R=K$ یک میدان باشد، یک ایزومورفیسم متعارف وجود دارد $\operatorname {End} (K)\cong K$ ، بنابراین $\operatorname {End} (K^{n})\cong \mathrm {M} _{n}(K)$ یعنی حلقه اندومورفیسم یک $K$ فضای برداری با حلقه‌ای از ماتریس‌های n در n با ورودی‌های در مشخص می‌شود.ک $K$ [ 10 ] به طور کلی‌تر، جبر اندومورفیسم مدول آزاد $M=R^{n}$ به طور طبیعی است $n$ -توسط-ن $n$ ماتریس‌هایی با ورودی‌های حلقه $R$ .

به عنوان مثالی خاص از نکته آخر، برای هر حلقه R با واحد، End( R ) = R است، که در آن عناصر R با ضرب چپ بر R عمل می‌کنند .
به طور کلی، حلقه‌های اندومورفیسم را می‌توان برای اشیاء هر دسته پیش افزایشی تعریف کرد .

https://en.wikipedia.org/wiki/Endomorphism_ring

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

حلقه اندومورفیسم

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین