ریاضیات

نمادی از مجموعه ای از اعداد واقعی

در ریاضیات ، یک عدد واقعی مقدار یک مقدار پیوسته است که می تواند فاصله در طول یک خط را نشان دهد . صفت واقعی در این زمینه در قرن 17 توسط معرفی شد رنه دکارت ، که بین واقعی و متمایز خیالی ریشه از چند جمله ای . اعداد واقعی شامل تمام اعداد عقلانی مانند عدد صحیح -5 و کسری 4/3 و تمام اعداد غیر منطقیمانند √ 2 (1.41421356 ...، ریشه مربع از 2 ، غیر منطقیشماره جبری ) در داخل irrationals شامل عدد متعالی است ، مانند π (3.14159265 ...). علاوه بر اندازه گیری فاصله، می توان از اعداد واقعی برای اندازه گیری مقادیر مانند زمان ، جرم ، انرژی ، سرعت و بسیاری دیگر استفاده کرد.

اعداد واقعی را می توان به عنوان نقاط در خط بی نهایت طولانی به نام خط شماره یا خط واقع ، که در آن نقاط مربوط به عدد صحیح به طور مساوی فاصله هستند. هر عدد واقعی را می توان با یک نمایش دهی احتمالا بی نهایت ، از جمله 8.632، که در آن هر رقم متوالی در واحد یک دهم اندازه از یک قبلی است، تعیین می شود. خط واقعی می توان به عنوان بخشی از فکر صفحه مختلط ، و اعداد مختلط اعداد حقیقی.

اعداد واقعی را می توان به عنوان نقاط در یک خط بی نهایت طولانی فکر می شود

این توصیف از اعداد واقعی به واسطه استانداردهای مدرن ریاضیات خالص به اندازه کافی سخت نیست. کشف یک تعریف دقیق دقیق از اعداد واقعی - در واقع، درک که تعریف بهتر لازم بود - یکی از مهمترین تحولات ریاضیات قرن نوزدهم بود. تعریف استاندارد فعلی بدیهی است که اعداد حقیقی شکل منحصر به فرد ددکیند کامل دستور داده ( R  +؛ · <)، تا ریخت ، [A] در حالی که تعاریف سازنده محبوب از اعداد حقیقی آنها را اعلام عنوان کلاسهای هم ارزی از کوشی توالی اعداد منطقی، کاهش Dedekind، و یا تفسیر نامتقارن بی نهایت ، همراه با تفسیر دقیق برای عملیات حساب جاری و رابطه مرتبه. همه این تعاریف، تعاریف اصلی را برآورده می کنند و معادل آن هستند.

مجموعه ای از تمام اعداد حقیقی است غیر قابل شمارش . این است: در حالی که هر دو مجموعه ای از تمام اعداد طبیعی و مجموعه ای از تمام اعداد واقعی مجموعه های بی نهایت است ، هیچ یک از یک تابع از اعداد واقعی به اعداد طبیعی وجود ندارد: توانایی مجموعه ای از تمام اعداد واقعی (نشان داده شده استو نامتقارن پیوستگی نامیده می شود ) به شدت بیشتر از توانمندی مجموعه ای از تمام اعداد طبیعی است (نشان داده شده است d 'aleph-naught' ) بیانیه ای که هیچ زیرمجموعه ای از واقعیت ها با قوام قریب به اتفاق بسیار بزرگتر از آن وجود ندارد و به شدت کوچکتر از به عنوان فرضیه پیوسته (CH) شناخته شده است. شناخته شده است که نه قابل اثبات و نه قابل انکار با استفاده از عبارات نظریه مجموعه Zermelo-Fraenkel شامل اصل محرک (ZFC)، پایه و اساس استاندارد از ریاضیات مدرن، به این معنی که برخی از مدل های ZFC CH را برآورده، در حالی که دیگران آن را نقض می کند.