ادامه کورت گودل

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هفتم تیر ۱۴۰۰ | 20:6

جوایز و افتخارات [ ویرایش ]

گودل (با اهدا شد جولین شوینگر ) اولین جایزه آلبرت انیشتین در سال 1951، و همچنین اهدا شد مدال ملی علوم ، در سال 1974. [31] گودل عضو ساکن انتخاب شد انجمن فلسفی آمریکا در سال 1961 و یک عضو خارجی انجمن سلطنتی (ForMemRS) در سال 1968 . [32] [1] وی سخنگوی عمومی ICM در سال 1950 در کمبریج ، ماساچوست بود. [33] گودل جایزه ، جوایزی برای مقالات برجسته در حوزه علوم کامپیوتر نظری، بعد از او نام.

سنگ قبر کورت و آدل گودل در قبرستان پرینستون ، نیوجرسی

مرگ و زندگی بعدی [ ویرایش ]

بعداً در زندگی خود ، گودل دچار دوره هایی از بی ثباتی ذهنی و بیماری شد. به دنبال ترور دوست نزدیکش موریتس شلیک ، [34] گودل ترس وسواسی از مسموم شدن داشت . او فقط غذایی را می خورد که همسرش ، آدل ، برای او تهیه کرده بود. اواخر سال 1977 ، وی به مدت شش ماه در بیمارستان بستری شد و متعاقباً دیگر نمی توانست غذای شوهرش را تهیه کند. در غیاب او ، او از غذا خوردن امتناع ورزید و سرانجام از گرسنگی مرد. [35] او هنگام مرگ 29 کیلوگرم (65 پوند) وزن داشت. گواهی مرگ او گزارش داد که او از "سوء تغذیه و درگذشت بی جانی ناشی از اختلال شخصیت" در بیمارستان پرینستون در تاریخ 14 ژانویه، 1978. [36]وی را در قبرستان پرینستون به خاک سپردند . مرگ آدل در سال 1981 رخ داد. [37]

زندگی شخصی [ ویرایش ]

دیدگاه های مذهبی [ ویرایش ]

گودل در سنت مسیحیان یک خداباور بود . [38] او معتقد بود كه خدا شخصي است و فلسفه خود را "خردگرا ، آرمان گرا ، خوش بين و كلامي" خواند. [39]

گودل قاطعانه به یک زندگی پس از مرگ اعتقاد داشت ، و گفت: "البته این فرض می کند که روابط بسیاری وجود دارد که علم امروز و حکمت دریافتی هیچ گونه مهرآمیزی در آنها ایجاد نکرده است. "امروزه می توان با استدلال ناب" درک کرد که "کاملاً با واقعیت های شناخته شده سازگار است". "اگر جهان منطقی ساخته شده و معنا دارد ، پس چنین چیزی [به عنوان زندگی پس از مرگ] باید وجود داشته باشد." [40]

گودل در پاسخ بدون پاسخ به یک پرسشنامه ، مذهب خود را چنین توصیف کرد "لوترایی تعمید یافته (اما عضو هیچ جماعت مذهبی نیست). اعتقاد من به پیروی از لایب نیتس و نه اسپینوزا خداباورانه است ، نه پانته آئی ." [41] در مورد دین (ها) به طور کلی ، وی گفت: "ادیان ، در بیشتر موارد ، بد هستند - اما دین اینگونه نیست". [42] به گفته همسرش آدل ، "گودل ، اگرچه به كلیسا نمی رفت ، اما مذهبی بود و هر روز صبح روز یكشنبه كتاب مقدس را در رختخواب می خواند" ، [43] در حالی كه اسلام بود ، او گفت ، "من اسلام را دوست دارم: این است یک ایده ثابت [یا پیامدی] از دین و ذهن باز. " [44]

میراث [ ویرایش ]

کورت گودل جامعه ، در سال 1987 تاسیس شد، به افتخار او نامگذاری شد. این یک سازمان بین المللی برای ارتقا of تحقیقات در منطق ، فلسفه و تاریخ ریاضیات است . دانشگاه وین میزبان مرکز تحقیقات گودل کورت برای منطق ریاضی. انجمن نمادین منطق کورت گودل سالانه مدرس هر سال دعوت کرده است از سال 1990. یادداشت های فلسفی گودل در ویرایش مرکز تحقیقات گودل کورت است که در واقع فرهنگستان برلین-براندنبورگ علوم و علوم انسانی در آلمان است.

پنج جلد از آثار جمع آوری شده گودل منتشر شده است. دو مورد اول شامل انتشارات وی است. مورد سوم شامل نسخه های خطی منتشر نشده از ناچلاس وی است و دو مورد آخر شامل مکاتبات است.

در سال 2005 جان داوسون زندگینامه ای از گودل ، معضلات منطقی: زندگی و کار کورت گودل را منتشر کرد ( AK Peter ، Wellesley، MA، ISBN 1-56881-256-6 ). گودل همچنین یکی از چهار ریاضیدانی بود که در مستند دانش خطرناک بی بی سی 2008 دیوید مالون مورد بررسی قرار گرفت . [45]

داگلاس هوفستاتر کتاب 1979 Gödel، Escher، Bach را برای تجلیل از کار و ایده های گودل ، MC Escher و یوهان سباستین باخ نوشت . این مقاله بخشی از نتایج این واقعیت است که قضیه ناقصی گودل را می توان در هر سیستم محاسباتی کامل تورینگ ، که ممکن است شامل مغز انسان باشد ، به کار برد.

لو جاکوبی در سال 1994 در فیلم IQ نقش گودل را بازی می کند

کتابشناسی [ ویرایش ]

انتشارات مهم [ ویرایش ]

به زبان آلمانی:

1930 ، "Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls." Monatshefte für Mathematik und Physik 37 : 349–60.
1931 ، "formalber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme، I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38 : 173–98.
1932 ، "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül" ، Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69 : 65–66.

به انگلیسی:

1940. سازگاری بدیهیات انتخاب و فرضیه پیوسته تعمیم یافته با بدیهیات نظریه مجموعه. انتشارات دانشگاه پرینستون.
1947. "مشکل پیوستگی کانتور چیست؟" ماهنامه ریاضی آمریکایی 54 : 515-25. نسخه اصلاح شده در پل بناسراف و هیلاری پوتنام ، چاپ ، 1984 (1964). فلسفه ریاضیات: قرائت های برگزیده . دانشگاه کمبریج مطبوعات: 470–85.
1950 ، "چرخش جهان در نظریه نسبیت عام". مجموعه مقالات کنگره بین المللی ریاضیدانان در کمبریج ، جلد 1. 1 ، ص 175-81.

در ترجمه انگلیسی:

Kurt Gödel، 1992. در مورد گزاره های غیرقابل تصمیم گیری Principia Mathematica و سیستم های مرتبط ، tr. B. Meltzer ، با مقدمه ای جامع توسط Richard Braithwaite . چاپ مجدد داور از نسخه کتابهای اساسی 1962.
Kurt Gödel ، 2000. [46] درباره گزاره های غیرقابل تصمیم گیری Principia Mathematica و سیستم های مرتبط ، tr. مارتین هیرزل
Jean van Heijenoort ، 1967. یک کتاب منبع در منطق ریاضی ، 1879–1931 . دانشگاه هاروارد مطبوعات.
- 1930. "کامل بودن بدیهیات حساب کارکردی منطق" ، 582–91.
- 1930. "برخی از نتایج فراتمادی در مورد کامل بودن و سازگاری" ، 595–96. چکیده تا (1931).
- 1931. "درباره گزاره های غیرقابل تصمیم گیری Principia Mathematica و سیستم های مرتبط" ، 596–616.
- 1931a "درباره کامل بودن و سازگاری" ، 616–17.
"دیدگاه فلسفی من" ، ج. 1960 ، منتشر نشده
"توسعه مدرن مبانی ریاضیات در پرتو فلسفه" ، 1961 ، منتشر نشده است.
آثار گردآوری شده : انتشارات دانشگاه آکسفورد: نیویورک. سردبیر: سلیمان ففرمن .
- جلد اول: انتشارات 1929–1936 ISBN 978-0-19-503964-1 / شومیز: ISBN 978-0-19-514720-9 ،
- جلد دوم: انتشارات 1938–1974 شابک 978-0-19-503972-6 / شومیز: شابک 978-0-19-514721-6 ،
- جلد سوم: مقاله ها و سخنرانی های منتشر نشده ISBN 978-0-19-507255-6 / شومیز: ISBN 978-0-19-514722-3 ،
- جلد چهارم: نامه نگاری ، A – G ISBN 978-0-19-850073-5 ،
- جلد V: نامه نگاری ، H – Z ISBN 978-0-19-850075-9 .
Philosophische Notizbücher / دفترهای فلسفی : De Gruyter: Berlin / München / Boston. تدوینگر: اوا-ماریا انگلن .
- جلد 1: فلسفه اول ماکسیمن 0 / فلسفه من حداکثر 0 ISBN 978-3-11-058374-8 .
- جلد 2: Zeiteinteilung (Maximen) I und II / مدیریت زمان (Maxims) I و II ISBN 978-3-11-067409-5 .

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

ادامه کورت گودل

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هفتم تیر ۱۴۰۰ | 20:5

شغل [ ویرایش ]

قضیه ناتمامی [ ویرایش ]

دستاورد کورت گودل در منطق مدرن منحصر به فرد و به یاد ماندنی است - در واقع چیزی فراتر از یک بنای یادبود است ، این یک بنای تاریخی است که در مکان و زمان قابل مشاهده خواهد بود. ... موضوع منطق قطعاً با دستاورد گودل ماهیت و امکانات خود را کاملاً تغییر داده است.
- جان فون نویمان [16]

در سال 1930 گودل در دومین کنفرانس معرفت شناسی علوم دقیق شرکت کرد ، که در 5-7 سپتامبر در کونیگزبرگ برگزار شد . در اینجا او قضیه های ناقص بودن خود را ارائه داد . [17]

گودل قضیه های ناقص بودن خود را در formalber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme منتشر کرد (که به انگلیسی " در مورد گزاره های غیرقابل تصمیم گیری Principia Mathematica و سیستم های مرتبط "). در آن مقاله ، وی برای هر سیستم بدیهی قابل محاسبه ای که برای توصیف حساب اعداد طبیعی به اندازه کافی قدرتمند باشد (به عنوان مثال ، بدیهیات Peano یا تئوری مجموعه Zermelo – Fraenkel با بدیهی انتخاب ) ، ثابت کرد که:

اگر یک (رسمی منطقی یا برهان) سیستم است امگا سازگار ، نمی توان آن را از لحاظ دستوری کامل .
سازگاری بدیهیات را نمی توان در سیستم خود آنها اثبات کرد .

این قضیه ها با تلاش فرگه و با اوج گیری در Principia Mathematica و فرم گرایی هیلبرت ، برای یافتن مجموعه ای از بدیهیات کافی برای همه ریاضیات ، به نیم قرن تلاش پایان دادند .

از نظر گذشته ، ایده اساسی در قلب قضیه ناقص بودن کاملاً ساده است. گودل اساساً فرمولی ساخت که ادعا کند غیرقابل اثبات است در یک سیستم رسمی معین. اگر قابل اثبات بود ، نادرست بود. بنابراین حداقل حداقل یک جمله درست اما غیرقابل اثبات وجود دارد. یعنی برای هر مجموعه بدیهی قابل محاسبه قابل حساب برای حساب (یعنی مجموعه ای که در اصل می تواند توسط یک رایانه ایده آل با منابع نامحدود چاپ شود) ، فرمولی وجود دارد که در مورد حساب درست است ، اما در آن سیستم با این حال ، گودل برای ایجاد این دقیقات نیاز به ایجاد روشی برای رمزگذاری (به عنوان اعداد طبیعی) عبارات ، اثبات ها و مفهوم اثبات پذیری داشت. او این کار را با استفاده از فرایندی موسوم به شماره گذاری گودل انجام داد .

گودل در مقاله دو صفحه ای خود ، Zum intuitionistischen Aussagenkalkül (1932) ، ارزش محدود متناسب با منطق شهود گرایی را رد کرد . در اثبات ، وی به طور ضمنی از آنچه بعداً به عنوان منطق میانی گودل-دامت (یا منطق فازی گودل ) معروف شده است ، استفاده كرد.

اواسط دهه 1930: کار بیشتر و بازدید از ایالات متحده [ ویرایش ]

گودل در سال 1932 در وین افتخارات خود را بدست آورد و در سال 1933 در آنجا به عنوان Privatdozent (استاد بدون حقوق) درآمد. در سال 1933 آدولف هیتلر در آلمان به قدرت رسید و طی سالهای بعد نازی ها در اتریش و ریاضیدانان وین نفوذ کردند. در ژوئن 1936 ، موریتس شلیک ، که سمینار او علاقه گودل به منطق را برانگیخته بود ، توسط یوهان نلباک یکی از شاگردان سابق وی ترور شد . این باعث "یک بحران شدید عصبی" در گودل شد. [18] وی دچار علائم پارانوئید ، از جمله ترس از مسموم شدن شد و چندین ماه را در بیمارستان برای بیماری های عصبی گذراند. [19]

در سال 1933 ، گودل برای اولین بار به ایالات متحده سفر كرد و در آنجا با آلبرت انیشتین آشنا شد ، كه دوست خوبی شد. [20] وی در جلسه سالانه انجمن ریاضیات آمریکا سخنرانی کرد . در طی این سال ، گودل همچنین ایده های محاسبه پذیری و توابع بازگشتی را به حدی توسعه داد که بتواند سخنرانی ای درباره توابع بازگشتی عمومی و مفهوم حقیقت ارائه دهد. این کار با استفاده از شماره گذاری گودل در نظریه اعداد توسعه داده شد .

در سال 1934 ، گودل مجموعه ای از سخنرانی ها را در م Instituteسسه مطالعات پیشرفته (IAS) در پرینستون ، نیوجرسی برگزار كرد ، تحت عنوان گزاره های غیرقابل تصمیم سیستمهای رسمی ریاضی . استفان کلین ، که به تازگی دکترای خود را در پرینستون به پایان رسانده است ، یادداشتهایی از این سخنرانیها را که متعاقباً منتشر شده اند ، یادداشت کرد.

گودل در پاییز 1935 مجدداً از IAS بازدید کرد. مسافرت و سخت کوشی او را خسته کرده بود و سال بعد برای استراحت از یک دوره افسردگی استراحت کرد. وی در سال 1937 به تدریس بازگشت. در این مدت ، وی بر روی اثبات سازگاری بدیهی انتخاب و فرضیه پیوستار کار کرد . وی در ادامه نشان داد که این فرضیه ها را نمی توان از سیستم مشترک بدیهیات نظریه مجموعه رد کرد.

او ازدواج کرده آدل Nimbursky [ ES ؛ ast ] (خواهر پورکرت ، 1899–1981) ، که وی بیش از 10 سال او را می شناخت ، در 20 سپتامبر 1938. والدین گودل با رابطه آنها مخالفت کرده بودند زیرا او یک رقاص طلاق بود ، شش سال بزرگتر از او.

متعاقباً ، وی با گذراندن پاییز 1938 در IAS و انتشار سازگاری بدیهیات انتخابی و فرضیه پیوستگی تعمیم یافته با بدیهیات نظریه مجموعه ، برای یك سفر دیگر به ایالات متحده عزیمت كرد ، [21] یك كلاس ریاضیات مدرن . وی در آن کار جهان قابل ساخت را معرفی کرد ، الگویی از نظریه مجموعه ها که در آن تنها مجموعه هایی که وجود دارند مجموعه هایی هستند که می توانند از مجموعه های ساده تری ساخته شوند. گودل نشان داد که هر دو بدیهی انتخاب (AC) و فرضیه پیوستار تعمیم یافته (GCH) در جهان قابل ساخت درست هستند و بنابراین باید با بدیهیات Zermelo-Fraenkel سازگار باشندبرای تئوری مجموعه (ZF). این نتیجه پیامدهای قابل توجهی برای ریاضیدانان شاغل داشته است ، زیرا بدان معناست که آنها می توانند در اثبات قضیه هان-باناخ ، بدیهیات انتخابی را فرض کنند . بعداً پل کوهن مدلی از ZF را ساخت که در آن AC و GCH نادرست است. مجموع این اثبات ها به معنای مستقل بودن AC و GCH از بدیهیات ZF برای نظریه مجموعه است.

گودل بهار سال 1939 را در دانشگاه نوتردام گذراند . [22]

پرینستون ، انیشتین ، تابعیت ایالات متحده [ ویرایش ]

پس از آنشلوس در 12 مارس 1938 ، اتریش بخشی از آلمان نازی شده بود . آلمان عنوان Privatdozent را لغو کرد ، بنابراین گودل مجبور شد با دستور جدید برای موقعیت دیگری درخواست کند. ارتباط سابق وی با اعضای یهودی حلقه وین ، به ویژه با هان ، علیه او سنگینی کرد. دانشگاه وین درخواست وی را رد کرد.

هنگامی که ارتش آلمان وی را برای خدمت وظیفه مناسب دید ، اوضاع او شدت گرفت. جنگ جهانی دوم در سپتامبر 1939 آغاز شد. قبل از پایان سال ، گودل و همسرش وین را به مقصد پرینستون ترک کردند . گودل ها برای جلوگیری از عبور از گذرگاه اقیانوس اطلس ، راه آهن ترانس سیبری را به اقیانوس آرام بردند و از ژاپن به سانفرانسیسكو (كه در 4 مارس 1940 به آن رسیدند) رفتند ، سپس با قطار از آمریكا به پرینستون عبور كردند. در آنجا گودل شغلی را در انستیتوی مطالعات پیشرفته (IAS) پذیرفت که قبلاً طی سالهای 1933 تا 34 از آن بازدید کرده بود. [23]

آلبرت انیشتین نیز در این مدت در پرینستون زندگی می کرد. گودل و انیشتین دوستی محکمی برقرار کردند و مشهور بود که با هم پیاده روی طولانی مدت و به م andسسه مطالعات پیشرفته داشتند. ماهیت مکالمات آنها برای دیگر اعضای موسسه یک معما بود. اقتصاددان اسکار مورگنسترن می گوید که انیشتین در اواخر زندگی خود اعتماد کرد که "کار خودش دیگر معنی چندانی نداشت ، این که او فقط به م cameسسه آمده بود ... تا این که این امتیاز را داشته باشد که با گودل به خانه برود". [24]

گودل و همسرش آدل تابستان سال 1942 را در بلو هیل ، ماین ، در مسافرخانه آبی هیل در بالای خلیج گذراندند . گودل صرفاً در تعطیلات به سر نمی برد بلکه تابستان کار بسیار مثبتی داشت. با استفاده از Heft 15 [جلد 15] از گودل که هنوز منتشر نشده است Arbeitshefte [ دفترهای کار] ، جان د. داوسون جونیور حدس می زند که گودل مدرکی را برای استقلال بدیهی انتخاب از نظریه نوع محدود ، یک شکل ضعیف از نظریه مجموعه ها ، کشف کرد. دوست نزدیک گودل ، هائو وانگ ، در حالی که در سال 1942 در Blue Hill بود ، از این حدس پشتیبانی می كند و خاطرنشان می كند كه دفترهای یادداشت Blue Hill گودل شامل گسترده ترین روش درمان وی برای این مسئله است.

در 5 دسامبر 1947 ، انیشتین و مورگنسترن گودل را در امتحان تابعیت ایالات متحده همراهی کردند ، جایی که آنها به عنوان شاهد عمل کردند. گودل به آنها اعتماد کرده بود که ناسازگاری در قانون اساسی آمریکا را کشف کرده است که می تواند به دیکتاتوری ایالات متحده اجازه دهد. این از آن زمان به عنوان گنگ گودل لقب گرفته است . انیشتین و مورگنسترن نگران بودند که رفتار غیرقابل پیش بینی دوست آنها ممکن است درخواست وی را به خطر بیندازد. معلوم شد قاضی فیلیپ فورمن است كه اینشتین را می شناسد و در جلسه دادرسی تابعیت خود اینشتین سوگند یاد كرده است. همه چیز روان پیش رفت تا اینکه فورمن اتفاقاً از گودل س askال کرد که آیا فکر می کند دیکتاتوری مثل رژیم نازی است؟گودل ممکن است در ایالات متحده اتفاق بیفتد و سپس شروع به توضیح کشف خود برای فورمن کرد. فورمن فهمید چه خبر است ، گودل را قطع كرد و جلسه دادرسی را به س questionsالات دیگر و نتیجه گیری معمول منتقل كرد. [25] [26]

گودل در سال 1946 به عضو دائمی م Instituteسسه مطالعات پیشرفته در پرینستون درآمد. در همین زمان ، اگرچه به کار خود ادامه داد ، انتشار را متوقف کرد. وی در سال 1953 به عنوان استاد تمام عیار در م Instituteسسه و در سال 1976 به استادی ممتاز رسید. [27]

در طول مدت حضور در م theسسه ، علاقه های گودل به فلسفه و فیزیک معطوف شد. در سال 1949 ، او وجود راه حل های منحنی بسته به موقع را برای معادلات میدان انیشتین در نسبیت عام نشان داد . [28] گفته می شود وی این توضیحات را برای 70 سالگی تولد اینشتین به عنوان هدیه داده است. [29] "جهان های چرخان" وی امکان سفر به زمان را به گذشته می دهد و باعث می شود که اینشتین در نظریه خود شک کند. راه حل های وی به عنوان معیار گودل (راه حل دقیق معادله میدان انیشتین ) شناخته می شود.

او آثار گوتفرید لایب نیتس را مطالعه و تحسین کرد ، اما به این باور رسید که یک توطئه خصمانه باعث سرکوب برخی از آثار لایب نیتس شده است. [30] وی تا حدودی به مطالعه امانوئل کانت و ادموند هوسرل پرداخت . در اوایل 1970s، گودل در میان دوستان خود به گردش شرح و گسترش نسخه لایب نیتز از آنسلم کانتربری را اثبات هستی شناختی از وجود خدا. این اکنون به عنوان اثبات هستی شناختی گودل شناخته می شود .

کورت گودل

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هفتم تیر ۱۴۰۰ | 20:3

کورت گودل

بدنیا آمدن	کورت فردریش گودل 28 آوریل 1906 برون ، اتریش-مجارستان (اکنون برنو ، جمهوری چک )
فوت کرد	14 ژانویه 1978 (71 ساله) پرینستون ، نیوجرسی ، ایالات متحده
علت مرگ	گرسنگی
تابعیت	چکسلواکی اتریشی آمریکایی
ماده آلما	دانشگاه وین
شناخته شده برای	قضیه های ناقص بودن گودل قضیه کامل بودن گودل جهان قابل ساخت گودل متریک گودل ( منحنی بسته به زمان ) منطق گودل منطق گودل – دامت عملکرد β Gödel شماره گذاری گودل عملیات گودل قضیه سرعت گودل اثبات هستی شناسانه گودل ترجمه گودل – گنتزن نظریه مجموعه فون نویمان - برنایز - گودل نظریه سازگار ω سازگاری فرضیه پیوستار با ZFC بدیهی بودن ساخت لمام متراکم تفسیر دیالکتیکا استدلال تیرکمان بچه گانه
همسر (ها)	آدل نیمبورسکی ( متر 1938)
جوایز	جایزه آلبرت انیشتین (1951) ForMemRS (1968) [1] مدال ملی علوم (1974)
حرفه علمی
زمینه های	ریاضیات ، منطق ریاضی ، فلسفه تحلیلی ، فیزیک
مسسات	موسسه مطالعات پیشرفته
پایان نامه	Onber die Vollständigkeit des Logikkalküls (درباره کامل بودن حساب منطق) (1929)
مشاور دکترا	هانس هان
امضا

کورت گودل فردریش ( / ɡ ɜːr د əl / ؛ [2] آلمانی: [kʊɐ̯t ɡøːdl̩] ( گوش دادن ) ؛ 1906 آوریل 28 - 1978 ژانویه 14) یک بود منطقدان ، ریاضیدان ، و فیلسوف . گودل که همراه با ارسطو و گوتلوب فرگه یکی از مهمترین منطق دانان تاریخ شناخته می شود ، تأثیر بسزایی در تفکر علمی و فلسفی در قرن 20 داشت ، زمانی که دیگران مانند برتراند راسل ، [3] آلفرد نورث وایتهد ، [ 3]و دیوید هیلبرت با استفاده از منطق و تئوری مجموعه ، مبانی ریاضیات را بررسی کردند و کارهای قبلی را مانند ریچارد ددکیند ، گئورگ کانتور و گوتلوب فرگه ایجاد کردند.

گودل اولین قضیه ناقص بودن خود را در سال 1931 هنگامی که 25 ساله بود ، یک سال پس از پایان دکترای خود در دانشگاه وین ، منتشر کرد . اولین قضیه ناتمامی بیان می کند که برای هر سیستم بدیهی بازگشتی ω سازگار با قدرت کافی برای توصیف حساب اعداد طبیعی (به عنوان مثال حساب Peano ) ، گزاره های صحیحی در مورد اعداد طبیعی وجود دارد که نه می تواند اثبات شود و نه از بدیهیات رد شود. [4] برای اثبات این امر ، گودل تکنیکی را توسعه داد که اکنون به عنوان شماره گذاری گودل شناخته می شود ، که عبارات رسمی را به عنوان اعداد طبیعی رمزگذاری می کند. قضیه ناتمامی دوم ، که از قضیه اول ناشی می شود ، بیان می کند که سیستم نمی تواند سازگاری خود را ثابت کند. [5]

گودل همچنین نشان داد که نه بدیهی انتخاب و نه فرضیه پیوستار را نمی توان با فرض سازگاری بدیهیات آن از نظریه مجموعه پذیرفته شده زرملو-فراینکل رد کرد . نتیجه قبلی دریچه ای را برای ریاضیدانان باز کرد تا بدیهیات را در اثبات خود بدست آورند. وی همچنین با روشن ساختن ارتباطات بین منطق کلاسیک ، منطق شهود گرایانه و منطق مalثر ، سهم مهمی در نظریه اثبات داشت .

فهرست

زندگی و تحصیلات اولیه [ ویرایش ]

دوران کودکی [ ویرایش ]

گودل در 28 آوریل 1906 در برون ، اتریش-مجارستان ( برنو ، جمهوری چک فعلی ) در خانواده آلمانی زبان رودلف گودل (1929-1874) ، مدیر عامل و مالک بخشی از یک شرکت بزرگ نساجی و ماریان به دنیا آمد. گودل ( née Handschuh ، 1879–1966). [6] گودل در طول زندگی خود نزدیک مادرش بود. مکاتبات آنها مکرر و گسترده بود. [7] در زمان تولد وی ، این شهر اکثریت آلمانی زبان داشت که شامل والدین وی بود. [8]پدرش کاتولیک و مادرش پروتستان و بچه ها پروتستان تربیت شدند. اجداد کورت گودل اغلب در زندگی فرهنگی برون فعال بودند. به عنوان مثال ، پدربزرگ وی جوزف گودل در زمان خود خواننده مشهوری بود و برای برخی از سالها عضو Brunner Männergesangverein (اتحادیه سرود مردان برون) بود. [9]

هنگامی که امپراتوری اتریش-مجارستان پس از شکست در جنگ جهانی اول سقوط کرد ، گودل در 12 سالگی به طور خودکار شهروند چکسلواکی شد . (با توجه به همکلاسی خود Klepetař ، مانند بسیاری از ساکنان عمدتا آلمانی Sudetenländer ، "گودل در نظر گرفته خود همیشه اتریش و در تبعید در چکسلواکی".) [10] در ماه فوریه سال 1929، او اعطا شد آزادی از شهروندی چکسلواکی خود و سپس، در ماه آوریل ، تابعیت اتریش را اعطا کرد. [11] هنگامی که آلمان اتریش را در سال 1938 ضمیمه کرد ، گودل در 32 سالگی به طور خودکار شهروند آلمان شد. در سال 1948 ، پس از جنگ جهانی دوم، در سن 42 سالگی ، شهروند آمریکا شد. [12]

در خانواده اش ، گودل جوان به دلیل کنجکاوی سیری ناپذیر ، لقب Herr Warum ("آقای چرا") را گرفت. به گفته برادرش رودولف ، كورت در شش یا هفت سالگی از تب روماتیسمی رنج می برد . او به طور کامل بهبود یافت ، اما تا آخر عمر متقاعد شد که قلبش آسیب دائمی دیده است. گودل از چهار سالگی مبتلا به "قسمتهای مکرر سلامتی" بود ، که برای تمام زندگی او ادامه داشت. [13]

گودل از سال 1912 تا 1916 در Evangelische Volksschule ، یک مدرسه لوتری در برون حضور یافت و از 1916 تا 1924 در Deutsches Staats-Realgymnasium ثبت نام کرد ، و در تمام دروس خود ، به ویژه در ریاضیات ، زبان ها و مذهب ، ممتاز بود. گرچه گودل برای اولین بار در زبان ها سرآمد بود ، اما بعداً بیشتر به تاریخ و ریاضیات علاقه مند شد. علاقه وی به ریاضیات هنگامی افزایش یافت که در سال 1920 برادر بزرگتر رودولف (متولد 1902) به وین عزیمت کرد و در آنجا در دانشکده پزشکی در دانشگاه وین تحصیل کرد . در طول دوران نوجوانی خود، گودل مورد مطالعه قرار Gabelsberger مختصر ، گوته را نظریه رنگ و انتقادات اسحاق نیوتن، و نوشته های امانوئل کانت .

مطالعات در وین [ ویرایش ]

گودل در 18 سالگی به برادرش در دانشگاه وین پیوست . در آن زمان ، او قبلاً در ریاضیات سطح دانشگاه تسلط داشت. [14] اگرچه در ابتدا قصد تحصیل فیزیک نظری را داشت ، اما در دوره های ریاضیات و فلسفه نیز شرکت کرد. در این مدت ، او ایده هایی از رئالیسم ریاضی را پذیرفت . او خواندن کانت را Metaphysische Anfangsgründe DER Naturwissenschaft ، و در شرکت حلقه وین با موریتس شلیک ، هانس هان ، و رودلف کارناپ . گودل سپس تئوری اعداد را مطالعه کرد ، اما وقتی در سمیناری که توسط آن اداره می شد شرکت کردموریتز شلیک که کتاب مقدمه ای بر فلسفه ریاضی برتراند راسل را مطالعه کرد ، به منطق ریاضی علاقه مند شد . از نظر گودل ، منطق ریاضی "علمی قبل از همه بود که حاوی ایده ها و اصول اساسی همه علوم باشد." [15]

شرکت در یک سخنرانی توسط دیوید هیلبرت در بولونیا در مورد کامل بودن و سازگاری در سیستم های ریاضی ممکن است مسیر زندگی گودل را تعیین کند. در سال 1928، هیلبرت و ویلهلم آکرمن منتشر شده Grundzüge DER theoretischen LOGIK ( اصول منطق ریاضی )، مقدمه ای بر منطق مرتبه اول که در آن مشکل کامل مطرح شد: "آیا بدیهیات از یک سیستم رسمی برای استخراج هر بیانیه این است که به اندازه کافی در همه مدلهای سیستم درست است؟ "

این مسئله به موضوعی تبدیل شد که گودل برای کارهای دکتری خود انتخاب کرد. در سال 1929 ، در سن 23 سالگی ، دکترای خود را زیر نظر هانس هان به پایان رساند. در آن ، او قضیه کامل بودن همنام خود را در مورد حساب محمول مرتبه اول تأسیس کرد . وی در سال 1930 به دکترای خود اعطا شد و پایان نامه وی (همراه با برخی کارهای اضافی) توسط آکادمی علوم وین منتشر شد .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del

ادامه آلفرد تارسکی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هفتم تیر ۱۴۰۰ | 19:58

ریاضی دان [ ویرایش ]

علایق ریاضی تارسکی به طور استثنایی گسترده بود. مقالات جمع آوری شده وی حدود 2500 صفحه است ، بیشتر آنها در مورد ریاضیات است ، نه منطق. برای یک بررسی اجمالی از موفقیتهای ریاضی و منطقی تارسکی توسط شاگرد سابق وی سلیمان ففرمن ، به مقاله "Interludes I – VI" در ففرمن و ففرمن مراجعه کنید. [27]

اولین مقاله تارسکی ، که در 19 سالگی منتشر شد ، درباره تئوری مجموعه بود [ نیاز به منبع ] ، موضوعی که وی در طول زندگی خود به آن بازگشت. در سال 1924 ، او و استفان باناچ ثابت كردند كه ، اگر شخص بدیهیات انتخاب را بپذیرد ، می توان یك توپ را به تعداد محدودی از قطعات برش داد ، و سپس دوباره به یك توپ با اندازه بزرگتر مونتاژ كرد ، یا اینکه می توان آن را به دو توپ كه اندازه هر یک برابر با اندازه اصلی است. این نتیجه اکنون پارادوکس Banach – Tarski نامیده می شود .

در یک روش تصمیم گیری برای جبر و مقابله و هندسه ، تارسکی نشان داد، با استفاده از روش حذف سور ، که تئوری مرتبه اول از اعداد حقیقی تحت جمع و ضرب است تصمیم گرفتنی . (در حالی که این نتیجه تنها در سال 1948 ظاهر شد، آن قدمت آن به سال 1930 و در تارسکی (1931 اشاره شده است).) این یک نتیجه بسیار کنجکاو است، چرا که آلونزو چرچ در سال 1936 ثابت کرد که پیانو حساب (نظریه اعداد طبیعی ) است نه تصمیم گرفتنی . محاسبات Peano نیز با قضیه ناقص بودن گودل ناقص است . در نظریه های غیرقابل تصمیم خود در سال 1953، تارسکی و دیگران نشان داد که بسیاری از سیستم های ریاضی ، از جمله نظریه شبکه ، هندسه تصویری انتزاعی و جبرهای بسته ، همه غیرقابل تصمیم هستند. نظریه گروههای آبلیان قابل تصمیم گیری است ، اما نظریه گروههای غیر آبلیایی چنین نیست.

در دهه های 1920 و 30 ، تارسکی اغلب هندسه دبیرستان را تدریس می کرد . با استفاده از برخی ایده های ماریو پییری ، در سال 1926 تارسکی بدیهی سازی اصلی را برای هندسه هواپیمای اقلیدسی ابداع کرد ، که مختصرتر از هیلبرت است . بدیهیات تارسکی نظریه مرتبه اول و عاری از نظریه مجموعه را تشکیل می دهد که افراد آن نقطه هستند و فقط دو رابطه ابتدایی دارند . در سال 1930 ، وی این نظریه را قابل تصمیم گیری اثبات کرد زیرا می توان آن را در نظریه دیگری که قبلاً نیز قابل اثبات بود ، یعنی نظریه مرتبه اول او درباره اعداد واقعی ، نگاشت.

در سال 1929 او نشان داد که بسیاری از هندسه جامد اقلیدسی را می توان به عنوان نظریه ای از مرتبه دوم که افراد آن کره هستند (یک مفهوم بدوی ) ، یک رابطه دودویی ابتدایی منفرد "موجود در" و دو بدیهی که ، از جمله چیزهای دیگر ، بیان می کنند که مهار تا حدی به حوزه ها سفارش می دهد. آرامش بخش نیاز است که همه افراد می شود حوزه بازده رسمی از مرئولوژی به مراتب آسان تر به exposit از Lesniewski به نوع است. در اواخر عمر خود ، تارسکی نامه ای طولانی نوشت که با عنوان Tarski and Givant (1999) منتشر شد و خلاصه کار خود را در زمینه هندسه ارائه داد.

جبرین های کاردینال جبرهایی را مطالعه کردند که مدل های آنها شامل حساب اعداد اصلی است . جبرهای عادی جبری برای نظریه افزودنی انواع نظم تعیین می کند . رفت و آمدهای اضافی کاردینال ، اما نه ترتیبی.

در سال 1941 ، تارسكی مقاله مهمی در مورد روابط دودویی منتشر كرد ، كه در آن كار جبر رابطه و فراتمادیات آن آغاز شد كه تارسكی و شاگردانش را در بیشتر موازنه زندگی اش به خود مشغول داشت. در حالی که این کاوش (و کار نزدیک راجر لیندون ) برخی از محدودیت های مهم جبر رابطه را کشف کرد ، Tarski همچنین نشان داد (Tarski and Givant 1987) که جبر رابطه می تواند بیشتر نظریه مجموعه های بدیهی و حساب Peano را بیان کند . برای مقدمه ای در جبر رابطه ، به Maddux (2006) مراجعه کنید. در اواخر دهه 1940 ، تارسكی و شاگردانش جبرهای استوانه ای طراحی كردند ، كه برای منطق درجه اول استچه دو عنصر جبر بولی است به کلاسیک منطق جمله . این کار در دو مونوگرافی تارسکی ، هنکین و مونک (1971 ، 1985) به اوج خود رسید.

منطق دان [ ویرایش ]

شاگرد تارسکی ، ووت ، تارسکی را به عنوان یکی از چهار بزرگترین منطق دانان در همه زمان ها - به همراه ارسطو ، گوتلوب فرگه و کورت گودل - رتبه بندی کرده است . [7] [28] [29] با این حال ، تارسکی غالباً از چارلز سندرز پیرس ، خصوصاً از کارهای پیشگام او در منطق روابط ، ستایش زیادی می کرد .

تارسکی بدیهیاتی را برای نتیجه منطقی تولید کرد و روی سیستم های قیاسی ، جبر منطق و نظریه قابلیت تعریف کار کرد. روشهای معنایی وی ، که در نظریه مدل به اوج خود رسید و او و تعدادی از دانشجویان برکلی خود را در دهه 1950 و 60 توسعه دادند ، فراتمادیات نظریه اثبات اثبات هیلبرت را کاملاً دگرگون کردند.

از دیدگاه [تارسکی] فراتمادیات به هر رشته ریاضی شبیه می شود. نه تنها می توان مفاهیم و نتایج آن را ریاضی کرد ، بلکه در واقع می توان آنها را در ریاضیات ادغام کرد. ... تارسکی مرز بین فراتماده ها و ریاضیات را از بین برد. او مخالفت كرد كه نقش فراتماده ها را به مباني رياضيات محدود كند. [30]

مقاله Tarski در سال 1936 "در مورد مفهوم نتیجه منطقی" استدلال می کند که نتیجه گیری یک استدلال منطقی از مقدمات آن دنبال می شود اگر و فقط اگر هر مدل از مقدمات یک مدل از نتیجه گیری باشد. در سال 1937 ، او مقاله ای را منتشر كرد كه به وضوح نظرات خود را در مورد ماهیت و هدف روش استنباطی و نقش منطق در مطالعات علمی ارائه می داد. او در دوره دبیرستان و دوره کارشناسی خود در زمینه منطق و بدیهیات با یک متن کوتاه کلاسیک به اوج خود رسید ، ابتدا به زبان لهستانی ، سپس به ترجمه آلمانی و در نهایت با ترجمه انگلیسی 1941 به عنوان مقدمه ای بر منطق و روش شناسی علوم قیاسی منتشر شد .

تارسکی در سال 1969 "حقیقت و اثبات" هر دو قضیه ناقص بودن گودل و قضیه غیرقابل تعریف بودن تارسکی را مورد توجه قرار داد و در مورد عواقب آنها برای روش بدیهی در ریاضیات اظهار نظر کرد .

حقیقت در زبانهای رسمی شده [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه معنایی حقیقت

در سال 1933، تارسکی به چاپ مقاله بسیار طولانی در لهستانی، تحت عنوان "prawdy Pojęcie W językach nauk dedukcyjnych"، [31] "تنظیم یک تعریف ریاضی از حقیقت برای زبان رسمی." ترجمه آلمانی سال 1935 با عنوان "Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen" ، "مفهوم حقیقت در زبانهای رسمی شده" بود که بعضاً به "Wahrheitsbegriff" خلاصه می شود. ترجمه انگلیسی در چاپ اول 1956 از جلد جلد منطق ، معناشناسی ، فرادا ریاضیات ظاهر شد . این مجموعه مقالات از سال 1923 تا 1938 رویدادی در فلسفه تحلیلی قرن بیستم ، سهمی در منطق نمادین ، معناشناسی و فلسفه زبان است .کنوانسیون T (و همچنین طرحواره T ).

برخی از بحث های فلسفی اخیر بررسی می کند که تا چه اندازه نظریه حقیقت تارسکی برای زبانهای رسمی می تواند به عنوان یک تئوری مطابقت با حقیقت تلقی شود . بحث در مورد چگونگی خواندن شرایط کفایت مواد تارسکی برای یک تعریف واقعی است. این شرط مستلزم این است که نظریه حقیقت برای همه جملات p از زبانی که حقیقت برای آن تعریف شده است ، دارای قضایای زیر باشد:

"p" درست است اگر و فقط اگر p باشد.

(جایی که p گزاره بیان شده توسط "p" است)

بحث درمورد خواندن جملاتی از این فرم است ، مانند

اگر برف سفید باشد ، "برف سفید است" درست است

همانطور که صرفاً یک نظریه تورم زدایی از حقیقت را بیان می کند و یا اینکه حقیقت را به عنوان یک ویژگی قابل ملاحظه تر مجسم می کند (نگاه کنید به Kirkham 1992). مهم است که درک کنیم نظریه حقیقت تارسکی برای زبانهای رسمی است ، بنابراین نمونه هایی به زبان طبیعی مصداق استفاده از نظریه حقیقت تارسکی نیست.

نتیجه منطقی [ ویرایش ]

در سال 1936 ، تارسکی نسخه های لهستانی و آلمانی سخنرانی خود را که سال قبل در کنگره بین المللی فلسفه علمی در پاریس ایراد کرده بود ، منتشر کرد. ترجمه جدید انگلیسی این مقاله ، تارسکی (2002) ، بر تفاوت های بسیاری که بین نسخه آلمانی و لهستانی مقاله وجود دارد ، برجسته شده و تعدادی از ترجمه های غلط در تارسکی (1983) را اصلاح می کند.

این نشریه تعریف نظری مدل مدرنی از پیامد منطقی (معنایی) یا حداقل مبنای آن را بیان کرده است. مفهوم این که آیا تارسکی به طور کامل، مدرن، یک نوبت در مورد اینکه آیا او در نظر گرفته به اعتراف مدل با دامنه متفاوت (و به طور خاص، مدل ها با حوزه های مختلف بود cardinalities ). این س aال در ادبیات فلسفی رایج مورد بحث است. جان Etchemendy بسیاری از بحث های اخیر در مورد درمان Tarski در حوزه های مختلف تحریک شده است. [32]

تارسكی با اشاره به اینكه تعریف وی از نتیجه منطقی بستگی به تقسیم اصطلاحات به منطقی و برون منطقی دارد ، ابراز تردید می كند كه هرگونه تقسیم عینی این چنینی وجود خواهد داشت. "مفاهیم منطقی چیست؟" بنابراین می توان به عنوان ادامه دهنده "درباره مفهوم نتیجه منطقی" نگریست.

روی مفاهیم منطقی کار کنید [ ویرایش ]

نظریه دیگری درباره جلب توجه تارسکی در ادبیات فلسفی اخیر نظریه ای است که در "چه مفهوم منطقی وجود دارد" (تارسکی 1986). این نسخه منتشر شده از سخنرانی است که وی در ابتدا در سال 1966 در لندن و بعداً در سال 1973 در بوفالو ارائه داد . بدون دخالت مستقیم وی توسط جان کورکوران ویرایش شد . این مقاله بیشترین مقاله در ژورنال History and Philosophy of Logic شد . [33]

در این سخنرانی ، تارسكی تعیین كردن عملیات منطقی (كه وی آن را "مفهوم" می نامد) از غیر منطقی را پیشنهاد كرد. معیارهای پیشنهادی از برنامه ارلانگن ریاضی دان آلمانی قرن نوزدهم فلیکس کلاین استخراج شده است . Mautner (در سال 1946) ، و احتمالاً مقاله ای توسط Sebastiao e Silva ریاضیدان پرتغالی ، پیش بینی تارسکی را در استفاده از برنامه Erlangen در منطق داشت.

این برنامه انواع مختلف هندسه (هندسه اقلیدسی ، هندسه افین ، توپولوژی و غیره) را بر اساس نوع تبدیل یک به یک فضا بر روی خود طبقه بندی می کند که اشیا that آن نظریه هندسی را ثابت نگه می دارد. (تحول یک به یک) نقشه عملکردی فضا بر روی خود است به طوری که هر نقطه از فضا با یک نقطه دیگر از فضا مرتبط یا نقشه برداری می شود. بنابراین ، "30 درجه بچرخید" و "با یک عامل بزرگ کنید" از 2 "توصیف بصری از تبدیل های یکنواخت و یکنواخت ساده است.) تبدیلات مداوم باعث به وجود آمدن اشیا of توپولوژی ، تبدیلات شباهت با هندسه اقلیدسی و غیره می شود.

همانطور که دامنه تحولات مجاز گسترده تر می شود ، دامنه اجسامی که می توان آنها را تشخیص داد همانطور که با اعمال تحولات باریک تر می شوند. تبدیلات شباهت نسبتاً باریک است (فاصله نسبی بین نقاط را حفظ می کند) و بنابراین به ما اجازه می دهد تا چیزهای نسبتاً زیادی را از هم تفکیک کنیم (مثلاً مثلث های متساوی الاضلاع از مثلث های یک طرفه). تحولات مداوم (که بصورت شهودی می توان آنها را تبدیلاتی دانست که اجازه می دهد کشش ، فشرده سازی ، خم شدن و پیچ خوردگی غیر یکنواخت وجود داشته باشد ، اما بدون چاک زدن یا چسباندن) اجازه می دهد یک چند ضلعی را از یک حلقه (حلقه ای که در مرکز آن سوراخ دارد) تشخیص دهیم ، اما اجازه ندهید که دو چند ضلعی را از یکدیگر تشخیص دهیم.

پیشنهاد تارسکی بود برای تعیین مفاهیم منطقی با در نظر گرفتن همه یک به یک تحولات ممکن ( automorphisms ) از یک دامنه بر روی خود. منظور از حوزه ، جهان گفتمان مدلی برای نظریه معنایی منطق است. اگر یکی مقدار true را با مجموعه دامنه و true-value False را با مجموعه خالی مشخص کند ، عملیات زیر به عنوان منطقی محاسبه می شود:

توابع حقیقت : همه توابع حقیقت با پیشنهاد پذیرفته می شوند. این شامل، اما به همه محدود نمی N -ary حقیقت توابع برای محدود N . (همچنین توابع حقیقت را با تعداد بی نهایت مکان پذیرفته است.)
افراد : به شرط داشتن حداقل دو عضو ، هیچ فردی وجود ندارد.
پیش بینی ها :
- پیش بینی های یک وجهی کل و پوچ ، اولی دارای تمام اعضای دامنه در پسوند آن و دومی هیچ عضوی از دامنه در پسوند آن ندارد
- پیش بینی های کلی و پوچ دو مکانه ، اولی مجموعه ای از همه جفت های مرتب شده اعضای دامنه را به عنوان پسوند و دومی با مجموعه خالی به عنوان پسوند
- دو محل گزاره هویت، با مجموعه ای از تمام سفارش جفت < ، > در گسترش آن، که در آن یک عضو از دامنه است
- گزاره تنوع دو مکانه ، با مجموعه ای از همه جفت های ترتیب < a ، b > که a و b اعضای متمایز دامنه هستند
- محمولات n -ary به طور کلی: همه محمول های قابل تعریف از محمول هویت همراه با حروف ربط ، انفصال و نفی (تا هر ترتیب ، متناهی یا نامحدود)
کمیت سنج ها : تارسکی به صراحت فقط در مورد کمیت سنجهای چند بعدی بحث می کند و اشاره می کند که همه این کمیت سنجهای عددی تحت پیشنهاد وی پذیرفته شده اند. این شامل کمیت کننده های استاندارد جهانی و وجودی و همچنین کمی کننده های عددی مانند "دقیقاً چهار" ، "خیلی زیاد" ، "غیرقابل شمارش زیاد" و "بین چهار تا 9 میلیون" است. در حالی که تارسکی وارد این مسئله نمی شود ، همچنین مشخص است که کمیت کننده های چندجلدی تحت این پیشنهاد پذیرفته می شوند. اینها کمی کننده ها هستند ، با توجه به دو گزاره Fx و Gy ، "More ( x، y )" ، که می گوید "چیزهای بیشتری F دارند تا G ".
روابط نظری مجموعه : روابطی مانند شمول ، تقاطع و اتحادیه که در زیرمجموعه های حوزه اعمال می شود به معنای فعلی منطقی است.
عضویت در مجموعه : تارسکی سخنرانی خود را با بحث در مورد اینکه آیا رابطه عضویت مجموعه به معنای منطقی او حساب می شود ، پایان داد. (با توجه به كاهش (بیشتر) ریاضیات به نظریه مجموعه ها ، در واقع این س theال بود كه آیا بیشتر یا كل ریاضیات بخشی از منطق است.) وی خاطرنشان كرد كه اگر نظریه مجموعه در امتداد توسعه یابد عضویت در مجموعه منطقی است. خطوط تئوری نوع ، اما اگر نظریه مجموعه ها بدیهی باشد ، مانند تئوری مجموعه متعارف Zermelo – Fraenkel ، خارج از منطق است .
مفاهیم منطقی از مرتبه بالاتر : در حالی که تارسکی بحث خود را به عملیات منطق درجه یک محدود می کند ، اما چیزی در مورد پیشنهاد او وجود ندارد که لزوماً آن را به منطق درجه اول محدود کند. (احتمالاً تارسکی توجه خود را به مفهوم های مرتبه اول محدود کرده است زیرا این سخنرانی به مخاطبان غیرفنی ارائه شده است.) بنابراین ، کمیت ها و پیش بینی های درجه بالاتر نیز پذیرفته می شوند.

در برخی از راه پیشنهاد حاضر هر چیزی که از Lindenbaum و Tarski (1936)، که ثابت کرد که تمام عملیات منطقی راسل و وایتهد را Principia Mathematica به زیر یک به یک تحولات دامنه بر روی خود ثابت می شوند. پیشنهاد حاضر نیز در Tarski and Givant (1987) به کار رفته است.

سلیمان ففرمن و ون مک گی در ادامه درباره پیشنهاد تارسکی در کار منتشر شده پس از مرگ وی بحث کردند. ففرمن (1999) مشكلاتي را براي طرح پيشنهاد مطرح كرد و راه حلي را براي آن پيشنهاد كرد: جايگزيني حفظ تارسكي توسط اتومورفيسم با حفظ توسط هومومورفيسم خودسرانه . در اصل ، این پیشنهاد دشواری پیشنهادی تارسکی در برخورد با یکسان بودن عملکرد منطقی را در حوزه های مشخص یک کاردینالیته خاص و در سراسر حوزه های کاردینالیته های مشخص دور می زند. نتیجه پیشنهادی ففرمن در مقایسه با پیشنهاد اصلی تارسکی منجر به محدودیت اساسی اصطلاحات منطقی می شود. به طور خاص ، در نهایت فقط آن دسته از عملگرهای منطق استاندارد درجه یک بدون هویت را منطقی می شمارد.

McGee (1996) گزارشی دقیق از عملیاتی بودن منطق پیشنهاد تارسکی از نظر بیان در زبانی ارائه می دهد که منطق مرتبه اول را با اجازه دادن به پیوندها و پیوندهای خودسرانه طولانی ، و کمی سازی نسبت به دلخواه بسیاری از متغیرها ، گسترش می دهد. "خودسرانه" شامل یک بی نهایت قابل شمارش است.

آثار [ ویرایش ]

گلچین ها و مجموعه ها

1986. مقالات جمع آوری شده آلفرد تارسکی ، 4 جلد. انتشارات Givant ، SR ، و McKenzie ، RN. بیرخاوزر.
گیوانت استیون (1986) "کتابشناسی آلفرد تارسکی". مجله منطق نمادین . 51 (4): 913–41. doi : 10.2307 / 2273905 . JSTOR 2273905 .
1983 (1956) Logic، Semantics، Metamathematics: مقالاتی از 1923 تا 1938 توسط آلفرد تارسکی ، Corcoran ، J. ، ed. هاکت ویرایش اول توسط JH Woodger ، Oxford Uni ویرایش و ترجمه شده است. مطبوعات. [34] این مجموعه شامل ترجمه برخی از مهمترین مقالات تارسکی در اوایل کار وی از زبان لهستانی است ، از جمله مفهوم حقیقت در زبانهای رسمی و در مورد مفهوم پیامد منطقی که در بالا بحث شد.

انتشارات اصلی تارسکی

1930 سهم Une à la théorie de la mesure. صندوق ریاضی 15 (1930) ، 42–50.
1930. (با جان Łukasiewicz ). "Untersuchungen uber den Aussagenkalkul" ["تحقیق در مورد حساب مجازی"] ، مجلات Rendus des seances de la Societe des علوم et des Lettres de Varsovie ، جلد 23 (1930) Cl. III ، صص 31–32 در Tarski (1983): 38–59.
1931. "Sur les ansembles définissables de nombres réels I"، Fundamenta Mathematicae 17 : 210–239 in Tarski (1983): 110–142.
1936. "Grundlegung der wissenschaftlichen Semantik" ، Actes du Congrès international de فلسفه علمی، سوربن، پاریس 1935 ، ج. III ، Language و pseudo-problèmes ، پاریس ، هرمان ، 1936 ، صص 1-8 در Tarski (1983): 401-408.
1936. "Über den Begriff der logischen Folgerung" ، Actes du Congrès international de فلسفه علمی، سوربن، پاریس 1935 ، ج. VII ، منطق ، پاریس: هرمان ، ص 1–11 در تارسکی (1983): 409–420.
1936 (با آدولف لیندنباوم). "درباره محدودیت های نظریه های قیاسی" در تارسکی (1983): 384–92.
1994 (1941) [35] [36] مقدمه ای بر منطق و روش شناسی علوم قیاسی . دوور
1941. "درباره حساب روابط" ، مجله Symbolic Logic 6 : 73–89.
1944. " مفهوم معنایی حقیقت و مبانی معناشناسی " ، فلسفه و تحقیقات پدیدارشناسی 4 : 341–75.
1948. روش تصمیم گیری برای جبر ابتدایی و هندسه . Santa Monica CA: RAND Corp. [37]
1949. کاردینال جبرها . دانشگاه آکسفورد مطبوعات. [38]
1953 (با موستوسکی و رافائل رابینسون). نظریه تصمیم ناپذیر . هلند شمالی [39]
1956. جبرهای عادی . هلند شمالی
1965. "رسمی سازی ساده منطق محمول با هویت" ، Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 7 : 61-79
1969. " حقیقت و اثبات " ، علمی آمریکایی 220 : 63–77.
1971 (با لئون هنکین و دونالد مونک). جبرهای استوانه ای: قسمت اول . هلند شمالی
1985 (با لئون هنکین و دونالد مونک). جبرهای استوانه ای: قسمت دوم . هلند شمالی
1986. "چه منطق منطقی هستند؟" ، کورکوران ، ج. ، ویراستار ، تاریخ و فلسفه منطق 7 : 143–54.
1987 (با استیون گیوانت). رسمی سازی نظریه مجموعه بدون متغیرها . جلد 41 از انتشارات گفتگوی انجمن ریاضی آمریکا. Providence RI: انجمن ریاضیات آمریکا. شابک 978-0821810415 . مرور
1999 (با استیون گیوانت). "سیستم هندسه تارسکی" ، بولتن منطق نمادین 5 : 175–214.
2002. "در مورد مفهوم پیروی منطقی" (ماگدا استروایسکا و دیوید هیچکاک ، ترجمه.) تاریخچه و فلسفه منطق 23 : 155–196.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Alfred_Tarski

آلفرد تارسکی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هفتم تیر ۱۴۰۰ | 19:57

پرش به ناوبری برای جستجو بروید

آلفرد تارسکی

بدنیا آمدن	آلفرد تیتلباوم 14 ژانویه 1901 ورشو ، کنگره لهستان
فوت کرد	26 اکتبر 1983 (82 ساله) برکلی ، کالیفرنیا ، ایالات متحده
ملیت	لهستانی آمریکایی
تابعیت	لهستانی آمریکایی
تحصیلات	دانشگاه ورشو (Ph.D. ، 1924)
شناخته شده برای	روی مبانی منطق مدرن کار کنید نظریه معنایی حقیقت ( کنوانسیون T ) قضیه غیرقابل تعریف بودن تارسکی توسعه نظریه مدل منطق روابط پارادوکس Banach – Tarski جهان به سبک تارسکی بدیهیات تارسکی گروه هیولاهای تارسکی دوگانگی جونسون – تارسکی
حرفه علمی
زمینه های	ریاضیات ، منطق ، زبان رسمی
مسسات	دانشگاه ورشو (1925–1939) دانشگاه کالیفرنیا ، برکلی (1942–1983)
پایان نامه	O wyrazie pierwotnym logistyki (On the Primitive Term of Logistic) (1924)
مشاور دکترا	استانیسلاو لژنیوسکی
دانشجویان دکترا	سلیمان ففرمن هایم گایفمن بیارنی جونسون هوارد جروم کیسلر راجر مادوکس ریچارد مونتایگ آن C. مورل آندره موستوفسکی جولیا رابینسون واندا Szmielew رابرت وات
دیگر دانشجویان برجسته	اورت ویلم بث
تأثیرات	چارلز سندرز پیرس
تحت تأثیر قرار گرفت	کنت ارو رودولف کارناپ جان کورکوران دونالد دیویدسون اریش لئو لمان کارل پوپر ویلارد ون اورمان کواین پاتریک سوپس

تارسکی ( / تی ɑːr بازدید کنندگان ک من / ؛ 1901 ژانویه 14 - اکتبر 26، 1983)، متولد آلفرد Teitelbaum ، [1] [2] [3] یک لهستانی-آمریکایی بود [4] منطقدان و ریاضیدان . [5] او یک نویسنده پرکار است که بیشتر بخاطر کارش در مورد نظریه مدل ، فراداضیات و منطق جبری مشهور است ، وی همچنین به جبر انتزاعی ، توپولوژی ، هندسه ، نظریه اندازه گیری ، منطق ریاضی کمک کرد.، نظریه مجموعه ها و فلسفه تحلیلی .

وی که در لهستان در دانشگاه ورشو تحصیل کرده بود ، و عضو مدرسه منطق لووو-ورشو و مدرسه ریاضیات ورشو بود ، در سال 1939 به ایالات متحده مهاجرت کرد و در آنجا در سال 1945 به یک شهروند طبیعی بدل شد. تارسکی به تدریس و تحقیق پرداخت در ریاضیات در دانشگاه کالیفرنیا ، برکلی ، از سال 1942 تا زمان مرگ وی در سال 1983. [6]

زندگینامه نویسان وی آنیتا بوردمن ففرمن و سلیمان ففرمن اظهار داشتند كه "در كنار معاصر خود كورت گودل ، وی چهره منطق را در قرن بیستم تغییر داد ، به ویژه از طریق كاری كه در مورد مفهوم حقیقت و نظریه الگوها داشت." [7]

فهرست

زندگی [ ویرایش ]

آلفرد تارسکی آلفرد تیتلباوم ( املای لهستانی : "Tajtelbaum") ، از پدر و مادری که در شرایط راحت یهودی لهستانی بودند ، متولد شد . او اولین بار توانایی های ریاضی خود را در دوران دبیرستان ، در Szkoła Mazowiecka ورشو آشکار کرد . [8] با این وجود ، وی در سال 1918 وارد دانشگاه ورشو شد و قصد داشت در رشته زیست شناسی تحصیل کند . [9]

پس از لهستان استقلال در سال 1918 به دست آورد، دانشگاه ورشو تحت رهبری آمد ژان Lukasiewicz خود ، استانیسلاو Lesniewski به و این Wacław Sierpinski برای و به سرعت یک موسسه تحقیقاتی جهان پیشرو در منطق، ریاضیات پایه، و فلسفه ریاضیات شد. لژنیوسکی پتانسیل تارسکی را به عنوان یک ریاضیدان به رسمیت شناخت و او را به کنار گذاشتن زیست شناسی تشویق کرد. [9] از این پس تارسکی در دوره هایی شرکت می کرد که توسط iewukasiewicz ، Sierpiński، Stefan Mazurkiewicz و Tadeusz Kotarbiński تدریس می شد و در سال 1924 به تنها کسی تبدیل شد که دکترای خود را زیر نظر لژنیوسکی گذرانده است. پایان نامه او تحت عنوان O wyrazie pierwotnym logistyki (در مورد دوره ابتدایی لجستیک ؛ منتشر شده در سال 1923) تارسکی و لژنیوسکی خیلی زود با هم سرد شدند. با این حال ، در اواخر زندگی ، تارسکی گرمترین تعریف و تمجید خود را از کوتاربینسکی حفظ کرد ، که متقابل بود.

در سال 1923 ، آلفرد تیتلباوم و برادرش واكلاو نام خانوادگی خود را به "تارسكی" تغییر دادند. برادران تارسکی نیز به مذهب کاتولیک روم ، مذهب غالب لهستان ، روی آوردند. آلفرد این کار را انجام داد حتی اگر یک ملحد متبحر بود . [10] [11]

تارسکی پس از تبدیل شدن به جوانترین فردی که در دانشگاه ورشو موفق به گذراندن دوره دکترا شده است ، در انستیتوی آموزشی لهستان ، ریاضیات و منطق را در دانشگاه تدریس منطق کرد و به عنوان دستیار Łukasiewicz خدمت کرد. از آنجا که این موقعیت ها کم پرداخت می شد ، تارسکی در یک مدرسه متوسطه ورشو نیز ریاضیات تدریس می کرد. [12] پیش از جنگ جهانی دوم ، آموزش تدریس در دبیرستان برای روشنفکران اروپایی با کالیبر تحقیق غیرمعمول نبود. از این رو بین سال 1923 و عزیمت به ایالات متحده در سال 1939 ، تارسکی نه تنها چندین کتاب درسی و بسیاری از مقالات نوشت که تعدادی از آنها سرنوشت ساز بودند ، بلکه در حالی که اساساً با آموزش ریاضیات دبیرستان از خود حمایت می کرد ، این کار را انجام داد. در سال 1929 تارسکی با معلم دیگر خود ، ماریا ویتکوفسکا ، یک قطب از نژاد کاتولیک ازدواج کرد. او به عنوان پیک برای ارتش در ارتش کار کرده بودجنگ لهستان و شوروی . آنها دو فرزند داشتند. یک پسر جان که یک فیزیکدان شد و یک دختر اینا که با ریاضیدان آندره ای ارنفوئچ ازدواج کرد . [13]

تارسکی برای کرسی فلسفه در دانشگاه لوو اقدام کرد ، اما به پیشنهاد برتراند راسل به لئون چویستک اعطا شد . [14] در سال 1930 ، تارسکی از دانشگاه وین بازدید کرد ، در سخنرانی کارل منگر سخنرانی کرد و با کورت گودل ملاقات کرد . به لطف یك شركت ، او در نیمه اول سال 1935 توانست به وین برگردد و با گروه تحقیقاتی منگر كار كند. وی از وین به پاریس سفر كرد تا در اولین نشست جنبش وحدت علم ، كه حاصل حلقه وین است ، عقاید خود را درباره حقیقت ارائه دهد . در سال 1937 ، تارسکی تقاضای کرسی در دانشگاه پوزنان کرداما صندلی لغو شد. [15] روابط تارسکی با جنبش وحدت علم احتمالاً جان او را نجات داد ، زیرا منجر به دعوت وی برای سخنرانی در کنگره وحدت علم که در سپتامبر 1939 در دانشگاه هاروارد برگزار شد ، شد . بدین ترتیب وی در آگوست 1939 ، با آخرین کشتی ای که قبل از حمله آلمان و شوروی به لهستان و آغاز جنگ جهانی دوم ، از لهستان به مقصد ایالات متحده حرکت کرد ، لهستان را ترک کرد . تارسکی با اکراه آنجا را ترک کرد ، زیرا لژنیوسکی چند ماه قبل درگذشت و جای خالی ایجاد کرد که تارسکی امیدوار بود آن را پر کند. غافل از نازیتهدید ، او همسر و فرزندان خود را در ورشو رها کرد. وی تا سال 1946 آنها را دیگر ندید. در طول جنگ ، تقریباً تمام خانواده بزرگ یهودی وی به دست مقامات اشغالگر آلمان به قتل رسیدند.

هنگامی که به ایالات متحده آمد ، تارسکی تعدادی از موقعیت های موقت تدریس و تحقیق را بر عهده داشت: دانشگاه هاروارد (1939) ، کالج سیتی نیویورک (1940) ، و به لطف یارانه گوگنهایم ، موسسه مطالعات پیشرفته در پرینستون (1942) جایی که او دوباره با گودل ملاقات کرد. در سال 1942 ، تارسکی به گروه ریاضیات دانشگاه کالیفرنیا ، برکلی پیوست و در آنجا بقیه کار خود را در آنجا گذراند. تارسکی در سال 1945 شهروند آمریکا شد. [16] اگرچه از سال 1968 ممتاز بود ، اما تا سال 1973 تدریس می کرد و دکترای خود را نظارت می کرد. نامزدها تا زمان مرگ او. [17] در بركلی ، تارسكی به عنوان معلمی حیرت انگیز و خواستار شهرت یافت ، واقعیتی كه بسیاری از ناظران به آن اشاره كردند:

سمینارهای وی در برکلی به سرعت در دنیای منطق ریاضی مشهور شدند. دانش آموزان وی ، که بسیاری از آنها ریاضیدانان برجسته ای بودند ، با توجه به انرژی عالی که او با آن دست و پنجه نرم می کند و بهترین کار خود را از بین می برد ، همیشه خواستار بالاترین استانداردهای شفافیت و دقت بودند. [18]

تارسکی برونگرا ، زودرنج ، با اراده ، پرانرژی و تیز زبان بود. او ترجیح داد تحقیقاتش به صورت مشارکتی انجام شود - گاهی اوقات تمام شب را با یک همکار کار می کرد - و در مورد اولویت بسیار سخت گیر بود. [19]

تارسکی ، یک رهبر و معلم کاریزماتیک ، معروف به سبک بارزی بسیار دقیق و بی پروای خود ، دارای استانداردهای بسیار ترسناکی برای دانش آموزان بود ، اما درعین حال ، برخلاف روند کلی ، می تواند بسیار دلگرم کننده باشد ، به ویژه برای زنان. بعضی از دانشجویان ترسیده بودند ، اما یک حلقه از شاگردان باقی مانده بود ، بسیاری از آنها رهبران مشهور جهانی در این زمینه شدند. [20]

کتابخانه دانشگاه ورشو ، با مجسمه های (در بالای ستون ها ، رو به ورودی) از فیلسوفان مدرسه لوو-ورشو ، کازیمیرز تواردوفسکی ، یان شوکاسیویچ ، آلفرد تارسکی ، استانیسلاو لژنیوسکی

تارسکی بر بیست و چهار دکتری نظارت داشت. پایان نامه از جمله (به ترتیب زمانی) کسانی که از آندره Mostowski ، Bjarni JONSSON ، جولیا رابینسون ، رابرت Vaught ، سلیمان Feferman ، ریچارد مونتاگو ، جیمز دونالد راهب، حییم Gaifman ، دونالد Pigozzi و راجر Maddux بازی ، و همچنین چن چانگ چانگ و جروم Keisler ، نویسندگان نظریه مدل (1973) ، [21] یک متن کلاسیک در این زمینه است. [22] [23] او همچنین بر رساله های آلفرد لیندن باوم ، دانا اسکات به شدت تأثیر گذاشت، و استیون گیوانت. پنج نفر از دانشجویان تارسکی زن بودند ، با توجه به اینکه مردان اکثریت قریب به اتفاق دانشجویان تحصیلات تکمیلی را در آن زمان نشان می دادند ، یک واقعیت قابل توجه است. [23] با این حال ، او حداقل با دو نفر از این دانشجویان روابط خارج از ازدواج داشت. پس از آنكه وی كار دیگری از دانشجویان دختر خود را به یك همكار مرد نشان داد ، همكار خود آن را منتشر كرد و باعث شد وی تحصیلات تکمیلی را رها كند و بعداً به دانشگاه دیگری و مشاور دیگری برود. [24]

تارسکی در دانشگاه کالج لندن (1950 ، 1966) ، انستیتو هنری پوانکره در پاریس (1955) ، م Instituteسسه تحقیقات علوم پایه میلر در برکلی (60-1995) ، دانشگاه کالیفرنیا در لس آنجلس (1967) سخنرانی کرد و دانشگاه کاتولیک پاپی شیلی (1974–75). در میان تمایزاتی که در طول زندگی حرفه ای خود به دست آورد ، تارسکی در سال 1958 به عضویت آکادمی ملی علوم ایالات متحده ، آکادمی انگلیس و آکادمی هنر و علوم سلطنتی هلند انتخاب شد ، [25] مدارک افتخاری دریافت کرداز دانشگاه پاپی کاتولیک شیلی در سال 1975، از مارسی ، دانشگاه پل سزان در سال 1977 و از دانشگاه کلگری ، و همچنین به عنوان استناد برکلی در سال 1981. تارسکی ریاست انجمن نمادین منطق ، 1944-1946، و بین المللی اتحادیه تاریخ و فلسفه علم ، 1956–57. وی همچنین سردبیر افتخاری جبر جهانی بود . [26]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Alfred_Tarski

قضیه هاوسدورف (یا پارادوکس )

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هفتم تیر ۱۴۰۰ | 19:52

قضیه هاوسدورف (یا پارادوکس ) - گزاره ای که در نظریه مجموعه ها در مورد وجود زیر مجموعه قابل شمارش اثبات شده است $تی$ کره دو بعدی $S ^ {2}$ ، علاوه بر این ${\ bar S} ^ {2} = S ^ {2} \ setminus T$ که می تواند به عنوان اتحادیه ای از سه مجموعه جدا از هم نشان داده شود $آ$ ، $ب$ و $ج$ ، همسو با یکدیگر و کثرت از $B \ جام C$ ... اولین بار [1] در سال 1914 توسط فلیکس هاوسدورف منتشر شد . این قضیه (و همچنین پارادوکس دو برابر شدن توپ بر اساس ایده های آن ) ناسازگاری نمایش های نظری مجموعه با عمل هندسی معمولی را نشان می دهد (استدلال ، به ویژه ، دو نسخه ${\ bar S} ^ {2}$ می تواند به شش قطعه تقسیم شود و از سه نسخه ساخته شود ${\ bar S} ^ {2}$ ) بنابراین ، گاهی اوقات "پارادوکس" نامیده می شود.

اثبات قضیه از بدیهیات انتخابی استفاده اساسی می کند . جایگزینی این بدیهی با برخی موارد جایگزین ، به شما امکان می دهد نفی قضیه هاوسدورف را اثبات کنید (یعنی عدم امکان تقسیم مربوط به کره).

از این قضیه نتیجه می شود که در یک کره دو بعدی هیچ اندازه گیری نهایی برای همه زیر مجموعه ها و گرفتن مقادیر مساوی در مجموعه های همخوان (یعنی با توجه به حرکت کره) ثابت نیست.

گاهی اوقات "پارادوکس هاوسدورف" به عنوان قضیه دیگری قابل اثبات است که در همان مقاله مورد بررسی اثبات شده است. این قضیه مثالی شبیه به مجموعه ویتالی ارائه می دهد . او ادعا می کند که یک قطعه واحد می تواند به تعداد قابل شماری تقسیم شود و فقط با استفاده از شیفت ، قطعه ای به طول دو را تشکیل دهد. این نشان می دهد این است که هیچ وجود دارد اندازه گیری در خط است که در تمام زیر مجموعه های تعریف شده و ثابت با توجه به ترجمه است. با این وجود ، می توان برای تمام زیرمجموعه های محدود هواپیما (و همچنین خط مستقیم) اندازه گیری کاملاً افزودنی تعریف کرد ، به گونه ای که مجموعه های متقارن قیچی دارای اندازه مساوی باشند.

محتوا

ایده اثبات [ ویرایش | ویرایش کد ]

در اینجا نسخه ساده قضیه را اثبات می کنیم. یعنی ، ما وجود کاشی کاری کره را با مجموعه ای از نقاط قابل شمارش سوراخ شده ثابت خواهیم کرد (ما آن را می نامیم ${\ bar S} ^ {2}$ ) به سه قطعه متناوب جفتی $آ$ ، $ب$ و $ج$ به طوری که $B \ جام C$ همخوان با زیرمجموعه $آ$ ... مانند قضیه هاوسدورف ، این عبارت نشان می دهد که در یک کره دو بعدی تعریف "منطقه" غیرممکن است که ارزش آن برای هر زیرمجموعه وجود داشته باشد و در حین حرکت بدون تغییر باقی بماند .

اثبات به سه مرحله زیر تقسیم می شود:

یک پارتیشن خاص از برخی گروه ها با دو ژنراتور پیدا کنید $\ گاما$ به سه زیر مجموعه
ما یک عمل ایزومتریک رایگان از این گروه در ساخت ${\ bar S} ^ {2}$ ...
با استفاده از پارتیشن بندی $\ گاما$ و بدیهیات انتخابی به منظور تولید پارتیشن دلخواه کره.

مرحله 1 [ ویرایش | ویرایش کد ]

کیلی ارل از گروه $\ گاما$ ، و زیرمجموعه ها ${{\ mathbb A}} ، \؛ {{\ mathbb B}}$ و ${{\ mathbb C}}$ به ترتیب با قرمز ، آبی و سبز مشخص شده است.

یک گروه را در نظر بگیرید $\ گاما$ با دو ژنراتور $آ$ و $ب$ و نسبت ها $a ^ {2} = 1$ و $b ^ {3} = 1$ (به عبارت دیگر، $\ Gamma = {{\ mathbb Z}} _ {2} * {{\ mathbb Z}} _ {3}$ جایی که $*$ محصول رایگان گروهها را نشان می دهد ). گروه $\ گاما$ شامل یک کلمه خالی است که ما آن را نشان می دهیم $یکی$ (این واحد گروه ماست) و کلمات پایانی سه شخصیت $b ، \؛ b ^ {{- 1}}$ و $آ$ به طوری که $ب$ و $ب ^ {{- 1}}$ متناوب با $آ$ ... بنابراین ، تمام عناصر (به جز یکی) را می توان بصورت منحصر به فرد به صورت زیر نشان داد $ab ^ {{\ pm 1}} ab ^ {{\ pm 1}} \ نقاط b ^ {{\ pm 1}} a$ یا $b ^ {{\ pm 1}} ab ^ {{\ pm 1}} a \ ldots b ^ {{\ pm 1}} a$ یا $ab ^ {{\ pm 1}} ab ^ {{\ pm 1}} \ ldots ab ^ {{\ pm 1}}$ یا $b ^ {{\ pm 1}} ab ^ {{\ pm 1}} a \ ldots ab ^ {{\ pm 1}}$ ...

گروه $\ گاما$ می تواند به شرح زیر تجزیه شود: اجازه دهید ${{\ mathbb A}}$ بسیاری از کلمات با شروع وجود دارد $ب$ ، ${{\ mathbb B}}$ بسیاری از کلمات با شروع وجود دارد $ب ^ {{- 1}}$ و ${{\ mathbb C}}$ مجموعه ای از همه عناصر دیگر وجود خواهد داشت $\ گاما$ ... روشن است که

$\ Gamma = {{\ mathbb A}} \ cup {{\ mathbb B}} \ cup {{\ mathbb C}} ،$

یعنی ما گروه خود را تقسیم کردیم $\ گاما$ به سه زیرمجموعه جداگانه همچنین

${{\ mathbb A}} = b {{\ mathbb C}} ،$

${{\ mathbb B}} = b ^ {{- 1}} {{\ mathbb C}} ،$

${{\ mathbb A}} \ جام {{\ mathbb B}} \ زیرمجموعه {{\ mathbb A}} \ جام {{\ mathbb B}} \ جام \ {1 ، \؛ a \} = a {{\ mathbb C}}.$

مرحله 2 [ ویرایش | ویرایش کد ]

به راحتی می توان نشان داد که نمایندگی وجود دارد $\ گاما$ با چرخش کره به گونه ای که عمل حاصله به جز تعداد قابل شمارش امتیاز ، در کل کره آزاد باشد. بیایید این مجموعه قابل شمارش را از حوزه خارج کنیم و باقیمانده را فراخوانی کنیم ${\ bar S} ^ {2}$ ... (در واقع ، اگر دو چرخش کره را از زاویه بگیرید $\ پی$ و $2 \ pi / 3$ موقعیت کلی و مقایسه آنها با ژنراتورها $آ$ و $ب$ ، سپس عمل القا شده $\ گاما$ این شرط را برآورده خواهد کرد).

مرحله 3 [ ویرایش | ویرایش کد ]

مجموعه را در نظر بگیرید $ایکس$ حاوی یک عنصر از هر مدار $\ گاما$ در ${\ bar S} ^ {2}$ (بیان موجودیت این مجموعه بر اساس بدیهیات انتخاب است ). سپس کره "تراشه" ما ${\ bar S} ^ {2}$ به عنوان اتحادیه ای از مجموعه های جداگانه زیر نشان داده شده است:

${\ bar S} ^ {2} = A \ cup B \ cup C ،$

جایی که

$A = {{\ mathbb A}} X ، \؛ B = {{\ mathbb B}} X ، \؛ C = {{\ mathbb C}} X.$

با استفاده از همان روش مرحله 1 ، به دست می آوریم:

$A = bC ،$

$B = b ^ {{- 1}} C ،$

$A \ cup B \ زیر مجموعه aC ،$

و از $آ$ و $ب$ isometries هستند ، $آ$ ، $ب$ و $ج$ همخوان ، و $A \ جام B$ همخوان با زیرمجموعه $ج$ ...

منبع

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D1%83%D1%81%D0%B4%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B0

ادامه پارادوکس باناخ-تارسکی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هفتم تیر ۱۴۰۰ | 18:55

بدست آوردن بی نهایت توپ از یک [ ویرایش ]

با استفاده از پارادوکس باناخ-تارسکی، می توان برای هر عدد صحیح n ≥ 3 و k ≥ 1 ، k از یک توپ در فضای n اقلیدسی تهیه کرد ، یعنی یک توپ را می توان به k قطعات تقسیم کرد تا هر یک آنها برابر با یک توپ از همان اندازه اصلی است. با استفاده از این واقعیت که گروه آزاد F 2 از درجه 2 یک زیر گروه آزاد از رتبه قابل شمارش نامحدود را قبول می کند ، اثبات مشابهی نشان می دهد که کره واحد S n -1 را می توان به تعداد قابل شماری زیادی تقسیم کرد ، که هر کدام به طور مساوی قابل تجزیه هستند (با دو قطعات) به S n -1 با استفاده از چرخش با استفاده از خواص تحلیلی گروه چرخشی SO ( n ) ، که یک گروه Lie تحلیلی متصل است ، می توان بیشتر ثابت کرد که کره S n -1 می تواند به تعداد قطعات واقعی تقسیم شود (یعن $2 ^ {\ aleph _ {0}}$ قطعه) ، به طوری که هر قطعه با دو قطعه برابر با S n -1 با استفاده از چرخش قابل تجزیه است . این نتایج سپس به واحد توپی محروم از مبدا گسترش می یابد. مقاله ای از والری چورکین در سال 2010 اثبات جدیدی از نسخه پیوسته تناقض باناخ-تارسکی ارائه می دهد. [13]

تناقض فون نویمان در صفحه اقلیدسی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تناقض فون نویمان

در صفحه اقلیدسی ، دو شکل که با توجه به گروه حرکات اقلیدسی برابر تجزیه می شوند ، لزوماً از یک ناحیه هستند و بنابراین ، تجزیه متناقض مربع یا دیسک از نوع باناخ-تارسکی که فقط از همگرایی های اقلیدسی استفاده می کند ، غیرممکن است. یک توضیح مفهومی از تمایز بین موارد مسطح و بعدی بالاتر توسط جان فون نویمان داده شده است : بر خلاف گروه SO (3) چرخش ها در سه بعد ، گروه E (2) از حرکت های اقلیدسی صفحه قابل حل است ، که حاکی از وجود یک اقدام متناهی-افزودنی در E (2) و R 2که تحت ترجمه و چرخش ثابت نیست و تجزیه متناقض مجموعه های غیر قابل اغماض را رد می کند. فون نویمان سپس س followingال زیر را مطرح كرد: آیا اگر یك گروه بزرگتر از معادلات مجاز باشد ، آیا می توان چنین تجزیه متناقضی را ایجاد كرد؟

واضح است که اگر یکی شباهت ها را اجازه دهد ، هر دو مربع موجود در صفحه حتی بدون تقسیم بیشتر نیز معادل می شوند. این انگیزه محدود توجه فرد به گروه SA 2 از تبدیل آفین منطقه حفظ . از آنجا که منطقه حفظ شده است ، هر تجزیه متناقض مربع با توجه به این گروه به همان دلایل تجزیه یک توپ باناخ-تارسکی ضد تصور خواهد بود. در حقیقت ، گروه SA 2 شامل یک گروه فرعی خاص SL (2 ، R ) به عنوان یک زیر گروه است که به نوبه خود شامل گروه آزاد F 2 استبا دو ژنراتور به عنوان یک زیر گروه. این قابل قبول است که اثبات پارادوکس باناخ-تارسکی را می توان در صفحه تقلید کرد. مشکل اصلی در اینجاست که مربع واحد تحت عملکرد گروه خطی SL (2 ، R ) ثابت نیست ، بنابراین نمی توان به راحتی یک تجزیه متناقض را از گروه به مربع انتقال داد ، همانطور که در مرحله سوم اثبات فوق پارادوکس باناخ-تارسکی. علاوه بر این ، نقاط ثابت گروه دشواری هایی را به همراه دارد (به عنوان مثال ، منشا origin تحت تمام تحولات خطی ثابت است). به همین دلیل فون نویمان از گروه بزرگتر SA 2 استفاده کرداز جمله ترجمه ها ، و او تجزیه متناقضی از مربع واحد با توجه به گروه بزرگ ساخته شده (در سال 1929). با استفاده از روش باناخ-تارسکی ، پارادوکس مربع را می توان به شرح زیر تقویت کرد:

هر دو زیرمجموعه محدود هواپیمای اقلیدسی با فضای داخلی غیر خالی با توجه به نقشه های شبه حفظ منطقه مساوی هستند.

همانطور که فون نویمان یادداشت می کند: [14]

"Infibgedessen gibt es bereits in der Ebene kein nichtnegatives additive Maß (wo das Einheitsquadrat das Maß 1 hat)، das gegenüber allen Abbildungen von A 2 بدون تغییر."

"مطابق با این ، در حال حاضر در هواپیما هیچ اندازه گیری افزودنی غیر منفی وجود ندارد (که واحد مربع اندازه آن 1 باشد) ، که با توجه به تمام تحولات متعلق به A 2 [گروه حفظ منطقه تحولات آفرین]. "

برای توضیح بیشتر ، این س ofال که آیا معیار افزودنی محدودی (که تحت برخی از تغییرات خاص حفظ می شود) وجود دارد یا خیر ، به این بستگی دارد که چه تغییراتی مجاز است. اندازه گیری باناخ از مجموعه های در هواپیما، است که توسط انتقال و چرخش حفظ شده است، توسط تحولات غیر ایزومتریک حفظ نمی حتی زمانی که هیچ حفظ مساحت چند ضلعی. نقاط صفحه (غیر از مبدا) را می توان به دو مجموعه متراکم تقسیم کرد که ممکن است A و B نامیده شوند . اگر نقاط A یک چند ضلعی معین با یک تغییر شکل خاص با حفظ منطقه و نقاط B توسط دیگری تبدیل شوند ، هر دو مجموعه می توانند به زیر مجموعه های A تبدیل شونددر دو چند ضلعی جدید نشان می دهد. چند ضلعی های جدید همان مساحت چند ضلعی قدیمی را دارند ، اما دو مجموعه تبدیل شده نمی توانند همان اندازه قبلی را داشته باشند (از آنجا که آنها فقط بخشی از نقاط A را شامل می شوند) ، و بنابراین هیچ اندازه ای وجود ندارد که "کار کند".

گروه گروه های جدا شده توسط فون نویمان در جریان مطالعه پدیده باناخ - تارسکی برای بسیاری از زمینه های ریاضیات بسیار مهم است: این گروه ها گروه های قابل قبول یا گروه هایی با میانگین ثابت هستند و شامل تمام گروه های محدود و همه قابل حل هستند . به طور کلی ، تجزیه های متناقض هنگامی بوجود می آیند که گروه مورد استفاده برای معادل سازی در تعریف تجزیه برابر قابل قبول نباشد .

پیشرفت اخیر [ ویرایش ]

2000: مقاله ون نویمان امکان تجزیه متناقض فضای داخلی مربع را با توجه به گروه خطی SL (2 ، R ) باز گذاشت (واگن ، سوال 7.4). در سال 2000 ، میکلوس لاچکوویچ ثابت کرد که چنین تجزیه ای وجود دارد. [15] به طور دقیق تر ، اجازه دهید A خانواده تمام زیر مجموعه های هواپیما با فضای داخلی غیر خالی و با فاصله مثبت از مبدا باشد ، و B خانواده تمام مجموعه های مسطح با خاصیتی که اتحادیه بسیاری از آنها ترجمه می کند تحت برخی از عناصر SL (2 ، R ) حاوی محله سوراخ شده از مبدا است. سپس تمام مجموعه های خانواده A SL هستند (2 ،R ) -equidecomposable، و به همین ترتیب برای مجموعه در B . از این رو می توان گفت که هر دو خانواده از مجموعه های متناقضی تشکیل شده اند.
2003: مدتها بود که شناخته شده بود که هواپیمای کامل با توجه به SA 2 متناقض است و حداقل تعداد قطعات با 4 برابر خواهد بود به شرط وجود زیرگروه رایگان تغییر مکان محلی SA 2 . در سال 2003 Kenzi Satô چنین زیرگروهی را ساخت و تأیید کرد که چهار قطعه کافی است. [16]
2011: کاغذ Laczkovich است [17] در سمت چپ باز امکان اگر یک گروه رایگان F از تکهای خطی تحولات اقدام بر روی دیسک سوراخ وجود دارد D \ {0،0} بدون نقطه ثابت شده است. Grzegorz Tomkowicz چنین گروهی را ساخت ، [18] نشان داد که سیستم همخوانی A ≈ B ≈ C ≈ B U C را می توان با استفاده از F و D تحقق بخشید {0/0}.
2017: مدتهاست که شناخته شده است که در هواپیمای هذلولی H 2 یک مجموعه E وجود دارد که یک سوم ، چهارم و ... و یک است $2 ^ {\ aleph _ {0}}$ قسمت هفتم H 2 . نیاز توسط isometries گرایش های حفاظت از راضی بود H 2 . نتایج مشابهی توسط جان فرانک آدامز [19] و یان میسیلسکی [20] بدست آمد که نشان داد واحد کره S 2 شامل یک مجموعه E است که نیم ، یک سوم ، یک چهارم و ... و یک $2 ^ {\ aleph _ {0}}$ قسمت هفتم S 2 . Grzegorz Tomkowicz [21] نشان داد كه ساخت و سازهای آدامز و مایسیلسكی را می توان برای بدست آوردن یك مجموعه E از H 2 با همان خصوصیات S 2 تعمیم داد .
2017: تناقض فون نویمان مربوط به هواپیمای اقلیدسی است ، اما در عین حال فضاهای کلاسیک دیگری نیز وجود دارد که پارادوکس ها در آنها امکان پذیر است. به عنوان مثال ، می توان س askال کرد که آیا یک پارادوکس Banach – Tarski در صفحه هذلولی H 2 وجود دارد ؟ این را Jan Mycielski و Grzegorz Tomkowicz نشان دادند. [22] [23] تومکوویچ [24] همچنین ثابت کرد که بسیاری از پارادوکس های کلاسیک نتیجه آسان یک نتیجه نظری نمودار و این واقعیت است که گروه های مورد نظر به اندازه کافی غنی هستند.
2018: در سال 1984 ، Jan Mycielski و Stan Wagon [25] تجزیه متناقضی از هواپیمای هذلولی H 2 را که از مجموعه های بورل استفاده می کند ، ساختند . پارادوکس بستگی به وجود یک درستی ناپیوسته زیر گروه از گروه از isometries از H 2 . پارادوکس مشابهی توسط Grzegorz Tomkowicz [26] بدست آمده است که یک زیرگروه G کاملاً ناپیوسته G از گروه وابسته SA (3 ، Z ) را ساخت. وجود چنین گروهی وجود زیرمجموعه E از Z 3 را نشان می دهد به طوری که برای هر F محدود از Z 3 یک عنصر g از G وجود دارد به طوری که ${\ displaystyle g (E) = E \ مثلث F}$ ، جایی که ${\ displaystyle E \ ، \ مثلث \ ، F}$ تفاوت متقارن E و F را نشان می دهد .
2019: پارادوکس باناخ-تارسکی از قطعات کاملاً تکراری استفاده می کند. در مورد تعداد زیادی از قطعات ، هر دو مجموعه با فضای داخلی غیر خالی با استفاده از ترجمه به طور مساوی قابل تجزیه هستند. اما اجازه می دهد تنها قطعه اندازه گیری لبسگو بدست: اگر A و B زیرمجموعه از R N با فضای داخلی غیر خالی، و سپس آنها را اندازه لبگ برابر اگر و تنها اگر آنها قابل شمارش equidecomposable با استفاده از لبسگو قطعه اندازه گیری هستند. Jan Mycielski و Grzegorz Tomkowicz [27] این نتیجه را به گروه های Lie بعدی محدود و دومین گروه های توپولوژیکی محلی فشرده قابل شمارش که کاملاً از هم جدا شده اند و یا دارای تعداد زیادی از اجزای متصل هستند ، گسترش دادند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox

ادامه پارادوکس باناخ-تارسکی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هفتم تیر ۱۴۰۰ | 18:53

درمان رسمی [ ویرایش ]

پارادوکس باناخ-تارسکی بیان می دارد که یک توپ در فضای معمولی اقلیدسی می تواند دو برابر شود ، فقط با استفاده از عملیات تقسیم به زیر مجموعه ها ، جایگزینی یک مجموعه با یک مجموعه متناسب و جمع آوری مجدد. ساختار ریاضی آن تا حد زیادی با تاکید بر نقش ایفا شده توسط روشن گروه از حرکات اقلیدسی و معرفی مفاهیم مجموعه equidecomposable و یک مجموعه متناقض . فرض کنید G گروهی است که بر روی مجموعه X عمل می کند . در مهمترین حالت خاص ، X یک فضای اقلیدسی n بعدی است (برای n انتگرال ) ، و G از همه تشکیل شده استisometries از X ، یعنی تحولات از X به خود که حفظ فاصله ها، معمولا نشان داده می شود E ( N ) . دو شکل هندسی را که می توانند به یکدیگر تبدیل شوند ، متقارن می نامند و این اصطلاحات به G- action عمومی گسترش می یابد . دو زیر مجموعه و B از X نامیده می شوند G -equidecomposable یا equidecomposable با توجه به G ، اگر و B را می توان به تعداد متناهی همان ترتیب تقسیم G- قطعات متناسب این رابطه معادل سازی را بین تمام زیر مجموعه های X تعریف می کند . به طور رسمی ، اگر مجموعه های غیر خالی وجود داشته باشد ${\ displaystyle A_ {1} ، \ dots ، A_ {k}}$ ، ${\ displaystyle B_ {1} ، \ dots ، B_ {k}}$ به طوری که

${\ displaystyle A = \ bigcup _ {i = 1} ^ {k} A_ {i} ، \ quad B = \ bigcup _ {i = 1} ^ {k} B_ {i}،}$

${\ displaystyle \ quad A_ {i} \ cap A_ {j} = B_ {i} \ cap B_ {j} = \ emptyset \ quad {\ text {برای همه}} 1 \ leq i <j \ leq k،}$

و عناصری وجود دارد ${\ displaystyle g_ {i} \ in G}$ به طوری که

${\ displaystyle g_ {i} (A_ {i}) = B_ {i} {\ text {برای همه}} 1 \ leq i \ leq k،}$

سپس می توان گفت که A و B با استفاده از k قطعه قابل تجزیه در G هستند . اگر یک مجموعه E دارای دو زیرمجموعه جداگانه A و B باشد به گونه ای که A و E و همچنین B و E ، G- تجزیه پذیر هستند ، آنگاه E متناقض نامیده می شود .

با استفاده از این اصطلاحات ، پارادوکس Banach – Tarski می تواند به صورت زیر تنظیم شود:

یک توپ اقلیدسی سه بعدی با دو نسخه از خودش برابر تجزیه می شود.

در حقیقت ، به دلیل رافائل م. رابینسون ، یک نتیجه شدید وجود دارد : [7] دو برابر شدن توپ را می توان با پنج قطعه انجام داد و کمتر از پنج قطعه کافی نخواهد بود.

نسخه قوی پارادوکس ادعا می کند:

هر دو زیر مجموعه محدود از فضای اقلیدسی 3 بعدی با فضای داخلی غیر خالی ، به طور مساوی قابل تجزیه است.

در حالی که ظاهراً کلی تر است ، این عبارت به دو روش ساده از دو برابر شدن توپ با استفاده از یک تعمیم قضیه برنشتاین- شرودر ناشی از باناخ حاصل می شود که نشان می دهد اگر A برابر باشد با یک زیر مجموعه از B و B برابر است با یک زیر مجموعه A ، سپس A و B به صورت مساوی قابل تجزیه هستند.

تناقض باناخ-تارسکی را می توان با اشاره به اینكه برای دو مجموعه به صورت قوی پارادوكس ، همیشه یك تابع ذهنی وجود دارد كه می تواند نقاط را به یك شکل به صورت دیگر به صورت یك به یك ترسیم كند. . در زبان گئورگ کانتور را نظریه مجموعه ، این دو مجموعه دارند برابر کاردینالیتی . بنابراین ، اگر گروه گروه را بزرگتر کرده و اجازه انتخاب های دلخواه X را بدهد ، همه مجموعه هایی که فضای داخلی آنها خالی نیست ، سازگار می شوند. به همین ترتیب ، یک توپ را می توان با کشش ، یا به عبارتی دیگر ، با اعمال تبدیلات شباهت ، به یک توپ بزرگتر یا کوچکتر تبدیل کرد. از این رو ، اگر گروه G به اندازه کافی بزرگ باشد ، Gمجموعه های قابل تجزیه ممکن است پیدا شود که "اندازه" آنها متفاوت باشد. علاوه بر این ، از آنجا که یک مجموعه قابل شمارش می تواند در دو نسخه از خودش ساخته شود ، می توان انتظار داشت که استفاده از تعداد زیادی قطعه می تواند به نوعی کلاهبرداری را انجام دهد.

از طرف دیگر ، در پارادوکس باناخ-تارسکی ، تعداد قطعات محدود است و معادل های مجاز همگرایی های اقلیدسی است که حجم ها را حفظ می کند. با این حال ، به نوعی ، آنها در نهایت حجم توپ را دو برابر می کنند! اگرچه این قطعاً تعجب آور است ، اما برخی از قطعات مورد استفاده در تجزیه متناقض مجموعه های غیر قابل اندازه گیری هستند ، بنابراین مفهوم حجم (دقیق تر ، اندازه گیری Lebesgue ) برای آنها تعریف نشده است و تقسیم بندی به روش عملی انجام نمی شود. در حقیقت ، پارادوکس باناخ-تارسکی نشان می دهد که یافتن یک اندازه گیری کاملاً افزودنی (یا اندازه گیری Banach ) غیرممکن است.) در زیر مجموعه های یک فضای اقلیدسی دارای ابعاد سه (و بزرگتر) تعریف شده است که نسبت به حرکات اقلیدسی ثابت است و مقدار یک را بر روی مکعب واحد می گیرد. در کارهای بعدی خود ، تارسکی نشان داد که ، برعکس ، عدم وجود تجزیه های متناقض از این نوع دلالت بر وجود یک اندازه گیری ثابت و غیرقابل تغییر اضافی دارد.

قلب اثبات تناقض شکل "دو برابر شدن توپ" از تناقض ارائه شده در زیر این واقعیت قابل توجه است که با یک isometry اقلیدسی (و تغییر نام عناصر) ، می توان یک مجموعه خاص (اساساً سطح یک کره واحد) را تقسیم کرد به چهار قسمت تبدیل شده ، سپس یکی از آنها را بچرخانید تا به علاوه دو قسمت دیگر تبدیل شود. این امر به دنبال نه به راحتی از F 2 تجزیه -paradoxical از F 2 ، از گروه آزاد با دو ژنراتور. اثبات باناخ و تارسکی به واقعیت مشابهی که چند سال قبل توسط هاوسدورف کشف شد متکی بود: سطح یک کره واحد در فضا یک اتحاد جداگانه از سه مجموعه B ، C ، D و یک مجموعه قابل شمارش E استبه گونه ای که از یک طرف ، B ، C ، D به صورت جفتی منطبق هستند و از طرف دیگر ، B با اتحادیه C و D همخوانی دارد . این را اغلب پارادوکس هاوسدورف می نامند .

ارتباط با کارهای قبلی و نقش بدیهی انتخاب [ ویرایش ]

باناخ و تارسکی صریحاً ساخت جوزپه ویتالی را در سال 1905 ساخت مجموعه ای با نام او ، پارادوکس هاوسدورف (1914) و مقاله قبلی (1923) از باناخ را به عنوان پیشگام کارهای خود تأیید می کنند. سازه های ویتالی و هاسدورف بستگی دارد زرملو را اصل موضوع انتخاب ( " AC ")، که آن هم به این مقاله باناخ-تارسکی بسیار مهم است، هر دو برای اثبات تناقض خود و برای اثبات نتیجه دیگر:

دو چند ضلعی اقلیدسی ، که یکی کاملاً شامل دیگری است ، به طور مساوی قابل تجزیه نیستند .

آنها اظهار داشتند:

Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l'atention

(نقشی که این بدیهیات در استدلال ما بازی می کند به نظر ما شایسته توجه است)

آنها خاطرنشان می كنند كه گرچه نتیجه دوم كاملاً با شهود هندسی مطابقت دارد ، اما اثبات آن از AC حتی به روش قابل ملاحظه تری نسبت به اثبات تناقض استفاده می كند. بنابراین باناخ و تارسکی بیان می کنند که AC نباید صرفاً به دلیل تولید تجزیه متناقض رد شود ، زیرا چنین استدلالی اثبات گزاره های شهودی هندسی را نیز تضعیف می کند.

با این حال ، در سال 1949 ، AP مورس نشان داد که بیان در مورد چند ضلعی های اقلیدسی را می توان در نظریه مجموعه ZF اثبات کرد و بنابراین به بدیهی انتخاب نیاز ندارد. در سال 1964 ، پل کوهن ثابت کرد که بدیهی انتخاب از ZF مستقل است - یعنی از ZF اثبات نمی شود . یک نسخه ضعیف تر از اصل موضوع انتخاب است اصل موضوع انتخاب وابسته ، DC ، و نشان داده شده است که DC است نه برای اثبات پارادوکس باناخ-تارسکی، این است که به اندازه کافی،

پارادوکس باناخ-تارسکی یک قضیه ZF و ZF + DC نیست . [8]

مقادیر زیادی از ریاضیات از AC استفاده می کنند . همانطور که استن واگن در پایان تک نگاری خود اشاره کرد ، پارادوکس باناخ - تارسکی بیشتر از س forالات بنیادی برای نقش در ریاضیات خالص قابل توجه بوده است: این یک انگیزه جهت گیری جدید و مثبتی را برای تحقیق ایجاد می کند ، یعنی توانایی گروه ها ، با س foundالات اساسی کار کنید

در سال 1991 ، با استفاده از نتایج اخیر آن زمان متیو فورمن و فردریش وهرونگ ، [9] یانوش پاولیكوسكی ثابت كرد كه پارادوكس باناك - تارسكی از ZF به علاوه قضیه هان - باناخ پیروی می كند . [10] قضیه هان-باناخ به اصل کامل انتخاب متکی نیست اما می توان با استفاده از نسخه ضعیف تری از AC به نام لمای اولترافیلتر اثبات کرد . بنابراین پاولیکوفسکی ثابت کرد که تئوری مجموعه ای که برای اثبات پارادوکس باناخ-تارسکی لازم است ، گرچه از ZF قوی تر است ، اما از ZFC کامل ضعیف تر است .

طرحی از اثبات [ ویرایش ]

در اینجا مدرکی ارائه می شود که شبیه آن چیزی است که مشابه با باناخ-تارسکی ارائه نمی دهد. اساساً ، تجزیه متناقض توپ در چهار مرحله حاصل می شود:

تجزیه متناقض گروه آزاد را در دو ژنراتور پیدا کنید .
گروهی از چرخش ها را در فضای 3 بعدی غیر همسان با گروه آزاد در دو ژنراتور پیدا کنید.
از تجزیه متناقض آن گروه و بدیهی انتخاب برای تولید تجزیه متناقض کره واحد توخالی استفاده کنید.
این تجزیه کره را به تجزیه توپ واحد جامد گسترش دهید.

در زیر این مراحل با جزئیات بیشتری مورد بحث قرار می گیرد.

مرحله 1 [ ویرایش ]

نمودار Cayley از F 2 ، تجزیه را به مجموعه های S ( a ) و aS ( a -1 ) نشان می دهد. تراورس لبه افقی نمودار در جهت سمت راست نشان دهنده ضرب چپ یک عنصر از F 2 توسط ؛ تراورس لبه عمودی از نمودار در جهت رو به بالا نشان دهنده ضرب چپ یک عنصر از F 2 توسط ب . عناصر مجموعه S ( a ) نقاط سبز هستند. عناصر مجموعه aS ( a -1)) نقاط آبی یا قرمز با حاشیه آبی هستند. نقاط قرمز با حاشیه آبی عناصر S ( a -1 ) هستند که زیر مجموعه aS ( a -1 ) است.

گروه آزاد با دو ژنراتور a و b از تمام رشته های محدود تشکیل شده است که می تواند از چهار نماد a ، a -1 ، b و b -1 تشکیل شود ، به طوری که هیچ a مستقیماً در کنار a -1 ظاهر نشود و هیچ b مستقیم ظاهر نشود در کنار a b −1 . با جایگزینی مکرر زیر رشته های "ممنوع" با رشته خالی ، می توان دو رشته از این نوع را بهم پیوند داد و به رشته ای از این نوع تبدیل کرد. به عنوان مثال: abab −1 a −1 با abab −1 متصل می شودa تولید abab −1 a −1 abab −1 a ، که حاوی زیرلایه a −1 a است ، و بنابراین به abab −1 bab −1 a ، که حاوی زیرلایه b −1 b است ، تبدیل می شود که به abaab کاهش می یابد - 1 . می توان بررسی کرد که مجموعه آن رشته ها با این عملیات گروهی با عنصر هویت رشته خالی e را تشکیل می دهد . این گروه را می توان F 2 نامید .

گروه $F_ {2}$ به صورت زیر می توان "متناقض تجزیه" کرد: بگذارید S ( a ) مجموعه ای از همه رشته های غیر ممنوعه باشد که با a شروع می شوند و S ( a -1 ) ، S ( b ) و S ( b -1 ) را به طور مشابه تعریف می کنند. به وضوح،

$F_ {2} = \ {e \} \ جام S (a) \ cup S (a ^ {- 1}) \ cup S (b) \ cup S (b ^ {- 1})$

اما همچنین

${\ displaystyle F_ {2} = aS (a ^ {- 1}) \ cup S (a)،}$

${\ displaystyle F_ {2} = bS (b ^ {- 1}) \ cup S (b)،}$

که در آن نماد به عنوان ( -1 ) مواد را به همه رشته ها در S ( -1 ) و الحاق آنها در سمت چپ با .

این در هسته اثبات است. به عنوان مثال ، ممکن است یک رشته وجود داشته باشد $aa ^ {- 1} ب$ در مجموعه $aS (a ^ {- 1})$ که ، به دلیل قاعده ای که $آ$ نباید در کنار آن ظاهر شود $a ^ {- 1}$ ، به رشته کاهش می یابد $ب$ . به طور مشابه ، $aS (a ^ {- 1})$ شامل تمام رشته هایی است که با شروع می شوند $a ^ {- 1}$ (به عنوان مثال ، رشته

$aa ^ {- 1} a ^ {- 1}$ که کاهش می یابد به $a ^ {- 1}$ ) به این ترتیب $aS (a ^ {- 1})$ شامل تمام رشته هایی است که با شروع می شوند $ب$ ، $b ^ {- 1}$ و $a ^ {- 1}$ .

گروه F 2 به چهار قطعه برش داده شده است (بعلاوه تک سنگ { e }) ، سپس دو نفر از آنها با ضرب در a یا b "جابجا" می شوند ، سپس به عنوان دو قطعه "دوباره جمع می شوند" تا یک کپی از $F_ {2}$ و دو نفر دیگر برای تهیه نسخه دیگری از آنها $F_ {2}$ . این دقیقاً همان کاری است که برای توپ انجام می شود.

مرحله 2 [ ویرایش ]

برای یافتن یک گروه چرخشی از فضای سه بعدی ، یعنی همان رفتاری مانند (یا " یکسان نبودن ") برای گروه آزاد F 2 ، دو محور متعامد گرفته می شود (به عنوان مثال محورهای x و z ). سپس ، A به صورت چرخش در نظر گرفته می شود ${\ textstyle \ theta = \ arccos \ چپ ({\ frac {1} {3}} \ راست)}$ در مورد محور x ، و B یک چرخش از $\ تتا$ در مورد محور z (بسیاری دیگر از جفت های مناسب ضرب غیر منطقی π وجود دارد که می تواند در اینجا نیز استفاده شود). [11]

گروه چرخش های تولید شده توسط A و B را H می نامند . اجازه دهید $\ امگا$ یک عنصر H باشد که با یک چرخش مثبت در مورد محور z شروع می شود ، یعنی یک عنصر از فرم ${\ displaystyle \ omega = \ ldots B ^ {k_ {3}} A ^ {k_ {2}} B ^ {k_ {1}}}$ با ${\ displaystyle k_ {1}> 0، \ k_ {2}، k_ {3}، \ ldots، k_ {n} \ neq 0، \ n \ geq 1}$ . با القا می توان نشان داد که $\ امگا$ نقطه را ترسیم می کند $(1،0،0)$ به ${\ textstyle \ left ({\ frac {k} {3 ^ {N}}} ، {\ frac {l {\ sqrt {2}}} {3 ^ {N}}} ، {\ frac {m} { 3 ^ {N}}} \ راست)}$ ، برای برخی ${\ displaystyle k، l، m \ in \ mathbb {Z}، N \ in \ mathbb {N}}$ . تجزیه و تحلیل ${\ displaystyle k ، l}$ و $متر$ مدول 3 ، می تواند نشان دهد که ${\ displaystyle l \ neq 0}$ . همان استدلال تکرار شده (با تقارن مسئله) زمانی معتبر است $\ امگا$ با یک چرخش منفی در مورد محور z یا یک چرخش در مورد محور x شروع می شود. این نشان می دهد که اگر $\ امگا$ است که توسط یک کلمه غیر بدیهی در داده و B ، پس از آن ${\ displaystyle \ امگا \ neq e}$ . بنابراین ، گروه H یک گروه آزاد است که با F 2 غیر همسان است .

این دو چرخش دقیقاً مانند عناصر a و b در گروه F 2 رفتار می کنند : اکنون یک تجزیه متناقض H وجود دارد .

این مرحله را نمی توان در دو بعد انجام داد زیرا شامل چرخش در سه بعد است. اگر دو چرخش در حدود یک محور انجام شود ، گروه حاصل گروه دایره آبلیان است و ویژگی مورد نیاز در مرحله 1 را ندارد.

اثبات حسابی جایگزین وجود گروههای آزاد در برخی از گروههای متعامد خاص با استفاده از کواترنهای انتگرال منجر به تجزیه های متناقض گروه چرخشی می شود . [12]

مرحله 3 [ ویرایش ]

واحد حوزه S 2 به تقسیم مدار توسط عمل از گروه ما H : دو نقطه متعلق به مدار همان اگر و تنها اگر یک چرخش در آن وجود دارد H حرکت می کند که نقطه اول به دوم. (توجه داشته باشید که مدار یک نقطه یک مجموعه متراکم در S 2 است .) از بدیهی انتخاب می توان برای انتخاب دقیقاً یک نقطه از هر مدار استفاده کرد. این نقاط را در یک مجموعه M جمع کنید . عملکرد H در یک مدار معین آزاد و انتقالی است و بنابراین هر مدار را می توان با H شناسایی کرد. به عبارت دیگر ، با اعمال چرخش مناسب از H به عنصر مناسب از M ، می توان دقیقاً به یک طریق به هر نقطه در S 2 رسید . از آنجا که از این، تجزیه متناقض از H بازده تجزیه متناقض S 2 به چهار قطعه 1 ، 2 ، 3 ، 4 شرح زیر است:

$A_ {1} = S (a) M \ cup M \ cup B$

$A_ {2} = S (a ^ {- 1}) M \ setminus B$

$\ displaystyle A_ {3} = S (b) M$

$\ displaystyle A_ {4} = S (b ^ {- 1}) M$

جایی که ما تعریف می کنیم

$S (a) M = \ {s (x) | s \ in S (a)، x \ in M \}$

و به همین ترتیب برای مجموعه های دیگر ، و جایی که ما تعریف می کنیم

$B = a ^ {- 1} M \ cup a ^ {- 2} M \ cup \ dots$

(پنج قسمت "متناقض" F 2 به طور مستقیم مورد استفاده قرار نگرفتند ، زیرا پس از دو برابر شدن M به دلیل وجود تکی بودن { e } ، M را به عنوان یک قطعه اضافی ترک می کنند !)

کره (اکثریت کره) اکنون به چهار مجموعه تقسیم شده است (هر یک از آنها متراکم بر روی کره است) ، و هنگامی که دو مورد از آنها چرخانده می شوند ، نتیجه دو برابر آنچه در گذشته بود:

$aA_ {2} = A_ {2} \ جام A_ {3} \ جام A_ {4}$

$bA_ {4} = A_ {1} \ جام A_ {2} \ جام A_ {4}$

مرحله 4 [ ویرایش ]

در آخر ، هر نقطه از S 2 را با یک بخش نیمه باز به مبدا وصل کنید. تجزیه متناقض S 2 پس از آن منجر به تجزیه متناقض از واحد توپ جامد منهای نقطه در مرکز توپ است. (این نقطه مرکزی کمی بیشتر به مراقبت نیاز دارد ؛ به زیر مراجعه کنید.)

NB این طرح جزئیات بیشتری را نشان می دهد. باید مراقب مجموعه نقاط کره بود که اتفاقاً در محور برخی از چرخش ها در H قرار دارد . با این حال ، فقط تعداد قابل شماری از این تعداد وجود دارد ، و مانند مورد نقطه در مرکز توپ ، می توان وصله را برای پاسخگویی به همه آنها وصله کرد. (به زیر مراجعه کنید.)

برخی از جزئیات ، اجمالی [ ویرایش ]

در مرحله 3 ، کره به مدارهای گروه H ما تقسیم شد . برای ساده سازی اثبات ، بحث در مورد نقاطی که با برخی چرخش ها ثابت می شوند حذف شد. از تجزیه متناقض F 2 در تغییر زیر مجموعه های خاصی تکیه دارد، این واقعیت است که برخی از نقاط ثابت هستند ممکن است برخی از مشکلات شود. از آنجا که هر چرخش S 2 (غیر از چرخش صفر) دقیقاً دارای دو نقطه ثابت است و از آنجا که H ، که یکسان با F 2 نیست ، قابل شمارش است ، تعداد زیادی از نقاط S 2 قابل شمارش است که با برخی چرخش ها در H ثابت می شوند . این مجموعه از نقاط ثابت را به عنوان نشان دهیدD . مرحله 3 ثابت می کند که S 2 - D یک تجزیه متناقض را پذیرفته است.

آنچه برای نشان دادن باقی مانده ادعا است : S 2 - D با S 2 قابل تجزیه برابر است .

اثبات بگذارید λ مقداری از مبدا باشد که هیچ نقطه ای از D را قطع نمی کند . این امکان پذیر است زیرا D قابل شمارش است. بگذارید J مجموعه ای از زاویه ها باشد ، α ، به گونه ای که برای برخی از تعداد طبیعی n ، و برخی از P در D ، r ( n α) P نیز در D است ، جایی که r ( n α) یک چرخش در مورد λ از n α است. سپس J قابل شمارش است. بنابراین وجود دارد یک θ زاویه نیست در آن وجود دارد J . بگذارید ρ چرخشی در حدود λ توسط θ باشد. سپس ρ بدون نقطه ثابت روی S 2 عمل می کنددر D ، به عنوان مثال ، ρ n ( D ) از D جدا است ، و برای m < n ، ρ n ( D ) از ρ m ( D ) جدا است. اجازه دهید E باشد مجزای از ρ N ( D ) بیش از N = 0، 1، 2، .... سپس S 2 = E S ( S 2 - E ) ~ ρ ( E ) ∪ ( S 2 - E ) = ( E- D ) ∪ ( S 2 - E ) = S 2 - D ، جایی که ~ نشانگر "برابر برابر با" است.

برای مرحله 4 ، قبلا نشان داده شده است که توپ منهای یک نقطه تجزیه متناقض را پذیرفته است. باید نشان داده شود که توپ منهای یک نقطه با توپ قابل تجزیه است. یک دایره درون توپ را در نظر بگیرید ، حاوی نقطه ای در مرکز توپ. با استفاده از استدلالی مانند این که برای اثبات ادعا استفاده می شود ، می توان دایره کامل را با دایره منهای نقطه مرکز توپ تفکیک کرد. (اساساً ، یک مجموعه قابل شمارش از نقاط روی دایره را می توان چرخاند تا به خود اضافه شود به علاوه یک امتیاز دیگر.) توجه داشته باشید که این شامل چرخش در مورد نقطه ای غیر از مبدا است ، بنابراین پارادوکس باناخ-تارسکی شامل ایزومتری های 3 فضای اقلیدسی است. نه فقط SO (3) .

استفاده از این واقعیت ساخته شده که اگر ~ B و B ~ C ، پس از آن ~ C . تجزیه A به C را می توان با استفاده از تعداد قطعه برابر با حاصلضرب اعداد مورد نیاز برای گرفتن A به B و برای گرفتن B به C انجام داد .

اثبات طرح شده در بالا به 2 × 4 × 2 + 8 = 24 قطعه نیاز دارد - ضریب 2 برای حذف نقاط ثابت ، ضریب 4 از مرحله 1 ، ضریب 2 برای بازسازی نقاط ثابت و 8 برای نقطه مرکزی توپ دوم . اما در مرحله 1 هنگام انتقال { e } و همه رشته های فرم a n به S ( a -1 ) ، این کار را برای همه مدارها به جز یک مورد انجام دهید. { e } از این مدار آخر را به نقطه مرکزی توپ دوم منتقل کنید. این مقدار مجموع را به 16 + 1 قطعه کاهش می دهد. با جبر بیشتر ، می توان مدارهای ثابت را در مرحله 1 به 4 مجموعه تجزیه کرد. این 5 قطعه می دهد و بهترین حالت ممکن است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox

پارادوکس باناخ-تارسکی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هفتم تیر ۱۴۰۰ | 18:44

"آیا می توان یک توپ را به تعداد محدودی از مجموعه نقاط تجزیه کرد و دوباره به دو توپ یکسان با توپ اصلی مونتاژ کرد؟"

پارادوکس باناخ-تارسکی است قضیه در مجموعه ای نظری هندسه ، که بیان موارد زیر است: با توجه به جامد توپ در فضای 3 بعدی، وجود دارد وجود دارد تجزیه توپ را به یک تعداد متناهی از متلاشی شدن زیر مجموعه ، که پس از آن می توانید قرار داده می شود تماس با هم به روشی متفاوت برای بدست آوردن دو کپی یکسان از توپ اصلی. در واقع ، فرآیند مونتاژ فقط شامل حرکت قطعات به اطراف و چرخش آنها بدون تغییر شکل آنها است. با این حال ، قطعات خود به معنای معمول "جامد" نیستند ، بلکه پراکندگی بی نهایت نقاط هستند. بازسازی می تواند با پنج قطعه کار کند. [1]

شکل قویتر قضیه به این معناست که با توجه به هر دو جسم جامد "معقول" (مانند یک توپ کوچک و یک توپ بزرگ) ، قطعات بریده شده هر یک را می توان دوباره در دیگری جمع کرد. این امر اغلب به صورت غیررسمی عنوان می شود: "یک نخود می تواند خرد شود و دوباره در خورشید جمع شود" و " پارادوکس نخود و خورشید " نامیده می شود.

دلیل اینکه پارادوکس قضیه Banach – Tarski نامیده می شود این است که با شهود اساسی هندسی در تضاد است. "دو برابر شدن توپ" را با تقسیم آن به قطعات و حرکت آنها را در اطراف با چرخش و ترجمه ، بدون هیچ گونه کشش، خم شدن، و یا اضافه کردن نقاط جدید، به نظر می رسد غیر ممکن است، از آنجا که همه این عملیات باید ، به طور مستقیم صحبت کردن، برای حفظ حجم. این شهود که چنین عملیاتی حجم ها را حفظ می کند از نظر ریاضیات پوچ نیست و حتی در تعریف رسمی جلدها نیز گنجانده شده است. اما این در اینجا قابل اجرا نیست زیرا در این حالت تعریف حجم زیرمجموعه های در نظر گرفته شده غیرممکن است. جمع آوری مجدد آنها یک حجم را تولید می کند ، که اتفاقاً متفاوت از حجم در آغاز است.

برخلاف بیشتر قضیه ها در هندسه ، اثبات این نتیجه به انتخاب بدیهیات برای نظریه مجموعه ها به روشی حیاتی بستگی دارد. این را می توان با استفاده از بدیهی انتخاب اثبات کرد ، که امکان ساخت مجموعه های غیر قابل اندازه گیری را فراهم می کند ، یعنی مجموعه ای از نقاط که به معنای عادی حجم ندارند و ساخت آنها به تعداد بی شماری از انتخاب ها نیاز دارد. [2]

در سال 2005 نشان داده شد که قطعات موجود در تجزیه می توانند به گونه ای انتخاب شوند که بتوانند به طور مداوم به محل خود منتقل شوند بدون اینکه به یکدیگر برخورد کنند. [3]

همانطور که به طور مستقل توسط لروی [4] و سیمپسون اثبات شده است ، [5] پارادوکس Banach – Tarski اگر فردی به جای فضاهای توپولوژیکی با محلی کار کند ، حجم را نقض نمی کند. در این محیط انتزاعی ، می توان زیر فضایی را بدون نقطه داشت اما همچنان غیر خالی بود. قسمتهای تجزیه متناقض به معنای محلهای متقاطع بسیار هستند ، به حدی که باید به برخی از این تقاطعها جرم مثبت داده شود. اجازه می دهد تا این توده پنهان در نظر گرفته شود ، تئوری محلی ها اجازه می دهد تا همه زیرمجموعه ها (و حتی همه زیرمقیاس ها) فضای اقلیدسی به طور رضایت بخشی اندازه گیری شوند.

فهرست

نشریه باناخ و تارسکی [ ویرایش ]

در یک مقاله در سال 1924 منتشر شده است، [6] استفان Banach و تارسکی داد ساخت چنین تجزیه متناقض ، بر اساس کار قبلی توسط جوزپه ویتالی مربوط به فاصله واحد و در تجزیه متناقض از حوزه های فلیکس هاسدورف ، و مورد بحث تعداد سوالات مرتبط در مورد تجزیه زیر مجموعه های فضاهای اقلیدسی در ابعاد مختلف. آنها بیان کلی تر زیر را ثابت کردند ، شکل قوی پارادوکس Banach – Tarski :

با توجه به هر دو زیرمجموعه محدود A و B یک فضای اقلیدسی حداقل در سه بعد ، که هر دو دارای فضای غیرخالی هستند ، پارتیشن های A و B به تعداد محدودی از زیرمجموعه های جداگانه وجود دارد ، ${\ displaystyle B = B_ {1} \ cup \ cdots \ cup B_ {k}}$ (برای بعضی از k عدد صحیح ) ، بدین ترتیب که برای هر (عدد صحیح) i بین 1 تا k ، مجموعه های A i و B i همخوان هستند .

حال بگذارید A توپ اصلی باشد و B اتحادیه دو نسخه ترجمه شده از توپ اصلی باشد. سپس گزاره به این معنی است که شما می توانید توپ اصلی A را به تعداد مشخصی از قطعات تقسیم کنید و سپس این قطعات را بچرخانید و ترجمه کنید به گونه ای که نتیجه آن کل مجموعه B باشد که شامل دو نسخه از A است .

شکل قوی تناقض Banach – Tarski در ابعاد یک و دو نادرست است ، اما Banach و Tarski نشان دادند که اگر تعداد زیادی از زیرمجموعه ها مجاز باشند ، جمله مشابه درست باقی می ماند . تفاوت بین ابعاد 1 و 2 از یک سو، و 3 و بالاتر در سوی دیگر، با توجه به ساختار غنی تر از گروه E ( N ) از حرکات اقلیدسی در 3 ابعاد. برای n = 1 ، 2 گروه قابل حل است ، اما برای n ≥ 3 شامل یک گروه آزاد با دو مولد است. جان فون نویمان خواص گروه معادلاتی را که تجزیه متناقض را امکان پذیر می کند مطالعه کرد و مفهوم گروه های قابل تطبیق را معرفی کرد . وی همچنین نوعی تناقض را در صفحه پیدا کرد که از تغییرات آفرین با حفظ منطقه به جای همگرایی های معمول استفاده می کند.

تارسکی ثابت کرد که گروه های قابل قبول دقیقاً همان گروه هایی هستند که هیچ تجزیه متناقضی برای آنها وجود ندارد. از آنجا که در پارادوکس Banach – Tarski فقط به زیرگروه های رایگان نیاز است ، این منجر به حدس و گمان طولانی مدت فون نویمان شد که در سال 1980 رد شد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox

مثال از استفاده از مقادیر ویژه و بردارهای ویژه برای سیستم معادلات دیفرانسیل

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و ششم تیر ۱۴۰۰ | 20:19

Complex Eigenvalues and Phase Portraits. Fundamental Set of Solutions For Linear System of ODEs With Eigenvalues and Eigenvectors and The General Solution. - ppt download

ابزارک Complex Eigenvalues and Phase Portraits. Fundamental Set of Solutions For Linear System of ODEs With Eigenvalues and Eigenvectors and The General Solution. - ppt download تصویر

مثال از حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول با مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و ششم تیر ۱۴۰۰ | 6:19

Complex Eigenvalues and Phase Portraits. Fundamental Set of Solutions For Linear System of ODEs With Eigenvalues and Eigenvectors and The General Solution. - ppt download

سوال : مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس ضریب را پیدا کنید. راه حل واقعی برای مسئله مقدار اولیه

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و ششم تیر ۱۴۰۰ | 6:16

سوال : سیستم خطی را در نظر بگیرید. مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس ضریب را پیدا کنید. راه حل واقعی برای مسئله مقدار اولیه را پیدا کنید؟

سیستم خطی را در نظر بگیرید a. مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس ضریب را پیدا کنید ، و ، V2 - b. یافتن راه حل با ارزش واقعی برای مسئله مقدار اولیه از t به عنوان متغیر مستقل در پاسخ های خود استفاده کنید m (t) y2

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس B را پیدا کنید. سیستم معادلات دیفرانسیل X را حل کنید؟

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و ششم تیر ۱۴۰۰ | 6:12

: الف مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس B را پیدا کنید. سیستم معادلات دیفرانسیل X را حل کنید؟

تصویر برای مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس b را پیدا کنید. سیستم معادلات دیفرانسیل x را حل کنید؟ = x

سوال : مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس را پیدا کنید سیستم معادلات دیفرانسیل را حل کنید

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و ششم تیر ۱۴۰۰ | 6:7

(1 امتیاز) الف. مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس 23 [20 -15 -12] b را پیدا کنید. سیستم معادله دیفرانسیل را حل کنید

سوال1: معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول با مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و ششم تیر ۱۴۰۰ | 6:1

آ. مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس 22 15 -30 -23 li 135 = = و 12 V 2 1 22 15 b را پیدا کنید. سیستم dif را حل کنید

هنگام استفاده از تبدیل لاپلاس چرا -pi / 4 در cos (t-pi / 4) نادیده گرفته می شود؟

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و پنجم تیر ۱۴۰۰ | 23:55

r/askmath - when applying the Laplace transform why is the -pi/4 in cos(t-pi/4) ignored ? Thank you.

تبدیل لاپلاس توابع استاندارد

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و پنجم تیر ۱۴۰۰ | 23:49

تبدیل Laplace از توابع استاندارد توسط داده شده است

عملکرد مرحله:

تابع مرحله واحد است ،

اگر گام دامنه A وجود داشته باشد به عنوان مثال f (t) = A u (t) سپس Laplace آن توسط A / s داده می شود.

اگر مرحله واحد با T instants به تأخیر بیفتد ،

از قضیه تغییر شکل تبدیل لاپلاس می توان نوشت ،

عملکرد رمپ:

عملکرد رمپ واحد به صورت زیر تعریف شده است:

ادغام توسط قطعات ،

در حالی که تبدیل لاپلاس از سطح شیب دار دارای شیب A یعنی

اگر رمپ واحد توسط T فوری منتقل شود ،

از قضیه تغییر شکل تبدیل لاپلاس ،

عملکرد ضربه:

تابع تکانی δ (t) است و به صورت تعریف شده است ،

ما رابطه بین گام واحد و تکانه واحد را می دانیم.

با استفاده از تبدیل لاپلاس هر دو طرف ،

اگر تابع ضربه تأخیری δ (t - T) وجود داشته باشد ، با استفاده از ویژگی تغییر مکان می توانیم بنویسیم ،

بگذارید این نتایج را به صورت جدول خلاصه کنیم تا هنگام پیدا کردن تبدیل لاپلاس از توابع مختلف زمانی ، این جدول از تبدیلات استاندارد لاپلاس بتواند مستقیماً ارجاع شود.

بنابراین تبدیلهای لاپلاس از توابع زمان استاندارد برای بدست آوردن تبدیل لاپلاس از هر شکل موج با حل کردن آن به تابع استاندارد بسیار مفید است.

منبع

https://www.eeeguide.com/laplace-transform-of-standard-functions/

رویکرد سری قدرت

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و چهارم تیر ۱۴۰۰ | 21:53

سری توانی است راه حل برای معادلات دیفرانسیل . تابعی که به دنبال آن هستید به صورت یک سری توان با ضرایب ناشناخته نمایش داده می شود و سپس در معادله دیفرانسیل قرار می گیرد. راه حل را می توان با مقایسه ضرایب یافت و در بعضی موارد می تواند بر حسب توابع ابتدایی بیان شود .

در حالت کلی ، اگر توابع ضریب مانند معادله دیفرانسیل Fuchs (که معادله دیفرانسیل ابر هندسی به آن تعلق دارد) ناهمگن باشد ، معادله دیفرانسیل باید همیشه در مجموعه ( حوزه عدد ریمان ) در نظر گرفته شود . راه حل های سری قدرت تعمیم یافته (به روش Frobenius مراجعه کنید ) برای معادلات دیفرانسیل از نوع Fuchs (با تکین های منحصر به فرد قابل بلند شدن نیز در بی نهایت ) وجود دارد و راه حل های اساسی معادله دیفرانسیل که به صورت محلی به عنوان راه حل های سری قدرت با در نظر گرفتن ادامه های تحلیلی ارائه می شوداز طریق ماتریس های مونودرومیک به نقاط منفرد توابع ضریب متصل می شوند .

فهرست مطالب

عملکرد نمایی به عنوان مثالی انگیزشی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

به عنوان یک مثال ساده ما سوال زیر را در نظر می گیریم: کدام تابع به عنوان مضرب این تابع مشتق شده است؟ به عنوان یک معادله:

${\ displaystyle {\ frac {dy (x)} {dx}} = \ lambda \ ، y (x)}$

اگر یک شرط اولیه مشخص شود ، این معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول را می توان حل کرد:

$y (0) = y_ {0}$

برای $y$ ما اکنون یک سری قدرت را اعمال می کنیم:

${\ displaystyle y (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k} = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2 } + a_ {3} x ^ {3} + \ ldot}$

شرط اولیه به ترجمه می شود ${\ displaystyle y_ {0} = a_ {0}}$ ، زیرا ${\ displaystyle y (0) = a_ {0} + a_ {1} 0 + a_ {2} 0 ^ {2} + ... = a_ {0}}$ .

اشتقاق از $y (x)$ در نتیجه:

${\ displaystyle {\ frac {dy (x)} {dx}} = {\ frac {d} {dx}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {d} {dx}} a_ {k} x ^ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k} \، k \، x ^ {k-1} = a_ {1} + 2a_ {2} x + 3a_ {3} x ^ {2} + \ ldots}$

در معادله دیفرانسیل فوق درج شده است:

${\ displaystyle a_ {1} + 2a_ {2} x + 3a_ {3} x ^ {2} + \ ldots = \ lambda a_ {0} + \ lambda a_ {1} x + \ lambda a_ {2} x ^ {2} + \ lambda a_ {3} x ^ {3} + \ ldots}$

همانطور که این برای همه است $ایکس$ باید اعمال شود ، ضرایب باید اعمال شوند ${\ displaystyle x_ {0} ، x_ {1} ، x_ {2}}$ و غیره یکسان باشد. از این رو ${\ displaystyle a_ {1} = \ lambda a_ {0} ، 2a_ {2} = \ lambda a_ {1} ، 3a_ {3} = \ lambda a_ {2}}$ و غیره این را می توان تغییر داد و استفاده کرد: ${\ displaystyle a_ {1} = {\ tfrac {\ lambda \، a_ {0}} {1}}}$ ${\ displaystyle a_ {2} = {\ tfrac {\ lambda \، a_ {1}} {2}} = {\ tfrac {\ lambda ^ {2} \، a_ {0}} {2 \ cdot 1}} }$ ${\ displaystyle a_ {3} = {\ tfrac {\ lambda \، a_ {2}} {3}} = {\ tfrac {\ lambda ^ {3} \، a_ {0}} {3 \ cdot 2 \ cdot 1}}}$ . عمومی است:

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k} \، k \، x ^ {k-1} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ lambda \، a_ {k} \ ، x ^ {k}}$ و بنابراین ${\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {\ lambda} {k}} \، a_ {k-1}}$ برای همه $k \ geq 1$ .

این یک معادله بازگشتی برای ضرایب است $a_ {k}$ و نتیجه:

${\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \ ، a_ {0}}$ .

این به مجموعه قدرت وارد می شود:

${\ displaystyle y (x) = a_ {0} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} x ^ {k} = a_ {0 } \ left (1+ \ lambda x + {\ frac {1} {2}} \ lambda ^ {2} x ^ {2} + {\ frac {1} {3!}} \ lambda ^ {3} x ^ {3} + \ ldot \ right)}$ .

اگر سری توان تابع نمایی را در آن تشخیص دهیم ، می توان راه حل را حتی فشرده تر از این نوشت:

${\ displaystyle y (x) = y_ {0} \ ، e ^ {\ lambda \، x}}$ .

توجیه نظری [ ویرایش | ویرایش منبع ]

برای توجیه نظری این رویه ، باید از قبل بدانید که یک راه حل هولومورفیک وجود دارد ، یعنی یک راه حل که می تواند به یک سری قدرت تبدیل شود.

البته می توانید به سادگی فرض کنید که بر اساس این فرض ، مانند مثال مقدماتی ، یک راه حل بسازید و سپس آن را از طریق درج آزمایش کنید. اما اگر کسی نتواند ضرایب بازگشتی را حل کند و فقط بتواند چند ضریب را محاسبه کند ، در این صورت یک چند جمله ای به عنوان تقریبی از یک راه حل ممکن دارد ، اما این تنها در صورت قطعیت وجود یک راه حل هولوفرمی منطقی است. این همان چیزی است که جمله زیر ارائه می دهد:

جمله : باشد ${\ displaystyle z_ {0} ، y_ {0} \ in \ mathbb {C}}$ مانند ${\ displaystyle a، b> 0}$ داده شده و ${\ displaystyle F: U \ rightarrow \ mathbb {C}}$ هولومورفیک ، کi ${\ displaystyle U \ supset U_ {0}: = \ {(z، y) \ in \ mathbb {C} ^ {2}؛ | z-z_ {0} | \ leq a، | y-y_ {0} | \ leq b \}}$ و ${\ displaystyle M: = \ sup \ {| F (z، y) |؛ (z، y) \ در U_ {0} \}}$ . سپس دقیقاً یک راه حل هولومورفیک وجود دارد $f$ از مسئله مقدار اولیه

${\ displaystyle f '(z) = F (z، f (z)) ، \ quad f (z_ {0}) = y_ {0}}$ ،

${\ displaystyle \ textstyle \ {z \ in \ mathbb {C}؛ | z-z_ {0} | <\ min (a، {\ frac {b} {M}}) \}}$ . [1]

در مثال بالا ، $z_0 = 0$ و ${\ displaystyle F (z، y) = \ lambda y}$ . برای ${\ displaystyle a، b> 0}$ است

${\ displaystyle M = \ sup \ {| F (z، y) |؛ | z | \ leq a، | y-y_ {0} | \ leq b \} = | \ lambda | \ sup \ {| y | ؛ | y-y_ {0} | \ leq b \} = | \ lambda | (| y_ {0} | + b)}$ .

شعاع همگرایی از ${\ displaystyle \ textstyle \ min (a ، {\ frac {b} {M}})}$ بنابراین می تواند کوچکتر از شعاع واقعی همگرایی محلول باشد ، که در مثال حاضر بی نهایت شناخته شده است. هویت قضیه برای توابع هولومورفیک سپس نشان می دهد که راه حل را پیدا نیز حل مشکل از مقدار اولیه خارج از شعاع همگرایی، به عنوان طولانی به عنوان یکی ${\ displaystyle F (z ، f (z))}}$ هنوز هم می تواند در یک محیط منسجم از دایره همگرایی تشکیل شود.

به طور خاص ، این قضیه نشان می دهد که رویکرد سری قدرت منجر به موفقیت در مورد سمت راست هولومورفیک مسئله مقدار اولیه می شود.

مثال دیگر: معادله دیفرانسیل هرمیتی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

ما به دنبال حل معادله دیفرانسیل Hermit هستیم [2]

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y (x)} {dx ^ {2}}} - 2 \، x \، {\ frac {dy (x)} {dx}} + 2 \، \ lambda \ ، y (x) = 0}$

راه حل به عنوان یک سری قدرت استفاده می شود:

${\ displaystyle y (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {k}} {k!}} x ^ {k}}$

به منظور سهولت در محاسبه بیشتر ، عاملی در این روش در مقایسه با آخرین مثال اضافه شد ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {k!}}}$ معرفی کرد.

از این رو:

${\ displaystyle 2 \، \ lambda \، y (x) = 2 \، \ lambda a_ {0} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 \، \ lambda \، a_ {k}} {k!}} x ^ {k}}$

${\ displaystyle -2x \، {\ frac {dy (x)} {dx}} = - 2x \ ، \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {k}} {k! }} k \، x ^ {k-1} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {-2a_ {k}} {(k-1)!}} \، x ^ { k}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y (x)} {dx ^ {2}}} = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {k}} {k !}} k \، (k-1) \، x ^ {k-2} = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {k}} {(k-2)! }} \ ، x ^ {k-2} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ ضعیف} {\ frac {a_ {k + 2}} {k!}} \ ، x ^ {k} = a_ {2} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {k + 2}} {k!}} \، X ^ {k}}$

در معادله دیفرانسیل قرار داده شده به این معنی است:

${\ displaystyle a_ {2} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {k + 2}} {k!}} \، x ^ {k} \؛ + \؛ \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {-2a_ {k}} {(k-1)!}} \، x ^ {k} \؛ + \؛ 2 \، \ lambda a_ { 0} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 \، \ lambda \، a_ {k}} {k!}} X ^ {k} = 0}$

${\ displaystyle a_ {2} +2 \، \ lambda a_ {0} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {a_ {k + 2}} {k!}} + {\ frac {-2a_ {k}} {(k-1)!}} + {\ frac {2 \، \ lambda \، a_ {k}} {k!}} \ right) x ^ {k} = 0}$

مقایسه بازده ضرایب برای شرایط ثابت ( $k = 0$ ): ${\ displaystyle 2 \، \ lambda a_ {0} + a_ {2} = 0}$ و برای همه دیگر ( $k> 0$ ):

${\ displaystyle {\ frac {a_ {k + 2}} {k!}} + {\ frac {-2a_ {k}} {(k-1)!}} + {\ frac {2 \، \ lambda \ ، a_ {k}} {k!}} = 0}$ .

ضرب توسط {\ displaystyle k!} $ک!$ منجر می شود به:

${\ displaystyle a_ {k + 2} -2a_ {k} \، k + 2 \، \ lambda \، a_ {k} = 0}$ ، د ح

${\ displaystyle a_ {k + 2} = (2k-2 \ lambda) a_ {k}}$ .

ضرایب هستند $a_ {0}$ و $a_ {1}$ به عنوان مثال از شرایط اولیه ، سپس تمام ضرایب بعدی شناخته شده است $a_ {k}$ در صورت لزوم یک سری را محاسبه و خلاصه کنید. بنابراین راه حل تحلیلی معادله دیفرانسیل:

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} y (x) & = a_ {0} \ چپ (1 - {\ frac {2 \ lambda} {2!}} x ^ {2} - {\ frac {2 \ lambda (4-2 \ lambda)} {4!}} X ^ {4} - {\ frac {2 \ lambda (4-2 \ lambda) (8-2 \ lambda)} {6!}} X ^ {6 } - \ ldots \ right) \\ & \ qquad + a_ {1} \ left (x + {\ frac {(2-2 \ lambda)} {3!}} x ^ {3} + {\ frac {( 2 -2 \ lambda) (6-2 \ lambda)} {5!}} X ^ {5} + {\ frac {(2-2 \ lambda) (6-2 \ lambda) (10-2 \ lambda) } {7!}} X ^ {7} + \ ldot \ right) \ end {تراز شده}}}$ .

منبع

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihenansatz

ادامه حل سری معادلات دیفرانسیل

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و چهارم تیر ۱۴۰۰ | 21:38

روشی ساده تر با استفاده از سری تیلور [ ویرایش ]

یک روش بسیار ساده برای حل این معادله (و به طور کلی راه حل سری قدرت) با استفاده از فرم گسترش سری تیلور . در اینجا ما فرض می کنیم که جواب فرم است

$f = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty {A_kz ^ k \ over {k!}}$

اگر این کار را انجام دهیم ، قانون کلی برای به دست آوردن رابطه عود برای ضرایب است

$y ^ {[n]} \ به A_ {k + n}$

$x ^ my ^ {[n]} \ to (k) (k-1) \ cdots (k-m + 1) A_ {k + nm}$

در این حالت می توان معادله هرمیت را در مراحل کمتری حل کرد:

$f$

تبدیل می شود

$A_ {k + 2} -2kA_k + \ lambda A_k = 0$

یا

$A_ {k + 2} = (2k- \ lambda) A_k$

در سریال

$f = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty {A_kz ^ k \ over {k!}}$

معادلات غیرخطی [ ویرایش ]

روش سری توان را می توان در معادلات دیفرانسیل غیرخطی خاصی اعمال کرد ، البته با انعطاف پذیری کمتر. یک دسته بسیار بزرگ از معادلات غیرخطی را می توان با استفاده از روش Parker-Sochacki به صورت تحلیلی حل کرد. از آنجا که روش پارکر-سوچاکی شامل گسترش سیستم اصلی معادلات دیفرانسیل معمولی از طریق معادلات کمکی است ، به این سادگی به عنوان روش سری قدرت یاد نمی شود. روش Parker – Sochacki قبل از روش سری قدرت انجام می شود تا روش سری قدرت در بسیاری از مشکلات غیرخطی امکان پذیر باشد. یک مشکل ODE را می توان با متغیرهای کمکی که روش سری قدرت را برای یک سیستم بزرگتر معادل ، بی اهمیت می کند ، گسترش داد. گسترش مسئله ODE با متغیرهای کمکی ضرایب یکسانی را تولید می کند (از آنجا که سری توان برای یک تابع منحصر به فرد است) با هزینه محاسبه ضرایب معادلات کمکی. در بسیاری از مواقع ، بدون استفاده از متغیرهای کمکی ، راهی شناخته شده برای دریافت سری قدرت برای حل یک سیستم وجود ندارد ،

روش سری توانی راه حل تنها به مسائل مقدار اولیه (مخالف مسائل مقدار مرزی )، این مسئله در هنگام برخورد با معادلات خطی از راه حل ممکن است به نوبه خود تا چند راه حل مستقل خطی که ممکن است در ترکیب (نه انطباق ) برای حل مشکلات ارزش مرزی نیز هست. محدودیت بیشتر این است که ضرایب سری با یک تکرار غیرخطی مشخص می شوند (غیر خطی ها از معادله دیفرانسیل به ارث می رسند).

برای کارکرد روش حل ، مانند معادلات خطی ، لازم است که هر اصطلاح را در معادله غیرخطی به عنوان یک سری توان بیان کنید تا همه اصطلاحات در یک سری توان ترکیب شوند.

به عنوان مثال ، مسئله مقدار اولیه را در نظر بگیرید

$F F$

که یک راه حل برای جریان مویرگی محور را در یک شیار توصیف می کند. دو غیرخطی وجود دارد: اصطلاحات اول و دوم شامل محصولات است. مقادیر اولیه در $\ eta = 1$ ، که اشاره دارد مجموعه سری باید به صورت زیر تنظیم شود:

$F (\ eta) = \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} c_i (\ eta - 1) ^ i$

از این طریق

$\ frac {d ^ n F} {d \ eta ^ n} \ Bigg | _ {\ eta = 1} = n! \ c_n$

که ارزیابی مقادیر اولیه را بسیار آسان می کند. لازم است با توجه به تعریف سری قدرت ، معادله را کمی بازنویسی کنید ،

$F F '' + 2 F '^ 2 + (\ eta - 1) F' + F '= 0 \ quad؛ \ quad F (1) = 0 \ ، \ F '(1) = - \ frac {1} {2}$

به طوری که اصطلاح سوم حاوی همان شکل است $\ eta - 1$ که در مجموعه های قدرت نشان داده می شود.

آخرین ملاحظه این است که با محصولات چه کنیم؟ جایگزینی سری های قدرت در صورت تولید سری های قدرت ، درصورت ضرورت وجود هر اصطلاح ، مجموعه قدرت خود ، منجر می شود. این جایی است که محصول کوشی

$\ چپ (\ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} a_i x ^ i \ right) \ چپ (\ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} b_i x ^ i \ right) = \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} x ^ i \ sum_ {j = 0} ^ i a_ {i - j} b_j$

مفید است؛ جایگزینی سری توان در معادله دیفرانسیل و استفاده از این هویت منجر به معادله ای می شود که هر اصطلاح یک سری توان است. پس از بازآرایی زیاد ، عود مجدد

$\ sum_ {j = 0} ^ i \ left ((j + 1) (j + 2) c_ {i - j} c_ {j + 2} + 2 (i - j + 1) (j + 1) c_ { i - j + 1} c_ {j + 1} \ right) + i c_i + (i + 1) c_ {i + 1} = 0$

با تعیین مقادیر دقیق ضرایب سری بدست می آید. از مقادیر اولیه ، $c_ {0} = 0$ و $c_1 = -1/2$ ، پس از آن از عود فوق استفاده می شود. به عنوان مثال ، چند ضریب بعدی:

$c_2 = - \ frac {1} {6} \ quad؛ \ quad c_3 = - \ frac {1} {108} \ quad؛ \ quad c_4 = \ frac {7} {3240} \ quad؛ \ quad c_5 = - \ frac {19} {48600} \ \ نقطه$

محدودیتی از راه حل سری قدرت در این مثال خود را نشان می دهد. یک حل عددی از مسئله نشان می دهد که عملکرد صاف است و همیشه در سمت چپ سمت چپ کاهش می یابد $\ eta = 1$ ، و صفر به راست. در $\ eta = 1$ ، یک ناپیوستگی شیب وجود دارد ، یک ویژگی که سری قدرتقادر به ارائه آن نیست ، به همین دلیل راه حل سری به سمت راست از $\ eta = 1$ به جای اینکه ناگهان صفر شود

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series_solution_of_differential_equations

حل سری معادلات دیفرانسیل

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و چهارم تیر ۱۴۰۰ | 21:36

معادلات دیفرانسیل
معادلات دیفرانسیل Navier – Stokes برای شبیه سازی جریان هوا در اطراف انسداد استفاده می شود
نشان دادن محدوده
طبقه بندی
نشان دادن انواع
نشان دادن ارتباط با فرآیندها
راه حل
نشان دادن وجود و منحصر به فرد بودن
نشان دادن مباحث عمومی
نشان دادن روش های راه حل
نشان دادن مردم
v تی ه

در ریاضیات ، از روش سری قدرت برای جستجوی راه حل سری قدرت برای معادلات دیفرانسیل خاص استفاده می شود . به طور کلی ، چنین محلولی یک سری توان با ضرایب ناشناخته فرض می کند ، سپس آن محلول را در معادله دیفرانسیل جایگزین می کند تا رابطه عود ضرایب پیدا شود.

فهرست

روش [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم را در نظر بگیرید

$a_2 (z) f '' (z) + a_1 (z) f '(z) + a_0 (z) f (z) = 0. \؛ \!$

فرض 2 غیر صفر برای همه است Z . سپس می توانیم برای بدست آوردن تقسیم کنیم

$f '' + {a_1 (z) \ over a_2 (z)} f '+ {a_0 (z) \ over a_2 (z)} f = 0.$

فرض کنید که 1 / 2 و 0 / 2 هستند توابع تحلیلی .

روش سری قدرت خواستار ساخت یک راه حل سری قدرت است

$f = \ sum_ {k = 0} ^ \ بی اعتبار A_kz ^ k.$

اگر مقدار 2 برای بعضی از z صفر باشد ، روش Frobenius ، نوعی تغییر در این روش ، برای مقابله با اصطلاح " نقاط منفرد " مناسب است. این روش برای معادلات مرتبه بالاتر و همچنین برای سیستم ها به طور مشابه کار می کند.

کاربرد مثال [ ویرایش ]

بیایید به معادله دیفرانسیل هرمیت نگاه کنیم ،

ما می توانیم سعی کنیم یک راه حل سری بسازیم

$f = \ sum_ {k = 0} ^ \ بی اعتبار A_kz ^ k$

${\ displaystyle f '= \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} kA_ {k} z ^ {k-1}}$

${\ displaystyle f '' = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} k (k-1) A_ {k} z ^ {k-2}}$

اینها را در معادله دیفرانسیل جایگزین کنید

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} & \ sum _ {k = 2} ^ {\ ناکافی} k (k-1) A_ {k} z ^ {k-2} -2z \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} kA_ {k} z ^ {k-1} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k} = 0 \\ = & \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} k (k-1) A_ {k} z ^ {k-2} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} 2kA_ {k} z ^ {k} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k} \ end {تراز شده}}}$

تغییر در اولین مبلغ

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ ناکافی} (k + 2) (k + 1) A_ {k + 2} z ^ {k} - \ sum _ { k = 1} ^ {\ infty} 2kA_ {k} z ^ {k} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k} \\ & = 2A_ {2} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (k + 2) (k + 1) A_ {k + 2} z ^ {k} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} 2kA_ { k} z ^ {k} + A_ {0} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k} \\ & = 2A_ {2} + A_ {0} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ((k + 2) (k + 1) A_ {k + 2} + (- 2k + 1) A_ {k} \ right) z ^ {k} \ end {تراز شده}}}$

اگر این سری یک راه حل باشد ، تمام این ضرایب باید صفر باشند ، بنابراین هم برای k = 0 و هم برای k > 0:

$(k + 2) (k + 1) A_ {k + 2} + (- 2k + 1) A_k = 0 \؛ \!$

برای بدست آوردن رابطه بازگشتی برای A k +2 می توانیم این ترتیب را مرتب کنیم .

$(k + 2) (k + 1) A_ {k + 2} = - (- - 2k + 1) A_k \؛ \!$

$A_ {k + 2} = {(2k-1) \ over (k + 2) (k + 1)} A_k \؛ \!$

اکنون ، ما داریم

$A_2 = {-1 \ over (2) (1)} A_0 = {- 1 \ over 2} A_0، \، A_3 = {1 \ over (3) (2)} A_1 = {1 \ over 6} A_1$

اگر شرایط اولیه وجود داشته باشد ، می توانیم A 0 و A 1 را تعیین کنیم ، یعنی اگر یک مقدار مقدار اولیه داشته باشیم .

بنابراین ما داریم

$\ start {align} A_4 & = {1 \ over 4} A_2 = \ left ({1 \ over 4} \ right) \ left ({- 1 \ over 2} \ right) A_0 = {-1 \ over 8} A_0 \\ [8pt] A_5 & = {1 \ بیش از 4} A_3 = \ چپ ({1 \ بیش از 4} \ راست) \ چپ ({1 \ بیش از 6} \ راست) A_1 = {1 \ بیش از 24} A_1 \\ [8pt] A_6 & = {7 \ بیش از 30} A_4 = \ چپ ({7 \ بیش از 30} \ راست) \ چپ ({- 1 \ بیش از 8} \ راست) A_0 = {-7 \ بیش از 240} A_0 \\ [8pt] A_7 & = {3 \ بیش از 14} A_5 = \ چپ ({3 \ بیش از 14} \ راست) \ چپ ({1 \ بیش از 24} \ راست) A_1 = {1 \ بیش از 112} A_1 \ end {align}$

و راه حل سری

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} f & = A_ {0} z ^ {0} + A_ {1} z ^ {1} + A_ {2} z ^ {2} + A_ {3} z ^ {3} + A_ {4} z ^ {4} + A_ {5} z ^ {5} + A_ {6} z ^ {6} + A_ {7} z ^ {7} + \ cdots \\ [8pt] & = A_ {0} z ^ {0} + A_ {1} z ^ {1} + {- 1 \ over 2} A_ {0} z ^ {2} + {1 \ over 6} A_ {1} z ^ { 3} + {- 1 \ بیش از 8} A_ {0} z ^ {4} + {1 \ بیش از 24} A_ {1} z ^ {5} + {- 7 \ بیش از 240} A_ {0} z ^ { 6} + {1 \ بیش از 112} A_ {1} z ^ {7} + \ cdots \\ [8pt] & = A_ {0} z ^ {0} + {- 1 \ over 2} A_ {0} z ^ {2} + {- 1 \ بیش از 8} A_ {0} z ^ {4} + {- 7 \ بیش از 240} A_ {0} z ^ {6} + A_ {1} z + {1 \ بیش از 6} A_ {1} z ^ {3} + {1 \ over 24} A_ {1} z ^ {5} + {1 \ over 112} A_ {1} z ^ {7} + \ cdots \ end {تراز شده}} }$

که می توانیم آن را به مجموع دو راه حل سری مستقل خطی تقسیم کنیم:

${\ displaystyle f = A_ {0} \ left (1 + {- 1 \ over 2} z ^ {2} + {- 1 \ over 8} z ^ {4} + {- 7 \ over 240} z ^ { 6} + \ cdots \ right) + A_ {1} \ left (z + {1 \ over 6} z ^ {3} + {1 \ over 24} z ^ {5} + {1 \ over 112} z ^ { 7} + \ cdots \ right)}$

که با استفاده از سری های فوق هندسی می تواند بیشتر ساده شود .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series_solution_of_differential_equations

3x^2y "-Xy '+ (X^2 + 1) Y = 0.

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و چهارم تیر ۱۴۰۰ | 11:41

سوال : نقطه X = 0 یک نقطه منفرد منظم از معادله دیفرانسیل داده شده است.

با استفاده از سری توانی معادله 2xy"+y'+2y=0 را حل کنید

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و چهارم تیر ۱۴۰۰ | 11:30

Using power series methods, the solution of 2xy" + y' | Chegg.com

با استفاده از سری توانی معادله دیفرانسیل داده شده در مورد نقطه معمولی X = 0 حل کنید.y"-3xy'+y=0

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و چهارم تیر ۱۴۰۰ | 11:24

دو راه حل سری تغذیه متفاوت پیدا کنید

تست درباره معادله دیفرانسیل

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و چهارم تیر ۱۴۰۰ | 11:12

Using the Frobenius method, find a basis of soluti

فرض کنید y ′ = α y دارای یک سری حل توان است و ضریب a n را تعیین کنید

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و چهارم تیر ۱۴۰۰ | 6:57

توسط RoRi

24 آوریل 2016

فرض کنید معادله دیفرانسیل است

$\ [y '= \ alpha y \]$

یک راه حل سری قدرت دارد $y = \ sum a_n x ^ n$ و فرمولی برای ضریب پیدا می کند .

اول ، ما داریم

$\ [y = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n \ quad \ حاوی \ quad y '= \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n a_n x ^ {n-1} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) a_ {n + 1} x ^ n. \]$

بنابراین ، ما داریم

$\ start {align *} && y '& = \ alpha y \\ [9pt] \ دلالت بر && \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) a_ {n + 1} x ^ n & = \ alpha \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n. \ end {align *}$

با تساوی مانند قدرتهای ما رابطه بازگشتی بدست می آوریم

$\ [a_ {n + 1} = \ frac {\ alpha \ cdot a_n} {n + 1} ، \ qquad a_0 = 1. \]$

با استقرا ، پس داریم

$\ [a_n = \ frac {\ alpha} {n!} \]$

از این رو،

$\ [y = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha} {n!} x ^ n. \]$

منبع

https://www.stumblingrobot.com/2016/04/24/assume-y-y-power-series-solution-determine-coefficient/

فرض کنید y ′ ′ = xy یک راه حل سری توان دارد و ضریب a n را تعیین کنید

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و چهارم تیر ۱۴۰۰ | 6:55

توسط RoRi

24 آوریل 2016

فرض کنید معادله دیفرانسیل است

$\ [y ”= xy \]$

یک راه حل سری قدرت دارد $y = \ sum a_n x ^ n$ و فرمولی برای ضریب پیدا می کند .

اول ، ما داریم

$\ start {align *} && y & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n \\ [9pt] \ implies && y '& = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n a_n x ^ {n-1} \\ [9pt] \ دلالت بر && y '' & = \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} n (n-1) a_n x ^ {n-2} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} x ^ n. \ end {align *}$

بنابراین ، ما داریم

$\ start {align *} && y '' & = xy \\ [9pt] \ دلالت بر && \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} x ^ n & = x \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n \\ [9pt] \ دلالت بر && \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 2) (n + 1 ) a_ {n + 2} x ^ n & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ {n + 1} \\ [9pt] \ دلالت بر && 2a_2 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} x ^ n & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ {n + 1} \\ [9pt] \ دلالت بر && 2a_2 + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 3) (n + 2) a_ {n + 3} x ^ {n + 1} & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ {n + 1}. \ end {align *}$

مثل قدرت های یکسان ، ما یک رابطه بازگشتی برای زمانی داریم که توسط آنها داده می شود

$\ [a_ {n + 3} = \ frac {a_n} {(n + 3) (n + 2)} ، \]$

بعلاوه ، ما این و آن را داریم و به ترتیب ثابت می شوند ، و به ترتیب. سپس با استقرا تثبیت می کنیم

$\ start {align *} a_ {3n} & = \ frac {a_0} {(2 \ cdot 3) (5 \ cdot 6) \ cdots ((3n-1) \ cdot (3n))} \\ [9pt] a_ {3n + 1} & = \ frac {a_1} {(3 \ cdot 4) (6 \ cdot 7) \ cdots ((3n) \ cdot (3n + 1))} \\ [9pt] a_ {3n + 2} & = 0. \ end {align *}$

از این رو،

$\ [y = c_0 \ left (1 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {3n}} {(2 \ cdot 3) (5 \ cdot 6) \ cdots ((3n- 1) \ cdot (3n))} \ right) + c_1 \ left (x + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {3n + 1}} {(3 \ cdot 4) ( 6 \ cdot 7) \ cdots ((3n) \ cdot (3n + 1))}} درست). \]$

https://www.stumblingrobot.com/2016/04/24/assume-y-xy-power-series-solution-determine-coefficient/

فرض کنید y ′ ′ + xy ′ + y = 0 دارای یک راه حل سری قدرت است و ضریب a n را تعیین کنید

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و چهارم تیر ۱۴۰۰ | 6:52

فرض کنید معادله دیفرانسیل است

$\ [y ”$

یک راه حل سری قدرت دارد $y = \ sum a_n x ^ n$ و فرمولی برای ضریب پیدا می کند .

اول ، ما داریم

$\ start {align *} && y & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n \\ [9pt] \ implies && y '& = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n a_n x ^ {n-1} \\ [9pt] \ حاوی && y '' & = \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} n (n-1) a_n x ^ {n-2}. \ end {align *}$

بنابراین ، از معادله دیفرانسیل داده شده که داریم

$\ start {align *} && y '' + xy '+ y & = 0 \\ [9pt] \ implies && \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} n (n-1) a_n x ^ {n- 2} + x \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n a_n x ^ {n-1} + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n & = 0 \\ [9pt] \ دلالت بر && \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} x ^ n + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n a_n x ^ n + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n & = 0 \\ [9pt] \ implies && 2a_2 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (n + 2) ( n + 1) a_ {n + 2} x ^ n + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} na_n x ^ n + a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_n x ^ n & = 0 \\ [9pt] \ دلالت بر && 2a_2 + a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} ((n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + na_n + a_n) x ^ n & = 0 \\ [9pt] \ دلالت بر && 2a_2 + a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} ((n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + (n + 1 ) a_n) x ^ n & = 0. \ end {align *}$

از آنجا که هر ضریب باید برابر 0 باشد تا این معادله داشته باشد

$\ start {align *} 2a_2 + a_0 & = 0 \\ [9pt] (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + (n + 1) a_n & = 0 & \ دلالت بر && a_ {n +2} = \ frac {-1} {n + 2} a_n. \ end {align *}$

با استقرا پس داریم

$\ start {align *} a_ {2n} & = \ frac {(- 1) ^ n} {2 \ cdot 4 \ cdot \ cdots \ cdot (2n)} \\ [9pt] a_ {2n + 1} & = \ frac {(- 1) ^ {n + 1}} {1 \ cdot 3 \ cdot \ cdots \ cdot (2n-1)}. \ end {align *}$

ضرایب و خودسرانه هستند و ما آنها معنی شده توسط و به ترتیب. پس ما داریم

$\ [y = c_0 \ left (\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n}} {2 \ cdot 4 \ cdots (2n)} \ right) + c_1 \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {n + 1} x ^ {2n-1}} {1 \ cdot 3 \ cdots (2n-1)}. \]$

https://www.stumblingrobot.com/2016/04/24/assume-y-xy-y-0-power-series-solution-determine-coefficient/

تستی در باره حل معادله دیفرانسل با راه حل سری

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و چهارم تیر ۱۴۰۰ | 6:42

To find the power series solution y(x) = | Chegg.com

راه حل سری توانی را در توان X پیدا کنید.

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و چهارم تیر ۱۴۰۰ | 6:38

xy "+ y '+ xy = 0 ، x 0 = 1

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و چهارم تیر ۱۴۰۰ | 6:35

با توجه به معادله دیفرانسیل:

xy "+ y '+ xy = 0 ، x 0 = 1

پیدا کنید:

راه حل های سری توانی را برای معادله دیفرانسیل داده شده در نقطه x 0 جستجو کنید . رابطه بازگشتی ان را پیدا کنید
چهار جمله اول را در هر دو راه حل y 1 و y 2 پیدا کنید (مگر اینکه سری زودتر خاتمه یابد)
با ارزیابی Wronskian ، W (y 1 ، y 2 ) (x 0 ) ، نشان دهید که y 1 و y 2 یک مجموعه اساسی از راه حل ها را تشکیل می دهد
در صورت امکان ، جواب عمومی پیدا را کنید

مطالب قدیمی تر

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030