ریاضیات

اجازه دهید

(1)

جایی که

(2)

بنابراین

(3)

مشتق کل با توجه به سپس است

			(4)
			(5)

از نظر و ، ( 5 ) می شود

			(6)
			(7)

در امتداد محور واقعی یا x- محور ، , بنابراین

(8)

در امتداد محور خیالی یا y - , , so

(9)

اگر مختلط قابل تفکیک باشد ، پس مقدار مشتق باید برای یک معین ، صرف نظر از جهت آن، یکسان باشد. بنابراین، ( 8 ) باید برابر با ( 9 ) باشد که مستلزم آن است 

(10)

و

(11)

این معادلات به عنوان معادلات کوشی-ریمان شناخته می شوند.

آنها منجر به شرایط می شوند

			(12)
			(13)

معادلات کوشی-ریمان را می‌توان به طور خلاصه به این صورت نوشت

			(14)
			(15)
			(16)
			(17)

مزدوج مختلط کجاست .

اگر ، پس معادلات کوشی-ریمان تبدیل می شود

			(18)
			(19)

(آبراموویتز و استگان 1972، ص 17).

اگر معادلات کوشی-ریمان را برآورده کنند، معادله لاپلاس را در دو بعد نیز برآورده می کنند ، زیرا 

(20)

(21)

با انتخاب دلخواه ، راه حل هایی می توان یافت که به طور خودکار معادلات کوشی-ریمان و معادله لاپلاس را برآورده می کنند. این واقعیت برای استفاده از نگاشتهای منسجم برای یافتن راه حل برای مشکلات فیزیکی مربوط به پتانسیل های اسکالر مانند جریان سیال و الکترواستاتیک استفاده می شود.

منبع

https://mathworld.wolfram.com/Cauchy-RiemannEquations.html