حلقه سری توانی صوری

حلقه سری توانی صوری [ ویرایش ]

ساختار جبری ← نظریه حلقه نظریه حلقه

نشان دادن مفاهیم اساسی
نشان دادن جبر جابجایی
نشان دادن جبر غیر جابجایی
v تی ه

اگر مجموعه تمام سری های توان صوری در X را با ضرایب در یک حلقه جابجایی R در نظر بگیریم ، عناصر این مجموعه مجموعا حلقه دیگری را تشکیل می دهند که نوشته می شود. $R[[X]]،$ و حلقه سری توان صوری در متغیر X بر R نامیده می شود .

تعریف حلقه صوری سری توانی [ ویرایش ]

می توان شخصیت پردازی کرد $R[[X]]$ انتزاعی به عنوان تکمیل از چند جمله ای حلقه $R[X]$ مجهز به یک متریک خاص . این به طور خودکار می دهد $R[[X]]$ ساختار یک حلقه توپولوژیکی (و حتی یک فضای متریک کامل). اما ساخت کلی تکمیل یک فضای متریک بیشتر از آنچه در اینجا مورد نیاز است درگیر است و باعث می‌شود سری‌های توانی صوری پیچیده‌تر از آنچه هستند به نظر برسند. امکان توصیف وجود دارد $R[[X]]$ به طور واضح تر، و ساختار حلقه و ساختار توپولوژیکی را به صورت جداگانه تعریف کنید.

ساختار حلقه [ ویرایش ]

به عنوان یک مجموعه، $R[[X]]$ می تواند به عنوان مجموعه $R^{\mathbb {N} }$ ساخته شود از تمام دنباله های نامتناهی از عناصر $آر$ ، با اعداد طبیعی نمایه می شود (که شامل 0 می شود). تعیین دنباله ای که عبارت آن در نمایه است $n$ است $a_{n}$ توسط $(a_{n})$ ، یکی جمع کردن دو دنباله از این قبیل را تعریف می کند

$(a_n)_{n\in\N} + (b_n)_{n\in\N} = \left(a_n + b_n \راست)_{n\in\N}$

و ضرب در

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0 }^{n}a_{k}b_{nk}\right)_{\!n\in \mathbb {N} }.$

این نوع ضرب است به نام ضرب کوشی از دو دنباله ضرایب، و یک نوع گسسته است پیچیدگی . با این عملیات، $R^{\mathbb {N} }$ تبدیل به یک حلقه جابجایی با عنصر صفر می شود $(0,0,0,\ldots )$ و همانی ضربی $(1,0,0,\ldots )$ .

حاصلضرب در واقع همان است که برای تعریف حاصل ضرب چند جمله ای ها در یک نامتعین استفاده می شود، که نشان دهنده استفاده از نماد مشابه است. یکی تعبیه می کند $آر$ به $R[[X]]$ با ارسال هر (ثابت) $یک \ در R$ به دنباله $(a,0,0,\ldots )$ و دنباله را مشخص می کند $(0,1,0,0,\ldots )$ توسط $ایکس$ ; سپس با استفاده از تعاریف فوق، هر دنباله ای را که فقط تعداد نامحدودی از جمله های غیر صفر داشته باشد را می توان بر حسب این عناصر خاص بیان کرد.

$(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n, 0, 0, \ldots) = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n = \sum_{i=0}^n a_i X^i;$

اینها دقیقاً چند جمله ای های موجود در آن هستند $ایکس$ . با توجه به این، تعیین یک دنباله کلی کاملاً طبیعی و راحت است $(a_n)_{n\in\N}$ با بیان صوری $\textstyle\sum_{i\in\N}a_i X^i$ ، حتی اگر دومی است یک عبارت تشکیل شده توسط عملیات جمع و ضرب در بالا تعریف شده (که از آن تنها مبالغ محدود می تواند ساخته شود). این قرارداد نمادی اجازه می دهد تا تعاریف فوق را مجدداً فرمول بندی کنید

$\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{ i}X^{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }(a_{i}+b_{i})X^{i}$

$\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_ {i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{nk}\right )X^{n}.$

که بسیار راحت است، اما باید از تمایز بین جمع صوری (یک قرارداد صرف) و جمع واقعی آگاه بود.

ساختار توپولوژیکی [ ویرایش ]

به طور متعارف تصریح کرد که

$(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i} ،$

( 1 )

کسی دوست دارد سمت راست را به عنوان یک جمع نامتناهی کاملاً تعریف شده تفسیر کند. برای این منظور، مفهوم همگرایی در $R^{\mathbb {N} }$ تعریف شده است و یک توپولوژی در $R^{\mathbb {N} }$ ساخته شده است. چندین روش معادل برای تعریف توپولوژی مورد نظر وجود دارد.

ممکن است بدهیم $R^{\mathbb {N} }$ توپولوژی ضرب ، که در آن هر کپی از $آر$ توپولوژی گسسته داده می شود .
ممکن است بدهیم $R^{\mathbb {N} }$ توپولوژی I-adic به ، که در آن $I=(X)$ ایده آل تولید شده توسط $ایکس$ ، که شامل تمام دنباله هایی است که جمله اول آنها $a_{0}$ صفر است.
توپولوژی مورد نظر را نیز می توان از متریک زیر بدست آورد . فاصله بین دنباله های متمایز $(a_{n}),(b_{n})\in R^{\mathbb {N}},$ تعریف شده است $d((a_{n})،(b_{n}))=2^{-k}،$ جایی که $ک$ کوچکترین عدد طبیعی است به طوری که $a_{k}\neq b_{k}$ ; البته فاصله بین دو دنباله مساوی صفر است.

به طور غیرصوری، دو سکانس $(a_{n})$ و $(b_{n})$ نزدیک تر و نزدیک تر می شوند اگر و تنها در صورتی که بیشتر و بیشتر شرایط آنها دقیقاً مطابقت داشته باشد. به طور صوری، دنباله ای از مجموع جزئی از جمع بی نهایت همگرا می شود اگر برای هر توان ثابت از $ایکس$ ضریب تثبیت می شود: نقطه ای وجود دارد که فراتر از آن همه مجموع جزئی دیگر ضریب یکسانی دارند. این به وضوح برای سمت راست ( 1 )، صرف نظر از مقادیر، صادق است $a_{n}$ ، از زمان گنجاندن اصطلاح برای $i=n$ آخرین (و در واقع تنها) تغییر را به ضریب می دهد $X^{n}$ . همچنین بدیهی است که حد دنباله مجموع جزئی برابر با سمت چپ است.

این ساختار توپولوژیکی، همراه با عملیات حلقه ای که در بالا توضیح داده شد، یک حلقه توپولوژیکی را تشکیل می دهد. به این حلقه از سری توانی صوری می گویند $آر$ و با نشان داده می شود $R[[X]]$ . توپولوژی این ویژگی مفید را دارد که یک جمع بی نهایت همگرا می شود اگر و فقط اگر دنباله عبارت های آن به 0 همگرا شود، که فقط به این معنی است که هر توان ثابتی از $ایکس$ فقط در تعداد بسیار محدودی رخ می دهد.

ساختار توپولوژیکی امکان استفاده بسیار انعطاف‌پذیرتر از جمع‌های بی‌نهایت را فراهم می‌کند. به عنوان مثال، قانون ضرب را می توان به سادگی به صورت مجدد بیان کرد

$\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_ {i}X^{i}\right)=\sum _{i,j\in \mathbb {N} }a_{i}b_{j}X^{i+j}،$

از آنجایی که فقط تعداد محدودی از اصطلاحات در سمت راست بر هر ثابت تأثیر می گذارد $X^{n}$ . ضرب های بی نهایت نیز توسط ساختار توپولوژیکی تعریف می شوند. می توان دید که یک ضرب نامتناهی اگر و تنها در صورتی همگرا می شود که دنباله عوامل آن به 1 همگرا شود.

توپولوژی های جایگزین [ ویرایش ]

توپولوژی فوق بهترین توپولوژی است که برای آن

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}$

همیشه به‌عنوان جمع‌بندی به سری‌های توان صوری تعیین‌شده توسط همان عبارت همگرا می‌شود، و اغلب برای معنی دادن به مجموع و ضرب های بی‌نهایت، یا انواع دیگر محدودیت‌هایی که فرد می‌خواهد برای تعیین سری‌های توانی صوری خاص استفاده کند، کافی است. با این حال ممکن است گاهی اوقات فرد بخواهد از توپولوژی درشت تری استفاده کند، به طوری که برخی عبارات همگرا شوند که در غیر این صورت واگرا می شوند. این امر به ویژه زمانی که حلقه پایه اعمال می شود $آر$ در حال حاضر با یک توپولوژی غیر از گسسته همراه است، به عنوان مثال اگر آن نیز حلقه ای از سری توانی صوری باشد.

در حلقه سری توانی صوری $\mathbb {Z} [[X]][[Y]]$ ، توپولوژی ساختار فوق فقط به موارد نامعین مربوط می شود $Y$ ، از آنجایی که توپولوژی قرار داده شد $\mathbb {Z} [[X]]$ هنگام تعریف توپولوژی کل حلقه، با توپولوژی گسسته جایگزین شده است. بنابراین

$\sum _{i=0}^{\infty }XY^{i}$

همگرا می شود (و مجموع آن را می توان به صورت ${\tfrac {X}{1-Y}}$ ) با این حال

$\sum _{i=0}^{\infty }X^{i}Y$

واگرا در نظر گرفته می شود، زیرا هر عبارت بر ضریب تأثیر می گذارد $Y$ . اگر سری برق به صدا درآید، این عدم تقارن از بین می رود $Y$ توپولوژی ضرب داده می شود که در آن هر کپی از $\mathbb {Z} [[X]]$ توپولوژی آن به عنوان حلقه ای از سری توانی صوری به جای توپولوژی گسسته داده می شود. با این توپولوژی، دنباله ای از عناصر $\mathbb {Z} [[X]][[Y]]$ همگرا می شود اگر ضریب هر توان از $Y$ به یک سری توانی صوری در همگرا می شود $ایکس$ ، یک وضعیت ضعیف تر از تثبیت کامل. برای مثال، با این توپولوژی، در مثال دومی که در بالا داده شد، ضریب از $Y$ همگرا می شود ${\tfrac {1}{1-X}}$ ، بنابراین کل جمع به همگرا می شود ${\tfrac {Y}{1-X}}$ .

این روش برای تعریف توپولوژی در واقع روش استاندارد برای ساخت‌های مکرر حلقه‌های سری‌های توان صوری است و همان توپولوژی را به دست می‌دهد که با گرفتن سری‌های توان صوری در همه نامشخص‌ها به طور همزمان بدست می‌آید. در مثال بالا به معنای ساختن است $\mathbb {Z} [[X,Y]]$ و در اینجا یک دنباله همگرا می شود اگر و فقط اگر ضریب هر تک جمله ای $X^{i}Y^{j}$ تثبیت می کند. این توپولوژی، که همچنین $من$ توپولوژی adic، جایی که $I=(X,Y)$ ایده آل تولید شده توسط $ایکس$ و $Y$ ، همچنان از این خاصیت برخوردار است که یک جمع همگرا می شود اگر و فقط در صورتی که عبارات آن به 0 تمایل داشته باشد.

از همین اصل می توان برای همگرایی سایر محدودیت های واگرا استفاده کرد. به عنوان مثال در $\mathbb {R} [[X]]$ حد

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {X}{n}}\right)^{\!n}$

وجود ندارد، بنابراین به طور خاص به همگرا نمی شود

$\exp(X)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {X^{n}}{n!}}.$

این به این دلیل است که برای $i\geq 2$ ضریب $\tbinom{n}{i}/n^i$ از $X^i$ به عنوان تثبیت نمی شود $n\ به \infty$ . با این حال در توپولوژی معمولی همگرا می شود $\mathbb {R}$ ، و در واقع به ضریب ${\tfrac {1}{i!}}$ از $\exp(X)$ . بنابراین، اگر کسی می دهد $\mathbb {R} [[X]]$ توپولوژی ضرب از $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ که در آن توپولوژی از $\mathbb {R}$ توپولوژی معمولی به جای گسسته است، پس حد بالا به همگرا می شود $\exp(X)$ . با این حال، این رویکرد سهل‌آمیزتر هنگام در نظر گرفتن سری‌های توان صوری استاندارد نیست، زیرا به ملاحظات همگرایی منجر می‌شود که به همان اندازه که در تحلیل هستند ظریف هستند ، در حالی که فلسفه سری‌های توانی صوری برعکس این است که سؤالات همگرایی را به همان اندازه بی‌اهمیت جلوه می‌دهد. آنها احتمالا می توانند باشند. با این توپولوژی، اگر و تنها در صورتی که عبارات آن به 0 تمایل داشته باشند، جمع بندی همگرا نمی شود.

دارایی جهانی [ ویرایش ]

حلقه $R[[X]]$ ممکن است با ویژگی جهانی زیر مشخص شود . اگر $اس$ یک جبر انجمنی جابجایی است $آر$ ، اگر $من$ یک ایده آل از $اس$ به گونه ای که $من$ توپولوژی adic در $اس$ کامل است و اگر $ایکس$ عنصری از $من$ ، سپس یک منحصر به فرد وجود دارد $\Phi :R[[X]]\to S$ با خواص زیر: