گروه قابل حل

ساختار جبری → نظریه گروه
نظریه گروه

مفاهیم اساسی[پنهان شدن]

همجنسگرایی گروهی

بی روح
قابل حل است

گروه های محدود [نمایش]

[نمایش]

گروه های توپولوژیکی و دروغ [نمایش]

گروه های جبری [نمایش]

در ریاضیات ، به طور خاص در زمینه نظریه گروه ، یک گروه قابل حل و یا گروه محلول است گروه که می تواند از ساخته گروه های آبلی با استفاده از پسوند . به طور برابر ، یک گروه قابل حل گروهی است که سری مشتق شده آنها در زیر گروه بی اهمیت خاتمه می یابد .

فهرست

انگیزه [ ویرایش ]

از نظر تاریخی ، کلمه "قابل حل" از تئوری گالواز و اثبات عدم حل کلی معادله کوینتیک ناشی شده است. به طور خاص ، معادله چند جمله ای در رادیکالها قابل حل است اگر و فقط اگر گروه مربوط به Galois قابل حل باشد [1] (توجه داشته باشید که این قضیه فقط در علامت 0 است). این به معنای مرتبط با چند جمله ای است $\ displaystyle f \ in F [x]$ یک برج با پسوندهای میدانی وجود دارد

${\ displaystyle F = F_ {0} \ زیرمجاز F_ {1} \ زیر مجموعه F_ {2} \ زیرمجموعه \ cdots \ زیر مجموعه F_ {m} = K$

به طوری که

$\ displaystyle F_ {i} = F_ {i-1} [\ alpha _ {i}]}$ جایی که $\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {m_ {i}} \ in F_ {i-1}$ ، بنابراین $\ alpha _ {من$ یک راه حل برای معادله است $\ displaystyle x ^ {m_ {i}} - a$ جایی که ${\ نمایشگر a \ در F_ {i-1}$
$F_m$ شامل یک قسمت تقسیم برای $f (x)$

مثال [ ویرایش ]

به عنوان مثال ، کوچکترین پسوند میدان Galois از $\ mathbb {Q}$ حاوی عنصر

$\ displaystyle a = {\ sqrt [{5}] {{\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}}}}$

به یک گروه قابل حل می دهد دارای پسوندهای زمینه است

$\ displaystyle \ mathbb {Q} \ زیرمجموعه \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}} ، {\ sqrt {3}}) \ زیرمجموعه \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}} ، {\ sqrt {3}}) (e ^ {2 \ pi i / 5} {\ sqrt [{5}] {{\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}}})$

دادن یک گروه قابل حل حاوی $\ displaystyle \ mathbb {Z} / 5$ (عمل بر روی $\ displaystyle e ^ {2 \ pi i / 5}$ ) و $\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ بار \ mathbb {Z} / 2$ (عمل کردن $\ displaystyle {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}$ )

تعریف [ ویرایش ]

یک گروه G نامیده می شود قابل حل اگر دارای یک سری غیر طبیعی که عامل گروه (گروه خارج قسمت) همه آبلی ، این است که، اگر آنها وجود زیر گروه 1 = G 0 < G 1 <⋅⋅⋅ < G K = G به طوری که G J 1 در G j معمولی است و G j / G j -1 یک گروه آبلی است ، برای j = 1 ، 2 ، ... ، k .

یا معادل آن ، اگر سری مشتق شده آن باشد ، سری عادی نزولی

$G \ triangleright G ^ {(1) \ triangleright G ^ {(2) \ triangleright \ cdots،$

جایی که هر زیر گروه زیر گروه commutator قبلی است ، در نهایت به زیر گروه بی اهمیت G می رسد . این دو تعریف با هم معادل هستند، از آنجا که برای هر گروه H و هر زیر گروه نرمال N از H ، خارج قسمت H / N آبلی است اگر و تنها اگر N شامل زیر گروه کموتاتور از H . حداقل n به گونهای که G ( n ) = 1 طول مشتق شده از گروه قابل حل G است .

برای گروه های محدود ، تعریف معادل آن این است که یک گروه قابل حل ، گروهی است با یک سری ترکیب که همه عوامل آن گروه های چرخه ای از مرتبه اول هستند . این معادل است زیرا یک گروه محدود از طول ترکیب متناهی برخوردار است و هر گروه ساده آبلی دارای چرخه ای از درجه اول است. اردن قضیه دارنده تضمین می کند که اگر یکی سری ترکیب این خاصیت را، و سپس تمام سری ترکیب این ویژگی را نیز دارند. برای گروه Galois از یک چند جمله ای، این گروه ها چرخه ای به مطابقت N ریشه هفتم بیش از برخی از (رادیکال) درست. هم ارزی لزوما برای گروه های نامحدود را نگه ندارد: به عنوان مثال، از آنجا که هر زیرگروه حجم قابل توجهی از گروه Z از اعداد صحیح تحت عمل جمع است ریخت به Z خود، آن را بدون سری ترکیب، اما سری طبیعی {0، Z }، تنها با آن گروه فاكتور به طور همزايی از Z اثبات مي كند كه در واقع قابل حل است.

مثالها [ ویرایش ]

گروه های هابلیان [ ویرایش ]

نمونه اصلی گروه های قابل حل ، گروه های abelian هستند. اینها از آنجا که یک سریال غیر عادی فقط توسط خود گروه و گروه بی اهمیت داده می شود قابل حل هستند. اما گروه های غیر abelian ممکن است حلال باشند یا نباشند.

گروه های نیرو [ ویرایش ]

به طور کلی ، همه گروههای نیرو قابل حل هستند. به طور خاص، محدود ص -groups قابل حل هستند، در حالی که همه محدود ص -groups پوچتوان است.

گروه های چهارگانه [ ویرایش ]

به طور خاص ، گروه چهارگانه یک گروه قابل حل است که توسط پسوند گروه داده می شود

$\ displaystyle 1 \ to \ mathbb {Z} / 4 \ to Q \ to \ mathbb {Z} / 2 \ to 1$

جایی که $\ displaystyle \ mathbb {Z} / 4$ زیر گروه تولید شده توسط $من$ .

پسوندهای گروهی [ ویرایش ]

پسوندهای گروه نمونه های نمونه اولیه گروه های قابل حل را تشکیل می دهند. یعنی اگر $ج$ و ' $G '$ گروه های قابل حل هستند ، سپس هر برنامه افزودنی

$\ displaystyle 1 \ to G \ to G '' \ to G '\ to 1$

یک گروه قابل حل را تعریف می کند $G ''$ . در واقع ، همه گروههای قابل حل از چنین پسوندهای گروهی تشکیل می شوند.

گروه غیرابیلایی که غیرمتعارف است [ ویرایش ]

یک نمونه کوچک از یک گروه قابل حل و بدون قدرت ، گروه متقارن S 3 است . در حقیقت ، از آنجا که کوچکترین گروه غیر abelian ساده A 5 است ( گروه متناوب درجه 5) نتیجه می گیرد که هر گروه با سفارش کمتر از 60 قابل حل است.

گروه های محدود از سفارش عجیب و غریب [ ویرایش ]

قضیه مشهور Feit-Thompson اظهار داشت که هر گروه محدود از نظم عجیب قابل حل است. به طور خاص این بدان معناست که اگر یک گروه محدود ساده باشد ، این یک چرخه اصلی یا حتی یک نظم است.

غیر مثال [ ویرایش ]

گروه S 5 قابل حل نیست - دارای یک سری ترکیب {E ، A 5 ، S 5 } است (و قضیه جردن-هولدر بیان می کند که هر سری دیگر از ترکیب ها معادل آن است) ، گروه های عاملی را به عنوان ایزومورف به A 5 و ج 2 ؛ و A 5 بیلی نیست. به طور کلی این استدلال ، همراه با این واقعیت که A n یک زیر گروه معمولی ، حداکثر ، غیر abelian از S n برای n > 4 است ، می بینیم که S n برای n قابل حل نیست> 4. این یک مرحله کلیدی در اثبات این است که برای هر n > 4 چند جمله ای از درجه n وجود دارند که توسط رادیکال ها قابل حل نیستند ( قضیه هابیل-رافینی ). این ویژگی همچنین در نظریه پیچیدگی در اثبات قضیه بارینگتون استفاده می شود .

زیر گروه های GL 2 [ ویرایش ]

زیر گروه ها را در نظر بگیرید

$\ displaystyle B = \ سمت چپ \ {{\ شروع {bmatrix} * & * \\ 0 & * \ end {bmatrix} \ Right \} {\ text {،}} U = \ چپ \ {{\ آغاز {bmatrix 1 & * \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ درست \}}$ از ${\ displaystyle GL_ {2} (\ mathbb {F})}$

برای برخی از زمینه ها $\ mathbb {F$ . سپس ، سهامدار گروه ${\ نمایشگر B / U$ را می توان با گرفتن عناصر دلخواه در ${\ نمایشگر B ، U$ ، آنها را با هم ضرب کنیم و بفهمیم این ساختار به چه شکل می دهد. بنابراین

$\ displaystyle {\ fill {bmatrix} a & b \\ 0 & c \ end {bmatrix}} \ cdot {\ fill bmatrix 1 & d \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ fill bmatrix} a & ad + b \\ 0 & c \ end {bmatrix}}$

به شرایط تعیین کننده توجه کنید ${\ نمایشگر GL_ {2}}$ دلالت دارد $\ displaystyle ac \ neq 0$ ، از این رو $\ displaystyle \ mathbb {F} ^ {\ بار} \ بار \ mathbb {F} ^ {\ بار times \ زیر مجموعه B B$ یک زیر گروه است (که ماتریسهایی که در آن هستند $\ displaystyle b = 0$ ) برای ثابت ${\ displaystyle a، b$ ، معادله خطی $ad \ تبلیغ نمایشگر نمایشگر + b = 0$ دلالت دارد ${\ displaystyle d = -b / a$ ، که یک عنصر دلخواه در است $\ displaystyle \ mathbb {F}}$ از آنجا که $\ displaystyle b \ in \ mathbb {F}$ . از آنجا که ما می توانیم هر ماتریس را در نظر بگیریم ${\ نمایشگر B}$ و آن را با ماتریس ضرب کنید

$\ displaystyle {\ fill bmatrix 1 & d \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}$

با ${\ displaystyle d = -b / a$ ما می توانیم یک ماتریس مورب را وارد کنیم ${\ نمایشگر B}$ . این گروه سودمند را نشان می دهد $\ displaystyle B / U \ kong \ mathbb {F} ^ {\ بار \ بار \ mathbb {F} ^ {\ بار}}$ .

اظهار [ ویرایش ]

توجه کنید که این توضیحات باعث تجزیه ی آن می شود ${\ نمایشگر B}$ مانند $\ displaystyle \ mathbb {F} \ rtimes (\ mathbb {F} ^ {\ بار \ بار \ mathbb {F} ^ {\ بار)}$ جایی که ${\ نمایشگر (a، c)$ عمل می کند ${\ displaystyle b$ توسط ${\ نمایشگر (a، c) (b) = ab$ . این دلالت می کنه که ${\ displaystyle (a، c) (b + b ') = (a، c) (b) + (a، c) (b') = ab + ab '$ . همچنین ، یک ماتریس از فرم

$\ displaystyle {\ شروع {bmatrix} a & b \\ 0 & c \ end {bmatrix}}$

با عنصر مطابقت دارد ${\ نمایشگر (b) \ بار (الف ، ج)}$ در گروه.

زیر گروه Borel [ ویرایش ]

برای یک گروه جبری خطی $ج$ آن زیر گروه بورل به عنوان یک زیر گروه که بسته است، متصل تعریف شده، و قابل حل در $ج$ ، و حداکثر زیر گروه ممکن با این خصوصیات است (توجه داشته باشید که دو مورد دیگر خصوصیات توپولوژیکی هستند). به عنوان مثال ، در $GL_ {n$ و ${\ نمایشگر SL_ {n}}$ گروه ماتریس های مثلثی یا پایین مثلثی دو زیر گروه Borel هستند. مثالی که در بالا آورده شد ، زیر گروه $ب$ که در ${\ نمایشگر GL_ {2}}$ زیر گروه Borel است.

زیر گروه Borel در GL 3 [ ویرایش ]

که در $GL_ {3$ زیر گروه ها وجود دارد

$\ displaystyle B = \ سمت چپ \ {{\ شروع {bmatrix} * & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & 0 & * \ end {bmatrix}} \ Right \}، {\ text {}} U_ {1 = \ سمت چپ \ {{\ آغاز {bmatrix} 1 & * & * \\ 0 & 1 & * \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ Right \}$

$\ displaystyle B / U_ {1} \ kong \ mathbb {F} ^ {\ بار} \ بار \ mathbb {F} ^ {\ بار} \ بار \ mathbb {F} ^ {\ بار}$ از این رو ، گروه بورل فرم دارد

$\ displaystyle U \ rtimes (\ mathbb {F} ^ {\ بار} \ بار \ mathbb {F} ^ {\ بار} \ بار \ mathbb {F} ^ {\ بار})}$

زیر گروه Borel در محصول گروههای جبری خطی ساده [ ویرایش ]

در گروه محصولات ${\ نمایشگر GL_ {n} \ بار GL_ {m}}$ زیر گروه Borel را می توان با ماتریس فرم نشان داد

$\ displaystyle {\ fill bmatrix} T & 0 \\ 0 & S \ end {bmatrix}}}$

جایی که $تی$ هست یک $n \ n n$ ماتریس مثلثی فوقانی و $س$ هست یک $متر \ بار متر$ ماتریس مثلثی فوقانی.

گروه های Z [ ویرایش ]

هر گروه محدود که زیر گروههای p -Sylow آنها چرخه ای است ، یک محصول نیمه مستقیم از دو گروه چرخه ای است ، به ویژه قابل حل است. به این گروه ها گروههای Z گفته می شود .

مقادیر OEIS [ ویرایش ]

تعداد گروه های قابل حل با ترتیب n (شروع با n = 0)

0 ، 1 ، 1 ، 1 ، 2 ، 1 ، 2 ، 1 ، 5 ، 2 ، 2 ، 1 ، 5 ، 1 ، 2 ، 1 ، 14 ، 1 ، 5 ، 1 ، 5 ، 2 ، 2 ، 1 ، 15 ، 2 ، 2 ، 5 ، 4 ، 1 ، 4 ، 1 ، 51 ، 1 ، 2 ، 1 ، 14 ، 1 ، 2 ، 2 ، 14 ، 1 ، 6 ، 1 ، 4 ، 2 ، 2 ، 1 ، 52 ، 2 ، 5 ، 1 ، 5 ، 1 ، 15 ، 2 ، 13 ، 2 ، 2 ، 1 ، 12 ، 1 ، 2 ، 4 ، 267 ، 1 ، 4 ، 1 ، 5 ، 1 ، 4 ، 1 ، 50 ، ... ( دنباله A201733 در OEIS )

سفارشات گروههای غیر قابل حل می باشد

60، 120، 168، 180، 240، 300، 336، 360، 420، 480، 504، 540، 600، 660، 672، 720، 780، 840، 900، 960، 1008، 1020، 1080، 1092، 1140، 1176 ، 1200 ، 1260 ، 1320 ، 1344 ، 1380 ، 1440 ، 1500 ، ... (دنباله A056866 در OEIS )

خواص [ ویرایش ]

قابلیت اطمینان در طی چندین عملیات بسته شده است.

اگر G قابل حل باشد ، و H زیر گروهی از G باشد ، H سپس قابل حل است. [2]
اگر G قابل حل باشد ، و هم همورفیسم از G روی H وجود دارد ، H می تواند قابل حل باشد. معادل (توسط اولین قضیه ایزومورفیسم ) ، اگر G قابل حل باشد ، و N یک زیر گروه عادی از G است ، پس G / N قابل حل است. [3]
ویژگی های قبلی را می توان به "سه برای قیمت دو" در زیر اضافه کرد: G اگر و فقط اگر N و G / N قابل حل باشد قابل حل است. قابل حل باشند قابل حل است.
به ویژه، اگر G و H قابل حل هستند، محصول مستقیم G × H قابل حل است.

قابلیت دستیابی تحت گسترش گروه بسته است :

اگر H و G / H قابل حل باشند ، G نیز چنین است ؛ به ویژه ، اگر N و H قابل حل باشند ، محصول نیمه مستقیم آنها نیز قابل حل است.

همچنین تحت محصول تاج بسته است:

اگر G و H قابل حل هستند، و X است G -set، سپس کالا تاج گل از G و H با توجه به X قابل حل است.

برای هر عدد صحیح مثبت N ، گروههای قابل حل با طول مشتق شده در حداکثر N ، زیر مجموعه ای از انواع مختلف گروهها را تشکیل می دهند ، زیرا تحت گرفتن تصاویر همگن ، subalgebras و (مستقیم) محصولات بسته می شوند . محصول مستقیم دنباله ای از گروه های قابل حل با طول مشتق نشده غیرقابل حل قابل حل نیست ، بنابراین کلاس همه گروه های قابل حل انواع مختلفی ندارد.

قضیه Burnside [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه Burnside

قضیه Burnside است که اگر G یک گروه متناهی از سفارش ص س ب که در آن P و Q می اعداد اول و و ب هستند غیر منفی اعداد صحیح ، پس از آن G قابل حل است.

مفاهیم مرتبط [ ویرایش ]

گروه های قابل حل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: گروه فوق حل پذیر

به عنوان یک تقویت محلولی، یک گروه G به نام supersolvable (یا supersoluble ) اگر آن را تا به ثابت سری طبیعی دیگری که عوامل همه چرخه ای. از آنجایی که یک سریال معمولی به طور مشخص دارای طول محدود است ، گروه های غیر قابل شمارش قابل حل نیستند. در حقیقت ، تمام گروههای فوق حل پذیری به طور نهایی تولید می شوند و یک گروه abelian اگر بطور نهایی تولید شود ، فوق العاده قابل حل است. گروه متناوب A 4 نمونه ای از یک گروه قابل حل با محدود است که قابل حل نیست.

اگر خودمان را محدود به گروههای تولید شده محدود کنیم ، می توانیم ترتیب زیر کلاسهای گروهها را در نظر بگیریم:

حلقوی < abelian < nilpotent < supersolvable < polycyclic < قابل حل < گروه نهایی تولید شده .

گروه های تقریبا قابل حل [ ویرایش ]

یک گروه G نامیده می شود تقریبا قابل حل اگر آن را تا یک زیر گروه قابل حل شاخص های محدود است. این تقریباً شبیه به بیلیون است . واضح است که همه گروه های قابل حل واقعاً قابل حل هستند ، زیرا فرد فقط می تواند خود گروه را که دارای شاخص 1 است ، انتخاب کند.

Hypoabelian [ ویرایش ]

یک گروه قابل حل ، گروهی است که سری مشتق شده آنها در یک مرحله محدود به زیر گروه بی اهمیت می رسد . برای یک گروه نامتناهی ، سری مشتق محدود ممکن است تثبیت نشود ، اما سری مشتق از ترانسفریت همیشه تثبیت می شود. گروهی که سری مشتق از ترانسفینیت آن به گروه بی اهمیت می رسد ، یک گروه hypoabelian نامیده می شود و هر گروه قابل حل ، یک گروه Hypoabelian است. اولین دستورالعمل α به گونه ای است که G ( α ) = G ( α + 1) به طول ( G ) (ترانسفریت) مشتق شده از گروه G گفته می شود و نشان داده شده است که هر ترمینال طول مشتق شده از برخی گروه ها است ( Malcev 1949 ).

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_group

+ نوشته شده در سه شنبه چهاردهم مرداد ۱۳۹۹ ساعت 20:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی