تاریخچه [ ویرایش ]

Guillaume de l'Hôpital (همچنین بیمارستان (a ) نیز نوشته شده است ) این قاعده را در کتاب خود در سال 1696 Analyze des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (ترجمه تحتانی : تجزیه و تحلیل از بینهایت کوچک برای درک خطوط منحنی ) منتشر کرد ، اولین کتاب درسی در حساب دیفرانسیل . [1] [b] با این حال اعتقاد بر این است که این قانون توسط ریاضیدان سوئیسی یوهان برنولی کشف شده است . [3] [4]

فرم عمومی [ ویرایش ]

شکل کلی قانون L'Hôpital موارد زیادی را در بر می گیرد. اجازه دهید ج و L باشد اعداد حقیقی گسترش (به عنوان مثال، اعداد حقیقی، بی نهایت مثبت یا منفی بینهایت). بگذارید من یک باز باز داشته باشم که حاوی c است (برای یک حد دو طرفه) یا یک باز باز با نقطه انتهایی c (برای یک حد یک طرفه ، یا یک حد در بی نهایت اگر c نامحدود باشد). فرض می شود که توابع با ارزش واقعی f و g در I متفاوت باشند مگر اینکه در c و به علاوه{\ displaystyle g '(x) \ neq 0}در من بجز احتمالاً در c . همچنین فرض بر این است که{\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f '(x)} {g' (x)}} = L.}بنابراین این قانون در شرایطی اعمال می شود که نسبت مشتقات آن محدود و نامحدود باشد ، اما در شرایطی که با نسبت x و نزدیکتر شدن به c ، این نسبت برای همیشه در نوسان است ، این قانون اعمال نمی شود .

اگر هر کدام

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = \ lim _ {x \ to c} g (x) = 0}

یا

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} | f (x) | = \ lim _ {x \ to c} | g (x) | = \ بی اعتبار ،}

سپس

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = L.}

اگرچه ما در کل x  → c را نوشته ایم ، اما ممکن است محدودیت ها یک طرفه باشند ( x  → c + یا x  → c - ) ، وقتی c نقطه پایانی I است .

در حالت دوم ، فرضیه f متغیر تا بی نهایت در اثبات استفاده نمی شود (به یادداشت پایان بخش اثبات مراجعه کنید). بنابراین ، در حالی که شرایط قاعده به طور معمول به صورت بالا ذکر می شود ، شرط دوم کافی برای معتبر بودن روش قاعده می تواند به طور خلاصه به شرح زیر باشد:{\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} | g (x) | = \ ناکافی.}

این فرضیه که{\ displaystyle g '(x) \ neq 0}به طور معمول در ادبیات ظاهر می شود ، اما برخی از نویسندگان با افزودن فرضیه های دیگر در جای دیگر ، این فرضیه را کنار می گذارند. یک روش [5] تعریف حد یک تابع با الزام اضافی است که تابع محدود کننده در همه جا با فاصله مربوط به I تعریف شده است به جز احتمالاً در c . [c] روش دیگر [6] این است که هر دو f و g باید در هر مکانی در یک بازه حاوی c قابل تفکیک باشند .