تاریخچه [ ویرایش ]

این فرمول به نام هنری فردریک بیکر ، جان ادوارد کمپبل و فلیکس هاسدورف نامگذاری شده است که فرم کیفی آن را بیان کردند ، یعنی برای بیان راه حل فقط به کموتاتورها و کموتاتورهای کموتاتورها ، بی نهایت ، نیاز است. در بیانیه ای که قبل از آن از فرم های adumbrated شد فردریش Schur به در سال 1890 [3] که در آن یک سری توانی همگرا داده می شود، با شرایط به صورت بازگشتی تعریف شده است. [4] این شکل کیفی همان چیزی است که در مهمترین کاربردها استفاده می شود ، مانند اثبات نسبتاً قابل دسترسی مکاتبات لی و در نظریه میدان کوانتومی . پس از شور ، توسط کمپبل به چاپ رسید[5] (1897) ؛ توسط هنری پوانکاره [6] (1899) و بیکر (1902) توضیح داده شد. [7] و از نظر هندسی سیستماتیک شده وتوسط هوسدورف (1906)به هویت ژاکوبی پیوند خورده است. [8] اولین فرمول صریح واقعی ، با همه ضرایب عددی ، به خاطر یوجین دینکین (1947) است. [9] تاریخچه فرمول به تفصیل در مقاله آشیل و بونفیلیولی [10] و در کتاب بونفیلیولی و فولچی شرح داده شده است. [11]

فرم های صریح [ ویرایش ]

برای بسیاری از اهداف ، فقط لازم است بدانید که یک توسعه برای Z از نظر کموتاتورهای تکراری از ایکس و Yوجود دارد ؛ ضرایب دقیق اغلب بی ربط هستند. (برای مثال نگاه کنید، بحث از رابطه بین گروه های لی و لی همومرفیسم جبر در بخش 5.2 از کتاب هال، [2] که در آن ضرایب دقیق هیچ نقشی در بحث بازی کند.) قابل ملاحظه اثبات وجود مستقیم داده شد مارتین ایشلر ، [12] همچنین به بخش "نتایج وجود" در زیر مراجعه کنید.

در موارد دیگر ، ممکن است نیاز به اطلاعات دقیق در مورد باشد Z و بنابراین مطلوب است که محاسبه شود Zتا آنجا که ممکن است فرمول های متعددی وجود دارد ؛ ما دو مورد از اصلی ترین آنها (فرمول دینکین و فرمول انتگرالی پوانکره) را در این بخش شرح خواهیم داد.

فرمول دینکین [ ویرایش ]

اجازه دهید G یک گروه لی با جبر Lie باشد{\ mathfrak {g}}به اجازه دهید

{\ displaystyle \ exp: {\ mathfrak {g}} \ to G}

شود نقشه نمایی . فرمول ترکیبی عمومی زیر توسط یوجین دینکین (1947) معرفی شد ، [13] [14]

{\ displaystyle \ log (\ exp X \ exp Y) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n-1}} {n}} \ sum _ { \ begin {smallmatrix} r_ {1}+s_ {1}> 0 \\\ vdots \\ r_ {n}+s_ {n}> 0 \ end {smallmatrix}} {\ frac {[X^{r_ {1 }} Y^{s_ {1}} X^{r_ {2}} Y^{s_ {2}} \ dotsm X^{r_ {n}} Y^{s_ {n}}]} {\ چپ ( \ sum _ {j = 1}^{n} (r_ {j}+s_ {j}) \ right) \ cdot \ prod _ {i = 1}^{n} r_ {i}! s_ {i}! }} ،}

جایی که مجموع بر روی تمام مقادیر غیر منفی از انجام می شود s_ {i} و r_ {i}، و از علامت زیر استفاده شده است:

{\ displaystyle [X^{r_ {1}} Y^{s_ {1}} \ dotsm X^{r_ {n}} Y^{s_ {n}}] = [\ underbrace {X، [X، \ dotsm [X} _ {r_ {1}}، [\ underbrace {Y، [Y، \ dotsm [Y} _ {s_ {1}}، \، \ dotsm \، [\ underbrace {X، [X، \ نقطه [X} _ {r_ {n}} ، [\ underbrace {Y، [Y، \ dotsm Y} _ {s_ {n}}]] \ dotsm]].}

این سریال به طور کلی همگرا نیست. برای همه به اندازه کافی همگرا است (و فرمول بیان شده معتبر است)ایکس و Yبه از آنجا که [ A ، A ] = 0 ، عبارت صفر است اگرs_n> 1 یا اگر s_n = 0 و r_n> 1به [15]

چند اصطلاح اول معروف هستند ، با همه اصطلاحات مرتبه بالاتر شامل [ X ، Y ] و لانه های کموتاتور آن (بنابراین در جبر لی ): {\ displaystyle {\ شروع {تراز} Z (X، Y) & = \ log (\ exp X \ exp Y) \\ & {} = X+Y+{\ frac {1} {2}} [X، Y ]+{\ frac {1} {12}} \ left ([X، [X، Y]]+[Y، [Y، X]] \ right) \\ & {} \ quad -{\ frac {1 } {24}} [Y، [X، [X، Y]]] \\ & {} \ quad -{\ frac {1} {720}} \ left ([Y، [Y، [Y، [Y ، X]]]] +[X ، [X ، [X ، [X ، Y]]]] \ راست) \\ & {} \ quad +{\ frac {1} {360}} \ left ([X ، [Y ، [Y ، [Y، X]]]] +[Y، [X، [X، [X، Y]]]] \ راست) \\ & {} \ quad +{\ frac {1} {120}} \ چپ ([Y، [X، [Y، [X، Y]]]]+[X، [Y، [X، [Y، X]]]] راست]+\ cdots \ پایان {هم راستا}}}

در بالا همه دستورات مرتبه 5 یا پایین تر (یعنی موارد حاوی 5 یا کمتر X و Y) فهرست شده است. X ↔ Y (ضد -) / تقارن در دستور متناوب از گسترش، زیر از Z ( Y ، X ) = - Z (- X ، - Y ) . اثبات اولیه اولیه این فرمول را می توانید در اینجا پیدا کنید .

فرمول جدایی ناپذیر [ ویرایش ]

عبارات متعدد دیگری برای Z، که بسیاری از آنها در ادبیات فیزیک استفاده می شود. [16] [17] یک فرمول جامع محبوب [18] [19]

{\ displaystyle \ log \ left (e^{X} e^{Y} \ right) = X+\ left (\ int _ {0}^{1} \ psi \ left (e^{\ operatorname {ad} _ {X}}^e^{t \ operatornname {ad} _ {Y}} \ right) dt \ right) Y،}

شامل تابع تولید اعداد برنولی ،

{\ displaystyle \ psi (x) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {x \ log x} {x-1}} = 1- \ sum _ {n = 1} ^{\ infty} {(1-x)^{n} \ over n (n+1)} ~ ،}

توسط پوانکاره و هاسدورف استفاده می شود. [nb 1]

تصویرسازی گروه ماتریکس لی [ ویرایش ]

برای یک گروه لی ماتریسی G \ sub \ mbox {GL} (n ، \ mathbb {R})جبر لی فضای مماس هویت I است و کموتاتور به سادگی [ X ،  Y ] = XY  -  YX است . نقشه نمایی نقشه نمایی استاندارد ماتریس ها است ،

\ exp X = e^X = \ sum_ {n = 0}^\ infty {\ frac {X^n} {n!}}.

هنگامی که یکی حل برای Z در

{\ displaystyle e^{Z} = e^{X} e^{Y}،}

با استفاده از بسط سری برای exp و log one فرمول ساده تری بدست می آید:

{\ displaystyle Z = \ sum _ {n> 0} {\ frac {(-1)^{n-1}} {n}} \ sum _ {\ stackrel {r_ {i}+s_ {i}> 0 } {1 \ leq i \ leq n}} {\ frac {X^{r_ {1}} Y^{s_ {1}} \ cdots X^{r_ {n}} Y^{s_ {n}}} {r_ {1}! s_ {1}! \ cdots r_ {n}! s_ {n}!}}، \ quad \ | X \ |+\ | Y \ | <\ log 2، \ | Z \ | < \ log 2.}[شماره 2]

شرایط مرتبه اول ، دوم ، سوم و چهارم عبارتند از:

  • {\ displaystyle z_ {1} = X+Y}
  • z_2 = \ frac {1} {2} (XY - YX)
  • {\ displaystyle z_ {3} = {\ frac {1} {12}} \ left (X^{2} Y+XY^{2} -2XYX+Y^{2} X+YX^{2} -2YXY \درست)}
  • {\ displaystyle z_ {4} = {\ frac {1} {24}} \ left (X^{2} Y^{2} -2XYXY-Y^{2} X^{2}+2YXYX \ right). }

فرمول های مختلف z_ {j}این است نه فرمول بیکر-کمپبل-هاسدورف. در عوض ، فرمول بیکر - کمپل - هاسدورف یکی از عبارات مختلف برای استz_ {j}اون از نظر سوئیچ مکررایکس و Yبه نکته این است که به دور از آشکار است که امکان بیان هر یک وجود داردz_ {j}از نظر کموتاتورها (به عنوان مثال ، از خواننده دعوت می شود تا با محاسبه مستقیم آن را تأیید کندz_ {3} به عنوان ترکیبی خطی از دو کموتاتور غیر محتوی مرتبه سوم بیان می شود ایکس و Y، برای مثال {\ displaystyle [X ، [X ، Y]]} و {\ displaystyle [Y، [X، Y]]}.) نتیجه کلی که هر کدام z_ {j}به عنوان ترکیبی از کموتاتورها به شیوه ای بازگشتی و زیبا توسط ایشلر قابل بیان است. [12]

نتیجه فرمول بیکر - کمپل - هاسدورف نتیجه زیر در مورد ردیابی است :

{\ displaystyle \ operatorname {tr} \ log \ left (e^{X} e^{Y} \ right) = \ operatorname {tr} X+\ operatorname {tr} Y.}

به این معنا که از هر کدام z_ {j} با {\ displaystyle j \ geq 2} به صورت ترکیبی خطی از کموتاتورها قابل بیان است ، اثری از هر عبارت از این قبیل صفر است.