سری توانی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای سری نوت‌بوک‌ها، سری IBM ThinkPad Power را ببینید .

در ریاضیات ، یک سری توانی (در یک متغیر ) یک سری نامتناهی از فرم است

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(xc\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(xc)+a_{2}( xc)^{2}+\dots$

که در آن a n نشان دهنده ضریب n ام و c یک ثابت است. سری های توانی در آنالیز ریاضی مفید هستند، جایی که به عنوان سری های تیلور از توابع بی نهایت متمایز به وجود می آیند . در واقع، قضیه بورل نشان می دهد که هر سری توانی، سری تیلور از برخی تابع صاف است.

در بسیاری از موقعیت‌ها، c ( مرکز سری) برابر با صفر است، به عنوان مثال زمانی که یک سری مکلورن را در نظر می‌گیریم . در چنین مواردی، سری پاور شکل ساده تری به خود می گیرد

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots .$

فراتر از نقش آنها در تحلیل ریاضی، سری های توان در ترکیبات به عنوان توابع مولد (نوعی سری توانی استاندارد ) و در مهندسی الکترونیک (تحت نام تبدیل Z ) نیز دیده می شوند. نماد اعشاری آشنا برای اعداد حقیقی را می‌توان به عنوان نمونه‌ای از سری توانی، با ضرایب صحیح ، اما با آرگومان x ثابت در 1/10 مشاهده کرد . در نظریه اعداد ، مفهوم اعداد p -adic نیز ارتباط نزدیکی با سری توانی دارد.

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

تابع نمایی (به رنگ آبی) و مجموع n + 1 جمله اول سری توان مکلورن آن (به رنگ قرمز).

هر چند جمله‌ای را می‌توان به راحتی به عنوان یک سری توان در اطراف هر مرکز c بیان کرد، اگرچه تمام ضرایب به استثنای محدود، صفر خواهند بود زیرا یک سری توانی دارای بی‌نهایت اصطلاحات تعریف شده است. به عنوان مثال، چند جمله ای ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ را می توان به عنوان یک سری توانی در اطراف مرکز نوشت ${\textstyle c=0}$ مانند

$f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots$ یا اطراف مرکز ${\textstyle c=1}$ مانند

$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+ \cdots$ یا در واقع در اطراف هر مرکز دیگری ج . [1] می‌توان سری‌های توانی را مانند «چندجمله‌های درجه بی‌نهایت» دید، اگرچه سری‌های توانی چند جمله‌ای نیستند.

فرمول سری هندسی

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3} +\cdots،$ که برای ${\textstyle |x|<1}$ ، یکی از مهم ترین نمونه های سری توانی است، مانند فرمول تابع نمایی

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2} }{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$ و فرمول سینوس

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!} }=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!} }+\cdots ,$

برای همه x حقیقی معتبر است.

این سری های پاور نیز نمونه هایی از سری تیلور هستند .

در مجموعه توانها [ ویرایش ]

توانی های منفی در یک سری توانی مجاز نیستند. برای مثال، ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ به عنوان یک سری توانی در نظر گرفته نمی شود (اگرچه یک سری لرنت است ). به همین ترتیب، توان های کسری مانند ${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$ مجاز نیستند (اما سری Puiseux را ببینید ). ضرایب ${\textstyle a_{n}}$ مجاز به وابستگی نیستند ${\textstyle x}$ ، به عنوان مثال:

$\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots$ سری پاور نیست

شعاع همگرایی [ ویرایش ]

یک سری توانی ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(xc)^{n}}$ برای برخی از مقادیر متغیر x همگرا است که همیشه x = c را شامل می شود (مثلاً، $(xc)^{0}$ به عنوان ارزیابی می کند1 و مجموع سری به این ترتیب است $a_{0}$ برای x = c ). این سری ممکن است برای مقادیر دیگر x واگرا شود . اگر c تنها نقطه همگرایی نباشد، همیشه یک عدد r با 0 < r ≤ ∞ وجود دارد به طوری که هر زمان که | x – c | < r و هر زمان که | x – c | > r _ عدد r شعاع همگرایی سری توان نامیده می شود . به طور کلی به عنوان داده می شود

$r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$ یا به طور معادل

$r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}$ (این قضیه کوشی-هادامارد است ؛ برای توضیح نماد ، حد برتر و حد پایین را ببینید). ارتباط

$r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\راست|$ در صورت وجود این محدودیت نیز راضی است.

مجموعه ای از اعداد مختلط به گونه ای که | x – c | < r دیسک همگرایی سری نامیده می شود . این سری کاملاً در داخل دیسک همگرایی خود همگرا می شود و به طور یکنواخت در هر زیر مجموعه فشرده از دیسک همگرایی همگرا می شود.

برای | x – c | = r ، هیچ بیانیه کلی در مورد همگرایی سری وجود ندارد. با این حال، قضیه آبل بیان می کند که اگر سری برای مقداری z همگرا باشد به طوری که | z – c | = r ، سپس مجموع سری برای x = z حد مجموع سری برای x = c + t ( z – c ) است که در آن t یک متغیر حقیقی کمتر از1 که تمایل دارد1 .

عملیات روی سری توانی[ ویرایش ]

جمع و تفریق [ ویرایش ]

هنگامی که دو تابع f و g به سری توانی در اطراف یک مرکز c تجزیه می شوند ، سری توان مجموع یا تفاضل توابع را می توان با جمع و تفریق مدتی به دست آورد. یعنی اگر

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(xc)^{n}$ و

$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(xc)^{n}$ سپس

$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(xc)^{n}.$

این درست نیست که اگر دو سری توانی ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ و ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$ پس شعاع همگرایی یکسانی دارند ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}$ این شعاع همگرایی را نیز دارد. اگر ${\textstyle a_{n}=(-1)^{n}}$ و ${\textstyle b_{n}=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\راست)}$ ، سپس هر دو سری شعاع همگرایی یکسانی دارند اما سری ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty } {\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$ دارای شعاع همگرایی 3 است.

مجموع دو سری توان، حداقل، شعاع همگرایی کوچکتر از دو شعاع همگرایی دو سری خواهد داشت (و ممکن است از هر کدام بیشتر باشد، همانطور که در مثال بالا مشاهده می شود). [2]

ضرب و تقسیم [ ویرایش ]

با همین تعاریف برای $f(x)$ و $g(x)$ سری توان محصول و ضریب توابع را می توان به صورت زیر بدست آورد:

${\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(xc)^{n}\right)\ چپ(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(xc)^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{ j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(xc)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{ i=0}^{n}a_{i}b_{ni}\right)(xc)^{n}.\end{تراز شده}}$

تسلسل و توالی ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{ni}}$ به عنوان پیچیدگی دنباله ها شناخته می شود $a_{n}$ و $b_{n}$ .

برای تقسیم، اگر یکی دنباله را تعریف کند $d_{n}$ توسط

${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(xc)^{n}}{ \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(xc)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(xc)^{n }$ سپس

$f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(xc)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^ {\infty }d_{n}(xc)^{n}\right)$ و می توان به صورت بازگشتی برای عبارت ها حل کرد $d_{n}$ با مقایسه ضرایب

با حل معادلات مربوطه، فرمول هایی بر اساس تعیین کننده های ماتریس های معینی از ضرایب به دست می آید. $f(x)$ و $g(x)$

$d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}$

$d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{ n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\cdots &b_{n-2}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}$

مشتق و انتگرال[ ویرایش ]

یک بار یک تابع $f(x)$ به عنوان یک سری توانی مانند بالا داده شده است، در داخل حوزه همگرایی قابل مشتق گیری است. با در نظر گرفتن هر اصطلاح به طور جداگانه، می توان آن را به راحتی مشتق و انتگرال گیری کرد:

${\begin{aligned}f'(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(xc)^{n-1}=\sum _{n= 0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(xc)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(xc)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1 }(xc)^{n}}{n}}+k.\end{aligned}}$

هر دوی این سری ها شعاع همگرایی مشابه سری اصلی دارند.

توابع تحلیلی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تابع تحلیلی

تابع f تعریف شده روی زیرمجموعه باز U از R یا C اگر به صورت محلی توسط یک سری توان همگرا داده شود، تحلیلی نامیده می شود. این بدان معناست که هر a ∈ U یک همسایگی باز V ⊆ U دارد، به طوری که یک سری توان با مرکز a وجود دارد که به ازای هر x ∈ V به f ( x ) همگرا می شود .

هر سری توانی با شعاع همگرایی مثبت، در داخل منطقه همگرایی خود تحلیلی است. همه توابع هولومورفیک مختلط-تحلیلی هستند. مجموع و حاصلضرب توابع تحلیلی و تا زمانی که مخرج غیر صفر باشد، ضرایب تحلیلی هستند.

اگر تابعی تحلیلی باشد، بی نهایت قابل تمایز است، اما در حالت حقیقی عکس آن به طور کلی صادق نیست. برای یک تابع تحلیلی، ضرایب a n را می توان به صورت محاسبه کرد

$a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}$

جایی که $f^{(n)}(c)$ نشان دهنده n امین مشتق f در c و $f^{(0)}(c) = f(c)$ . این بدان معنی است که هر تابع تحلیلی به صورت محلی با سری تیلور خود نشان داده می شود .

شکل کلی یک تابع تحلیلی کاملاً با رفتار محلی آن به معنای زیر تعیین می شود: اگر f و g دو تابع تحلیلی هستند که روی یک مجموعه باز متصل U تعریف شده اند، و اگر یک عنصر c∈ U وجود داشته باشد به طوری که f ( n ) ( c ) = g ( n ) ( c ) برای همه n ≥ 0 , سپس f ( x ) = g ( x ) برای همه x ∈ U.

اگر یک سری توان با شعاع همگرایی r داده شود، می توان ادامه های تحلیلی سری را در نظر گرفت، یعنی توابع تحلیلی f که روی مجموعه های بزرگتر از { x | | x − c | < r } و با سری توانی داده شده در این مجموعه موافقت کنید. عدد r به معنای زیر حداکثر است: همیشه یک عدد مختلط x با | وجود دارد x − c | = r به گونه ای که هیچ ادامه تحلیلی سری را نمی توان در x تعریف کرد .

بسط سری توان تابع معکوس یک تابع تحلیلی را می توان با استفاده از قضیه وارونگی لاگرانژ تعیین کرد .

رفتار نزدیک به مرز [ ویرایش ]

مجموع یک سری توان با شعاع همگرایی مثبت یک تابع تحلیلی در هر نقطه از داخل دیسک همگرایی است. با این حال، رفتارهای متفاوتی می تواند در نقاطی در مرز آن دیسک رخ دهد. مثلا:

واگرایی در حالی که مجموع به یک تابع تحلیلی گسترش می یابد : ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$ دارای شعاع همگرایی برابر است $1$ و در هر نقطه از $|z|=1$ . با این وجود، مجموع در $|z|<1$ ${\textstyle {\frac {1}{1-z}}}$ ، که در هر نقطه از هواپیما به جز برای $z=1$ .
همگرا در برخی نقاط واگرا در برخی دیگر : ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {z^{n}}{n}}}$ شعاع همگرایی دارد $1$ . برای همگرا می شود $z=1$ ، در حالی که برای $z=-1$
همگرایی مطلق در هر نقطه از مرز : ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$ شعاع همگرایی دارد $1$ ، در حالی که به طور مطلق و یکنواخت در هر نقطه از همگرا می شود $|z|=1$ به دلیل استفاده از آزمون ام واشتراس با سری همگرای هایپر هارمونیک ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ .
همگرا در بسته شدن دیسک همگرایی اما مجموع پیوسته نیست : سرپینسکی مثالی [3] از یک سری توان با شعاع همگرایی ارائه کرد. $1$ ، همگرا در تمام نقاط با $|z|=1$ ، اما مجموع یک تابع نامحدود و به ویژه ناپیوسته است. یک شرط کافی برای تداوم یک طرفه در یک نقطه مرزی توسط قضیه آبل ارائه شده است .

سری استاندارد توانی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: سری استاندارد توانی

در جبر انتزاعی ، شخص تلاش می‌کند تا ماهیت سری‌های توانی را بدون محدود شدن به میدان‌های اعداد حقیقی و مختلط، و بدون نیاز به صحبت در مورد همگرایی، به تصویر بکشد. این منجر به مفهوم سری توان استاندارد می شود ، مفهومی که در ترکیبات جبری کاربرد زیادی دارد .

سری توانی در چندین متغیر [ ویرایش ]

بسط نظریه برای اهداف حساب چند متغیره ضروری است . یک سری توان در اینجا به عنوان یک سری نامتناهی از فرم تعریف می شود

$f(x_{1},\dots,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1}, \dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{j_{k}},$ که در آن j = ( j 1 ، …، jn) بردار اعداد طبیعی است، ضرایب a (j 1 , …, j n ) معمولاً اعداد حقیقی یا مختلط هستند و مرکز c = ( c 1 , …, c n ) و آرگومان x = ( x 1 , …, x n ) معمولا بردارهای حقیقی یا مختلط هستند. نماد $\ پی$ نماد حاصل ضرب است. در نماد چند شاخصی راحت تر ، این را می توان نوشت

$f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }(xc)^{\alpha }.$ جایی که $\mathbb {N}$ مجموعه اعداد طبیعی است و غیره $\mathbb {N} ^{n}$ مجموعه ای از n مرتبه - چند تایی اعداد طبیعی است.

تئوری چنین سری هایی مختلط تر از سری های تک متغیری با مناطق همگرایی مختلط تر است. به عنوان مثال، سری توانی ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$ در مجموعه کاملاً همگرا است $\{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}$ بین دو هذلولی (این نمونه ای از یک مجموعه log-convex است ، به این معنا که مجموعه نقاط $(\log |x_1|، \log |x_2|)$ ، جایی که $(x_{1}،x_{2})$ در ناحیه فوق قرار دارد، مجموعه ای محدب است. به طور کلی تر، می توان نشان داد که وقتی c=0، فضای داخلی ناحیه همگرایی مطلق همیشه یک مجموعه لگ محدب است به این معنا.) از طرف دیگر، در داخل این ناحیه همگرایی می توان متمایز و ادغام کرد. در زیر علامت سری، درست مانند یک سری توانی معمولی. [4]

سفارش یک سری توانی [ ویرایش ]

فرض کنید α یک شاخص چندگانه برای یک سری توانی f ( x 1 , x 2 , …, x n ) باشد. ترتیب سری توان f به عنوان حداقل مقدار تعریف شده است $r$ به طوری که α ≠ 0 با وجود دارد $r=|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ ، یا $\کوچک$ اگر f ≡ 0. به ویژه، برای یک سری توانی f ( x ) در یک متغیر منفرد x ، مرتبه f کوچکترین توان x با ضریب غیر صفر است. این تعریف به راحتی به سری لرنت گسترش می یابد .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series

+ نوشته شده در جمعه نوزدهم دی ۱۳۹۹ ساعت 23:58 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی