فرض کنید y ′ ′ = xy یک راه حل سری توان دارد و ضریب a n را تعیین کنید

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و چهارم تیر ۱۴۰۰ | 6:55

توسط RoRi

24 آوریل 2016

فرض کنید معادله دیفرانسیل است

$\ [y ”= xy \]$

یک راه حل سری قدرت دارد $y = \ sum a_n x ^ n$ و فرمولی برای ضریب پیدا می کند .

اول ، ما داریم

$\ start {align *} && y & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n \\ [9pt] \ implies && y '& = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n a_n x ^ {n-1} \\ [9pt] \ دلالت بر && y '' & = \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} n (n-1) a_n x ^ {n-2} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} x ^ n. \ end {align *}$

بنابراین ، ما داریم

$\ start {align *} && y '' & = xy \\ [9pt] \ دلالت بر && \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} x ^ n & = x \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n \\ [9pt] \ دلالت بر && \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 2) (n + 1 ) a_ {n + 2} x ^ n & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ {n + 1} \\ [9pt] \ دلالت بر && 2a_2 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} x ^ n & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ {n + 1} \\ [9pt] \ دلالت بر && 2a_2 + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 3) (n + 2) a_ {n + 3} x ^ {n + 1} & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ {n + 1}. \ end {align *}$

مثل قدرت های یکسان ، ما یک رابطه بازگشتی برای زمانی داریم که توسط آنها داده می شود

$\ [a_ {n + 3} = \ frac {a_n} {(n + 3) (n + 2)} ، \]$

بعلاوه ، ما این و آن را داریم و به ترتیب ثابت می شوند ، و به ترتیب. سپس با استقرا تثبیت می کنیم

$\ start {align *} a_ {3n} & = \ frac {a_0} {(2 \ cdot 3) (5 \ cdot 6) \ cdots ((3n-1) \ cdot (3n))} \\ [9pt] a_ {3n + 1} & = \ frac {a_1} {(3 \ cdot 4) (6 \ cdot 7) \ cdots ((3n) \ cdot (3n + 1))} \\ [9pt] a_ {3n + 2} & = 0. \ end {align *}$

از این رو،

$\ [y = c_0 \ left (1 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {3n}} {(2 \ cdot 3) (5 \ cdot 6) \ cdots ((3n- 1) \ cdot (3n))} \ right) + c_1 \ left (x + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {3n + 1}} {(3 \ cdot 4) ( 6 \ cdot 7) \ cdots ((3n) \ cdot (3n + 1))}} درست). \]$

https://www.stumblingrobot.com/2016/04/24/assume-y-xy-power-series-solution-determine-coefficient/

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی