تکانه و گشتاور زاویه ای [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: گشتاور § تعریف و رابطه با تکانه زاویه ای

قانون دوم حرکت نیوتن را می توان به صورت ریاضی بیان کرد،

{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a}،}

یا نیرو = جرم × شتاب . معادل چرخشی برای ذرات نقطه ای ممکن است به صورت زیر بدست آید:

{\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}}

به این معنی که گشتاور (یعنی مشتق زمانی تکانه زاویه ای) است

{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {dI}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}+I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}} .}

زیرا ممان اینرسی است آقای ^{2}، نتیجه می شود که

{\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=2mr{\frac {dr}{dt}}=2rp_{||}}،

و

،{\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }}،}

که کاهش می یابد به

{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }}.}

این آنالوگ چرخشی قانون دوم نیوتن است. توجه داشته باشید که گشتاور لزوماً متناسب یا موازی با شتاب زاویه ای نیست (آنطور که می توان انتظار داشت). دلیل این امر این است که لحظه اینرسی یک ذره می تواند با زمان تغییر کند، چیزی که برای جرم معمولی نمی تواند رخ دهد.

حفظ تکانه زاویه ای [ ویرایش ]

یک اسکیت باز در یک چرخش از حفظ تکانه زاویه ای استفاده می کند - کاهش ممان اینرسی او با کشیدن دست ها و پاهایش باعث افزایش سرعت چرخش او می شود .

ملاحظات کلی [ ویرایش ]

یک آنالوگ چرخشی قانون سوم حرکت نیوتن ممکن است نوشته شود: "در یک سیستم بسته ، هیچ گشتاوری را نمی توان بر روی هیچ ماده ای اعمال کرد، بدون اینکه روی ماده دیگری با گشتاوری برابر و مخالف حول همان محور اعمال شود." [20] از این رو، تکانه زاویه ای را می توان بین اجسام در یک سیستم بسته رد و بدل کرد، اما تکانه زاویه ای کل قبل و بعد از تبادل ثابت می ماند (حفظ می شود). [21]

با نگاهی دیگر، می‌توان مشابه چرخشی قانون اول حرکت نیوتن را نوشت: «یک جسم صلب در حالت چرخش یکنواخت ادامه می‌یابد مگر اینکه تحت تأثیر خارجی قرار گیرد». [20] بنابراین بدون هیچ تأثیر خارجی که بر روی آن اثر بگذارد، تکانه زاویه ای اصلی سیستم ثابت می ماند . [22]

از پایستگی تکانه زاویه ای در تحلیل حرکت نیروی مرکزی استفاده می شود . اگر نیروی خالص وارد بر جسمی همیشه به سمت نقطه‌ای یعنی مرکز هدایت شود ، هیچ گشتاوری نسبت به مرکز روی بدن وجود نخواهد داشت، زیرا تمام نیرو در امتداد بردار شعاع هدایت می‌شود و هیچکدام عمود بر شعاع نیست. . از نظر ریاضی، گشتاور،{\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {0}زیرا در این مورد\mathbf {r}و\mathbf {F}بردارهای موازی هستند. بنابراین، تکانه زاویه ای بدن نسبت به مرکز ثابت است. این مورد در مورد جاذبه گرانشی در مدار سیارات و ماهواره‌ها است، که در آن نیروی گرانشی همیشه به سمت جسم اولیه هدایت می‌شود و اجسام در حال چرخش حرکت زاویه‌ای خود را با تبادل فاصله و سرعت در حین حرکت در اطراف جسم اولیه حفظ می‌کنند . حرکت نیروی مرکزی نیز در تحلیل مدل بور اتم استفاده می شود .

برای یک سیاره، تکانه زاویه ای بین چرخش سیاره و چرخش آن در مدارش توزیع می شود و اینها اغلب با مکانیسم های مختلفی مبادله می شوند. حفظ تکانه زاویه ای در سیستم زمین-ماه منجر به انتقال تکانه زاویه ای از زمین به ماه، به دلیل گشتاور جزر و مدی که ماه بر روی زمین اعمال می کند، می شود. این به نوبه خود منجر به کاهش سرعت چرخش زمین، در حدود 65.7 نانوثانیه در روز، [23] و افزایش تدریجی شعاع مدار ماه، در حدود 3.82 سانتی متر در سال می شود. [24]

گشتاور ناشی از دو نیروی متضاد F g و -F g باعث تغییر در تکانه زاویه ای L در جهت آن گشتاور می شود (زیرا گشتاور مشتق زمانی تکانه زاویه ای است) . این باعث می‌شود که قسمت بالایی به جلو برود .

حفظ تکانه زاویه ای شتاب زاویه ای یک اسکیت باز روی یخ را توضیح می دهد که آنها دست ها و پاهای خود را به محور عمودی چرخش نزدیک می کنند. آنها با نزدیک کردن بخشی از جرم بدن خود به محور، ممان اینرسی بدن خود را کاهش می دهند. از آنجایی که تکانه زاویه ای حاصل ضرب ممان اینرسی و سرعت زاویه ای است ، اگر تکانه زاویه ای ثابت بماند (حفظ شود)، سرعت زاویه ای (سرعت چرخش) اسکیت باز باید افزایش یابد.

همین پدیده منجر به چرخش بسیار سریع ستارگان فشرده (مانند کوتوله‌های سفید ، ستاره‌های نوترونی و سیاه‌چاله‌ها ) می‌شود که از ستاره‌های بسیار بزرگ‌تر و کندتر در حال چرخش تشکیل می‌شوند.

حفاظت همیشه توضیح کاملی برای پویایی یک سیستم نیست، اما یک محدودیت کلیدی است. به عنوان مثال، یک فرفره در معرض گشتاور گرانشی است که آن را به سمت بالا خم می کند و تکانه زاویه ای را در مورد محور مهره تغییر می دهد، اما با غفلت از اصطکاک در نقطه تماس چرخشی، یک تکانه زاویه ای حفظ شده در مورد محور چرخش خود دارد و دیگری در مورد آن. محور تقدم همچنین، در هر منظومه سیاره‌ای ، سیارات، ستاره‌ها، دنباله‌دارها و سیارک‌ها همگی می‌توانند به روش‌های پیچیده متعددی حرکت کنند، اما فقط به گونه‌ای که تکانه زاویه‌ای منظومه حفظ شود.

قضیه نوتر بیان می‌کند که هر قانون بقای با تقارن (غیر متغیر) فیزیک زیربنایی مرتبط است . تقارن مرتبط با بقای تکانه زاویه ای، تغییر ناپذیری چرخشی است . این واقعیت که اگر یک سیستم با هر زاویه ای حول یک محور بچرخد، فیزیک بدون تغییر است، به این معنی است که تکانه زاویه ای حفظ شده است. [25]

رابطه با قانون دوم حرکت نیوتن [ ویرایش ]

در حالی که بقای کلی تکانه زاویه ای را می توان جدا از قوانین حرکت نیوتن به عنوان ناشی از قضیه نوتر در سیستم های متقارن تحت چرخش درک کرد، همچنین می توان آن را به سادگی به عنوان روشی کارآمد برای محاسبه نتایج درک کرد که در غیر این صورت می توان مستقیماً از دوم نیوتن به آن دست یافت. قانون، همراه با قوانین حاکم بر نیروهای طبیعت (مانند قانون سوم نیوتن، معادلات ماکسول و نیروی لورنتس ). در واقع، با توجه به شرایط اولیه موقعیت و سرعت برای هر نقطه، و نیروهای موجود در چنین شرایطی، می توان از قانون دوم نیوتن برای محاسبه مشتق دوم موقعیت استفاده کرد و حل آن اطلاعات کاملی را در مورد توسعه سیستم فیزیکی به همراه دارد. زمان.[26] اما توجه داشته باشید که این دیگر در مکانیک کوانتومی صادق نیست، به دلیل وجود اسپین ذره ، که تکانه زاویه‌ای است که نمی‌توان آن را با اثر تجمعی حرکات نقطه‌مانند در فضا توصیف کرد.

به عنوان مثال، کاهش ممان اینرسی را در نظر بگیرید ، به عنوان مثال زمانی که یک اسکیت باز در حال کشیدن دست های خود است و حرکت دایره ای را تسریع می کند. از نظر پایستگی تکانه زاویه ای، برای تکانه زاویه ای L ، گشتاور اینرسی I و سرعت زاویه ای ω داریم :

{\displaystyle 0=dL=d(I\cdot \omega )=dI\cdot \omega +I\cdot d\omega }

با استفاده از این، می بینیم که تغییر به انرژی زیر نیاز دارد:

{\displaystyle dE=d\left({\tfrac {1}{2}}I\cdot \omega ^{2}\right)={\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2 }+I\cdot \omega \cdot d\omega =-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}

به طوری که کاهش ممان اینرسی مستلزم سرمایه گذاری انرژی است.

این را می توان با کار انجام شده با استفاده از قوانین نیوتن مقایسه کرد. هر نقطه در بدنه چرخان در هر نقطه از زمان با شتاب شعاعی از:

{\displaystyle -r\cdot \omega ^{2}}

اجازه دهید نقطه ای به جرم m را مشاهده کنیم که بردار موقعیت آن نسبت به مرکز حرکت عمود بر محور z در یک نقطه زمانی معین و در فاصله z قرار دارد . نیروی مرکز در این نقطه، با حفظ حرکت دایره ای، عبارت است از:

{\displaystyle -m\cdot z\cdot \omega ^{2}}

بنابراین کار مورد نیاز برای حرکت این نقطه به فاصله dz دورتر از مرکز حرکت است:

{\displaystyle dW=-m\cdot z\cdot \omega ^{2}\cdot dz=-m\cdot \omega ^{2}\cdot d\left({\tfrac {1}{2}}z^ {2}\راست)}

برای یک جسم غیرنقطه مانند باید روی آن انتگرال شود و m با چگالی جرم در واحد z جایگزین شود . این می دهد:

{\displaystyle dW=-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}

که دقیقاً انرژی مورد نیاز برای حفظ تکانه زاویه ای است.

توجه داشته باشید که محاسبه فوق را می توان در هر جرم و فقط با استفاده از سینماتیک انجام داد . بنابراین پدیده شتاب مماس اسکیت باز در حالی که دستان خود را به داخل می کشد، می تواند به زبان عامیانه به شرح زیر درک شود: کف دست های اسکیت باز در یک خط مستقیم حرکت نمی کنند، بنابراین دائماً به سمت داخل شتاب می گیرند، اما سرعت اضافی کسب نمی کنند. زیرا شتاب گیری همیشه زمانی انجام می شود که حرکت آنها به سمت داخل صفر باشد. با این حال، زمانی که کف دست‌ها را به بدن نزدیک می‌کنید، این متفاوت است: شتاب ناشی از چرخش اکنون سرعت را افزایش می‌دهد. اما به دلیل چرخش، افزایش سرعت به معنی سرعت قابل توجهی به داخل نیست، بلکه به افزایش سرعت چرخش منجر می شود.

در فرمالیسم لاگرانژی [ ویرایش ]

در مکانیک لاگرانژی ، تکانه زاویه ای برای چرخش حول یک محور معین، تکانه مزدوج مختصات تعمیم یافته زاویه حول همان محور است. مثلا،L_{z}، تکانه زاویه ای حول محور z برابر است با:

{\displaystyle L_{z}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}_{z}}}}

جایی که{\displaystyle {\cal {L}}}لاگرانژی است و{\displaystyle \theta _{z}}زاویه حول محور z است.

توجه داشته باشید که{\displaystyle {\dot {\theta }}_{z}}، مشتق زمانی زاویه، سرعت زاویه ای است \omega _{z}. به طور معمول، لاگرانژ به سرعت زاویه ای از طریق انرژی جنبشی بستگی دارد: دومی را می توان با جدا کردن سرعت از قسمت شعاعی و مماس آن نوشت، با قسمت مماسی در صفحه xy، حول محور z، برابر با:

{\displaystyle \sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}{v_{T}}_{i}^{2}=\sum _{i}{\tfrac {1} {2}}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}}

که در آن زیرنویس i مخفف جسم i است و m ، v T و ω z به ترتیب جرم، سرعت مماسی حول محور z و سرعت زاویه‌ای حول آن محور هستند.

برای جسمی که نقطه مانند نیست و چگالی ρ دارد ، در عوض داریم:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \rho (x,y,z)\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\ امگا _{z}}_{i}}^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z} }_{i}}^{2}}

جایی که انتگرال در ناحیه بدنه اجرا می شود، [27] و I z لحظه اینرسی حول محور z است.

بنابراین، با فرض اینکه انرژی پتانسیل به ω z بستگی ندارد (این فرض ممکن است برای سیستم های الکترومغناطیسی شکست بخورد)، ما تکانه زاویه ای جسم i را داریم :

{\displaystyle {\begin{aligned}{L_{z}}_{i}&={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\omega _{z}}_{i }}}}={\frac {\partial E_{k}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}\\&={I_{z}}_{i}\ cdot {\omega _{z}}_{i}\end{aligned}}}

ما تاکنون هر جسم را با یک زاویه جداگانه چرخانده ایم. همچنین ممکن است یک زاویه کلی θ z تعریف کنیم که با آن کل سیستم را می‌چرخانیم، بنابراین هر جسم را حول محور z می‌چرخانیم و تکانه زاویه‌ای کلی را داریم:

{\displaystyle L_{z}=\sum _{i}{I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}

از معادلات اویلر-لاگرانژ چنین می شود که:

{\displaystyle 0={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d}{dt}}\ چپ ({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}}}\right)={\frac {\ جزئی {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}}

از آنجایی که لاگرانژ فقط از طریق پتانسیل به زوایای جسم وابسته است، داریم:

{\displaystyle {\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}} _{i}}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}}

که گشتاور روی جسم i است.

فرض کنید سیستم نسبت به چرخش‌ها تغییرناپذیر است، به طوری که پتانسیل مستقل از یک چرخش کلی در زاویه θ z است (بنابراین ممکن است فقط از طریق تفاوت‌های آنها به زوایای اجسام بستگی داشته باشد.{\displaystyle V({\theta _{z}}_{i},{\theta _{z}}_{j})=V({\theta _{z}}_{i}-{\theta _{z}}_{j})}). بنابراین ما برای تکانه زاویه ای کل به دست می آوریم:

{\displaystyle {\frac {dL_{z}}{dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}}}=0}

و بنابراین تکانه زاویه ای حول محور z حفظ می شود.

این تحلیل را می توان به طور جداگانه برای هر محور تکرار کرد و مکالمه بردار تکانه زاویه ای را ارائه داد. با این حال، زاویه های اطراف سه محور را نمی توان همزمان به عنوان مختصات تعمیم یافته در نظر گرفت، زیرا آنها مستقل نیستند. به طور خاص، دو زاویه در هر نقطه برای تعیین موقعیت آن کافی است. در حالی که درست است که در مورد جسم صلب، توصیف کامل آن، علاوه بر سه درجه آزادی انتقالی ، به تعیین سه درجه آزادی چرخشی نیز نیاز دارد. اما اینها را نمی توان به عنوان چرخش حول محورهای دکارتی تعریف کرد (به زوایای اویلر مراجعه کنید ). این هشدار در مکانیک کوانتومی در روابط کموتاسیون غیر پیش پا افتاده اجزای مختلف منعکس شده است.عملگر حرکت زاویه ای