از ویکی‌پدیا، دانشنامه آزاد

    در جبر مجرد ، شاخه‌ای از ریاضیات ، یک حلقه ساده ، حلقه‌ای غیر صفر است که هیچ ایده‌آل دوطرفه‌ای به جز ایده‌آل صفر و خودش ندارد. به طور خاص، یک حلقه جابجایی، یک حلقه ساده است اگر و تنها اگر یک میدان باشد .

    مرکز یک حلقه ساده لزوماً یک میدان است. از این رو، یک حلقه ساده، یک جبر انجمنی روی این میدان است. پس آن را جبر ساده روی این میدان می‌نامیم .

    چندین مرجع (مثلاً لانگ (2002) یا بورباکی (2012) ) علاوه بر این، الزام می‌کنند که یک حلقه ساده، آرتینی چپ یا راست (یا معادل آن نیمه ساده ) باشد. تحت چنین اصطلاحاتی، یک حلقه غیر صفر بدون ایده‌آل‌های دو طرفه غیر بدیهی، شبه ساده نامیده می‌شود .

    حلقه‌هایی که به عنوان حلقه ساده هستند اما یک ماژول ساده روی خودشان نیستند، وجود دارند: یک حلقه ماتریسی کامل روی یک میدان هیچ ایده‌آل دو طرفه غیربدیهی ندارد (زیرا هر ایده‌آلی از{\displaystyle M_{n}(R)}از این شکل است {\displaystyle M_{n}(I)}بامن{\displaystyle I}آرمانی ازر{\displaystyle R}) ، اما ایده‌آل‌های چپ غیربدیهی دارد (برای مثال، مجموعه ماتریس‌هایی که برخی ستون‌های صفر ثابت دارند).

    یک مثال ساده از یک حلقه ساده ، حلقه تقسیم است که در آن هر عنصر غیر صفر یک معکوس ضربی دارد ، برای مثال، کواترنیون‌ها . همچنین، برای هر{\displaystyle n\geq 1}، جبرِ{\displaystyle n\times n}ماتریس‌هایی با ورودی‌هایی در یک حلقه تقسیم ساده هستند.

    جوزف ودربرن ثابت کرد که اگر یک حلقهر{\displaystyle R}یک جبر ساده با ابعاد محدود روی یک میدان است {\displaystyle k}، با یک جبر ماتریسی روی یک جبر تقسیم روی یک جبر ماتریسی ایزومورفیک است{\displaystyle k}به طور خاص، تنها حلقه‌های ساده‌ای که جبرهای با ابعاد متناهی روی اعداد حقیقی هستند ، حلقه‌های ماتریسی روی اعداد حقیقی، اعداد مختلط یا چهارگان‌ها هستند .

    ودربرن این نتایج را در سال ۱۹۰۷ در پایان‌نامه دکترای خود با عنوان «درباره اعداد فوق مختلط » که در مجموعه مقالات انجمن ریاضی لندن منتشر شد، اثبات کرد. پایان‌نامه او جبرهای ساده با بُعد متناهی و همچنین نیمه‌ساده را بر روی میدان‌ها طبقه‌بندی کرد. جبرهای ساده، بلوک‌های سازنده جبرهای نیمه‌ساده هستند: هر جبر نیمه‌ساده با بُعد متناهی، به معنای جبرها، یک حاصلضرب دکارتی از جبرهای ساده با بُعد متناهی است.

    باید در مورد اصطلاحات دقت کرد: هر حلقه ساده‌ای، حلقه نیمه ساده نیست و هر جبر ساده‌ای، جبر نیمه ساده نیست. با این حال، هر جبر ساده با ابعاد محدود، جبر نیمه ساده است و هر حلقه ساده‌ای که آرتین چپ یا راست باشد ، حلقه نیمه ساده است.

    نتیجه ودربرن بعداً در قضیه ودربرن-آرتین به حلقه‌های نیمه‌ساده تعمیم داده شد : این قضیه می‌گوید که هر حلقه نیمه‌ساده حاصلضرب متناهی حلقه‌های ماتریسی روی حلقه‌های تقسیم است. در نتیجه این تعمیم، هر حلقه ساده‌ای که آرتین چپ یا راست باشد ، یک حلقه ماتریسی روی یک حلقه تقسیم است.

    مثال‌ها

    [ ویرایش ]

    بگذاریدر{\displaystyle \mathbb {R} }میدان اعداد حقیقی باشد،سی{\displaystyle \mathbb {C} }میدان اعداد مختلط باشد، و{\displaystyle \mathbb {H} }کواترنیون‌ها​​

    • جبر ساده مرکزی (که گاهی جبر براور نامیده می‌شود ) یک جبر ساده با ابعاد متناهی روی یک میدان است. {\displaystyle F}که مرکز آن {\displaystyle F}.
    • هر جبر ساده با بُعد متناهی رویر{\displaystyle \mathbb {R} }با جبری از ایزومورفیک استن×ن{\displaystyle n\times n}ماتریس‌هایی با ورودی‌های {\displaystyle \mathbb {R} }،{\displaystyle \mathbb {C} }، یا{\displaystyle \mathbb {H} }هر جبر ساده مرکزی روی{\displaystyle \mathbb {R} }با جبری از ایزومورفیک استن×ن{\displaystyle n\times n}ماتریس‌هایی با ورودی‌هار{\displaystyle \mathbb {R} }یاح{\displaystyle \mathbb {H} }این نتایج از قضیه فروبنیوس ناشی می‌شوند .
    • هر جبر ساده با بُعد متناهی رویسی{\displaystyle \mathbb {C} }یک جبر ساده مرکزی است و با یک حلقه ماتریسی روی آن ایزومورفیک است.سی{\displaystyle \mathbb {C} }.
    • هر جبر ساده مرکزی با ابعاد متناهی روی یک میدان متناهی، با یک حلقه ماتریسی روی آن میدان ایزومورفیک است.
    • روی میدانی با مشخصه صفر، جبر ویل ساده است اما نیمه ساده نیست، و به طور خاص، جبر ماتریسی روی جبر تقسیم روی مرکز آن نیست؛ جبر ویل نامتناهی-بعدی است، بنابراین قضیه ودربرن در مورد آن صدق نمی‌کند.

    همچنین ببینید

    [ ویرایش ]

    منابع

    [ ویرایش ]

    دسته بندی :