سایر خواص [ ویرایش ]

دانه برف کوچ با شش نسخه کوچکتر که یک نسخه بزرگتر را در مرکز احاطه کرده است ، خود تکرار می شود. از این رو ، یک کاشی irp-7 irp-7 است ( برای بحث به کاشی Rep مراجعه کنید ).

بعد فرکتال از منحنی کخ استدر 4/در 3 1.26186 پوند این بیشتر از یک خط (= 1) اما کمتر از پیانو را منحنی فضای پر کردن (= 2).

منحنی کخ در همه جا پیوسته است ، اما در هیچ جا قابل تغییر نیست.

تجزیه و تحلیل فضا [ ویرایش ]

جمع شدن توسط دو اندازه دانه برف کوچ

ممکن است که به موزاییک فرش فضا توسط نسخه از دانه های برف کخ در دو اندازه مختلف. با این حال ، تنها با استفاده از دانه های برف یک اندازه ، چنین تجدید نظر امکان پذیر نیست. از آنجایی که هر دانه برف کوچ در تسمه را می توان به هفت دانه برف کوچکتر با دو اندازه مختلف تقسیم کرد ، همچنین می توان حلقه هایی پیدا کرد که بیش از دو اندازه را به طور همزمان استفاده می کند. [8] دانه های برف کوچ و دانه های ضد برف کوچ به همان اندازه ممکن است برای کاشی کاری فضا استفاده شوند.

دنباله Thue -Morse و گرافیک لاک پشت [ ویرایش ]

گرافیک لاک پشت منحنی است که تولید اگر یک ماشین با یک توالی برنامه ریزی است. اگر از اعضای دنباله Thue -Morse برای انتخاب حالتهای برنامه استفاده می شود:

  • اگر t ( n ) = 0 ، یک واحد جلو بروید ،
  • اگر t ( n ) = 1 ، خلاف جهت عقربه های ساعت با زاویه ای بچرخانیدπ/3،

منحنی حاصله به دانه برف کوچ متصل می شود.

نمایندگی به عنوان سیستم Lindenmayer [ ویرایش ]

منحنی کوچ را می توان با سیستم بازنویسی زیر ( سیستم Lindenmayer ) بیان کرد:

الفبا  : ف

ثابت ها  : +، -

اصل  : اف

قوانین تولید :

F → F+F-F+F

در اینجا ، F به معنی "کشیدن به جلو" ، - به معنی "گردش به راست 60 درجه" ، و + به معنی "گردش به چپ 60 درجه" است.

برای ایجاد دانه برف کوچ ، از F-F-F (مثلث متساوی الاضلاع) به عنوان بدیهیات استفاده می شود.

انواع منحنی کوچ [ ویرایش ]

 

به دنبال مفهوم فون کوچ ، انواع مختلفی از منحنی کوچ طراحی شد ، با در نظر گرفتن زاویه های راست ( درجه دوم ) ، زوایای دیگر ( سزارو ) ، دایره ها و چند وجهی و امتداد آنها به ابعاد بالاتر (به ترتیب Sphereflake و Kochcube)

نوع ( ابعاد ، زاویه )تصویرساخت و ساز
D1D ، زاویه 60-90 درجه

سزارو فراکتال (85 درجه)

فراکتال سزرو نوعی منحنی کوچ با زاویه بین 60 تا 90 درجه است. [ نیازمند منبع ]

چهار تکرار اول یک ضد برف Cesàro (چهار منحنی 60 درجه مرتب در 90 درجه مربع)

461.46D ، زاویه 90 درجه

منحنی نوع دوم درجه 1

دو تکرار اول

1.5D ، زاویه 90 درجه

منحنی نوع دوم درجه 2

سوسیس مینکوفسکی [9]

دو تکرار اول ب fractعد فرکتال آن برابر است3/2 و دقیقاً در نیمه راه بین ابعاد 1 و 2 است. بنابراین اغلب هنگام مطالعه خواص فیزیکی اجسام فراکتال غیر صحیح انتخاب می شود.

D2 بعدی ، زاویه 90 درجه

تکرار سوم

جزیره مینکوفسکی

چهار منحنی درجه دو نوع 2 در یک مربع مرتب شده اند

371.37D ، زاویه 90 درجه

پوسته درجه دو

4 منحنی نوع 1 درجه مرتب شده در چند ضلعی: دو تکرار اول. معروف به " سوسیس مینکوفسکی " ، [10] [11] [12] ابعاد فراکتال آن برابر استدر 3/LN √ 5 = 1.36521. [13]

D2 بعدی ، زاویه 90 درجه

ضد پرک درجه دو

منحنی ضد بخیه ، پوسته درجه یک نوع 1 ، با منحنی ها به جای بیرون به سمت داخل ( فراکتال ویکسک )
491.49D ، زاویه 90 درجه

صلیب درجه دوم

تنوع دیگر. ب fractعد فرکتال آن برابر استدر 3.33/LN √ 5 = 1.49
D2 بعدی ، زاویه 90 درجه

جزیره درجه دوم [14]

منحنی درجه دوم ، تکرارهای 0 ، 1 و 2 ؛ بعد ازدر 18/در 6611.61

D2 بعدی ، زاویه 60 درجه

سطح فون کوچ

سه تکرار اول گسترش طبیعی منحنی کوچ در دو بعد.

D2 بعدی ، زاویه 90 درجه

تکرارهای اول (بلوک آبی) ، دوم (بعلاوه بلوک های سبز) ، سوم (به اضافه بلوک های زرد) و چهارم (به علاوه بلوک های شفاف) از نوع فراکتال درجه یک 3D Koch 3D

توسعه منحنی درجه یک درجه یک. تصویر سمت چپ فراکتال را پس از تکرار دوم نشان می دهد

انیمیشن سطح دوم

به
D3 بعدی ، هر

منحنی کوچ به صورت سه بعدی

فرکتال سه بعدی ساخته شده از منحنی های کوچ. شکل را می توان امتداد سه بعدی منحنی دانست به همان معنا که هرم سیرپینسکی و اسفنج منگر را می توان امتداد مثلث سیرپینسکی و فرش سیرپینسکی دانست . نسخه منحنی مورد استفاده برای این شکل از زاویه 85 درجه استفاده می کند.

از مربع ها می توان برای ایجاد منحنی های فراکتال مشابه استفاده کرد. با شروع یک واحد مربع و افزودن به هر ضلع در هر تکرار یک مربع با ابعاد یک سوم مربع ها در تکرار قبلی ، می توان نشان داد که هم طول محیط و هم مساحت کل با پیشرفت های هندسی تعیین می شود. پیشرفت منطقه به 2 متصل می شود در حالی که پیشرفت محیط تا بی نهایت تغییر می کند ، بنابراین در مورد دانه برف کوچ ، ما یک منطقه محدود داریم که توسط یک منحنی فراکتال نامحدود محدود شده است. [15] مساحت حاصله یک مربع با مرکز مشابه مرکز اصلی ، اما دو برابر مساحت را پر می کند و توسط آن می چرخدπ/4 رادیان ، محیطی که خود را لمس می کند اما هرگز خود را نمی پوشاند.

مساحت کل پوشش داده شده در n تکرار عبارت است از:

{\ displaystyle A_ {n} = {\ frac {1} {5}}+{\ frac {4} {5}} \ sum _ {k = 0}^{n} \ left ({\ frac {5} {9}} \ راست)^{k} \ quad {\ mbox {دادن}} \ quad \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = 2 \ ،،}

در حالی که طول کل محیط عبارت است از:

{\ displaystyle P_ {n} = 4 \ چپ ({\ frac {5} {3}} \ right)^{n} a \ ،،}

که با افزایش n به بی نهایت نزدیک می شود .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake