فهرست

تعاریف [ ویرایش ]

فضاهای فرچه را می توان به دو روش معادل تعریف کرد: اولی از متریک ترجمه-متغیر استفاده می کند ، دوم خانواده قابل شمارش از هنجارهای نیمه .

فضای بردار توپولوژیکی X یک فضای فرچه است اگر و فقط در صورت برآورده شدن سه ویژگی زیر:

  • بصورت محلی محدب است . [تعداد 1]
  • توپولوژی آن می توانید شود ناشی از یک متریک، یعنی یک متریک ترجمه ثابت د : X × X → R به طوری که د ( X ، Y ) = D ( X + ، Y + ) برای همه ، X ، Y در X . این بدان معناست که یک زیر مجموعه U از X است باز اگر و تنها اگر برای هر تو در U وجود دارد یک ε> 0 به طوری که {وجود داردv  : d ( v ، u ) <ε a زیرمجموعه U است .
  • هر متریک ترجمه ای بدون تغییر که باعث ایجاد توپولوژی می شود کامل است . به عبارت دیگر ، X یک فضای بردار توپولوژیک کامل است .

هیچ مفهوم طبیعی فاصله ای بین دو نقطه از یک فضای فرچهوجود ندارد: بسیاری از معیارهای مختلف ترجمه-متغیر ممکن است همین توپولوژی را القا کنند.

تعریف جایگزین و تا حدودی کاربردی تر به شرح زیر است: یک فضای بردار توپولوژیکی X یک فضای فرچهاست اگر و فقط اگر سه ویژگی زیر را برآورده کند:

  • این یک فضای Hausdorff است
  • توپولوژی آن ممکن است توسط یک خانواده قابل توجه از هنجارها ناشی شود ||. ||| k ، k = 0،1،2 ، ... این بدان معنی است که زیر مجموعه U از X باز است اگر و فقط اگر برای هر u در U وجود دارد K ≥ 0 و ε> 0 به گونه ای است که { v  : || v - u || k <ε برای همه k ≤ K a زیر مجموعه U است .
  • این کاملاً با توجه به خانواده هنجارها کامل است

یک خانواده\ ریاضی {P} از seminorms در ایکساگر و فقط در صورت داشتن توپولوژی هاسدرف [3]

\ displaystyle \ bigcap _ {\ | \، \ cdot \، \ | \ in {\ mathcal {P}}} \ {x \ in X: \ | x \ | = 0 \} = \ {0 \. }

یک توالی ( x n ) در X به x در فضای Frecchet تعریف شده توسط یک خانواده از نیمی از هنجارها ، اگر و فقط اگر با توجه به هریک از هنجارهای داده شده به x تبدیل شود ، تبدیل می شود.

ساخت فضاهای فرچه[ ویرایش ]

به یاد بیاورید که یک seminorm ǁ ⋅ a تابعی از یک فضای بردار X تا اعداد واقعی است که سه خاصیت را برآورده می کند. برای همه x و y در X و همه مقیاس های c ،

\ | x \ | \ geq 0

\ | x + y \ | \ le \ | x \ | + \ | y \ |

\ | c \ cdot x \ | = | ج | \ | x \ |

اگر ǁ x ǁ = 0 در واقع دلالت بر x = 0 داشته باشد ، ǁ ⋅ ǁ در حقیقت یک هنجار است. با این حال ، seminorms مفید هستند که آنها را قادر می سازیم برای ساخت فضاهای فرچه، به شرح زیر:

برای ساختن یک فضای فرچه، معمولاً از یک فضای بردار X شروع می شود و یک خانواده قابل شمارش از نیمه هنجارها ǁ ⋅ ǁ k را روی X با دو ویژگی زیر تعریف می کند:

  • اگر x ∈ X و ǁ x ǁ k = 0 برای همه k ≥ 0 ، آنگاه x = 0؛
  • اگر ( x n ) دنباله ای در X باشد که Cauchy با توجه به هر نیمه هنجار ǁ ⋅ ǁ k است ، پس x ∈ X وجود دارد به گونه ای که ( x n ) با توجه به هر نیمه هنجار به x تبدیل می شود. ک .

سپس توپولوژی ناشی از این seminorms (همانطور که در بالا توضیح داده شد) X را تبدیل به یک فضای فرچهمی کند. خاصیت اول تضمین می کند که آن هاوسدورف است و دومین خاصیت کامل بودن آن را تضمین می کند. سپس می توان یک معیار کامل بدون تغییر ترجمه را که باعث ایجاد همان توپولوژی در X می شود تعریف کرد

d (x، y) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty 2 ^ {- k} \ frac {\ | xy \ | _k} {1+ \ | xy \ | _k} \ qquad x، y \ in ایکس.

تابع u → u / (1+ u ) نقشه ها [0 ، ∞] به صورت یکنواخت به [0 ، 1) ، و بنابراین تعریف فوق تضمین می کند که d ( x ، y ) "کوچک" باشد و در صورت وجود K " بزرگ "به طوری که ǁ X - Y ǁ K است" کوچک "برای ک = 0، ...،  K .

قضیه [4]  (د Wilde 1978)  -  یک فضای بردار توپولوژیکی X یک فضای فرچهاست اگر و فقط اگر یک فضای وب و فضای Baire باشد.

مثالها [ ویرایش ]

  • هر فضای Banach یک فضای فرچهاست ، زیرا هنجار متریک ترجمه-ثابت را ایجاد می کند و با توجه به این متریک فضای کامل است.
  • فضای برداری C ∞ ([0، 1]) از تمام توابع مشتقپذیر بی نهایت ƒ: [0،1] → R یک فضای فریشه با seminorms می شود

\ | f \ | _k = \ sup \ {| f ^ {(k)} (x) |: x \ in [0،1] \}

برای هر عدد صحیح غیر منفی k . در اینجا، ƒ (K) نشان دهنده K هفتم مشتق ƒ و ƒ (0) = ƒ.

در این فضای Fréchet ، توالی (ƒ n ) توابع به سمت عنصر ƒ C ∞ ([0 ، 1]) همگرایی می شوند اگر و فقط برای هر عدد صحیح غیر منفی k ، دنباله f_n ^ {(k)به طور یکنواخت به طرف ƒ (k ) همگرا می شود .

  • فضای بردار C ∞ ( R ) از تمام عملکردهای بی نهایت قابل تمیز ƒ: R → R تبدیل به فضایی Fréchet با seminorms می شود

\ | f \ | _ {k، n} = \ sup \ {| f ^ {(k) (x) | : x \ in [-n، n] \

برای همه عدد صحیح k ، n  ≥ 0.

  • فضای برداری C m ( R ) از تمام m- times به طور مداوم توابع متمایز: R → R تبدیل به یک فضای Frecchet با seminorms می شود

\ | f \ | _ {k، n} = \ sup \ {| f ^ {(k) (x) | : x \ in [-n، n] \

برای همه عدد صحیح n  ≥ 0 و k = 0 ، ... ، متر .

  • بگذارید H فضای کل عملکردهای (همه جا هولومورفیک ) در صفحه پیچیده باشد. سپس خانواده سمنورها

\ | f \ | _ {n} = \ sup \ {| f (z) | : | z | \ le n \}

باعث می شود H را به یک فضای فریشه.

  • بگذارید H فضای کل توابع (همه جا هولومورف) از نوع نمایی نمایی τ باشد. سپس خانواده سمنورها

\ | f \ | _ {n} = \ sup_ {z \ in \ mathbb {C}} \ exp \ left [- \ left (\ tau + \ frac {1} {n} \ Right) | z | \ Right ] | f (z) |

باعث می شود H را به یک فضای فریشه.

  • اگر M یک C act جمع و جور باشد - منیفولد و B یک فضای Banach است ، پس مجموعه C ∞ ( M ، B ) از تمام عملکردهای مختلف بینهایت متفاوت و متمایز ƒ: M → B را می توان با استفاده از seminorms به فضای Fréchet تبدیل کرد. حد طبیعی هنجارهای همه مشتقات جزئی. اگر M است (نه لزوما جمع و جور) C ∞ -manifold که اذعان می کند یک توالی قابل شمارش K N از زیر مجموعه های جمع و جور، به طوری که هر زیر مجموعه جمع و جور از M در حداقل یک موجودK n ، سپس فضاهای C m ( M ، B ) و C ∞ ( M ، B ) نیز فضایی Fréchet به صورت طبیعی هستند.

به عنوان یک مورد خاص ، هر منیفولد کامل کامل با ابعاد کامل M را می توان در چنین اتحادیه ای توقیف شده از زیر مجموعه های جمع و جور قرار داد: آن را به یک متریک g Riemannian مجهز کنید که یک متریک d ( x ، y ) را القا می کند ، x را در M انتخاب کنید و بگذارید.

\ displaystyle K_ {n} = \ {y \ در M | d (x ، y) \ leq n \} \.

بگذارید X یک C act جمع و جور باشد - منیفولد و V یک بسته بردار بر X است . بگذارید C ∞ ( X ، V ) فضای قسمتهای صاف V را بیش از X نشان دهد . معیارها و اتصالات ریمانی را که وجود آنها تضمین شده است ، در بسته های TX و V انتخاب کنید . اگر s یک بخش است ، مشتق j کوواریانت آن را توسط D j s بیان کنید . سپس

\ | s \ | _n = \ sum_ {j = 0} ^ n \ sup_ {x \ در M} | D ^ js |

(جایی که | ⋅ | هنجاری است که توسط معیار ریمانی ایجاد شده است) خانواده ای از مینورم ها هستند که C ∞ ( M ، V ) را به یک فضای فرچهتبدیل می کنند.

  • فضای R ω از تمام رشته حقیقی یک فضای فریشه می شود اگر تعریف کنیم ک هفتم نیمه هنجار یک دنباله می شود ارزش مطلق از K عنصر توریم از دنباله. همگرایی در این فضای Frecchet معادل همگرایی عناصر خرد است.

همه فضاهای بردار با معیارهای کامل ترجمه-ثابت ، فضاهای فرچهنیستند. به عنوان مثال فضای L p ([0 ، 1]) با p <1. این فضا به صورت محدب محاسبه می شود. این یک فضای F است .

خصوصیات و مفاهیم دیگر [ ویرایش ]

اگر یک فضای فرچه یک هنجار مداوم را بپذیرد ، می توانیم با اضافه کردن هنجار مداوم به هریک از آنها ، تمام seminorm ها را به عنوان یک هنجار در نظر بگیریم. فضای Banach ، C ∞ ([a ، b]) ، C ∞ ( X ، V ) با X جمع و جور ، و H همه هنجارها را می پذیرند ، در حالی که R ω و C ( R ) اینگونه نیستند.

یک فضای فرعی بسته از فضای فرچهیک فضای فرچهاست. مقدار کمی از فضای فرچهتوسط یک فضای فرعی بسته ، یک فضای فرچهاست. جمع مستقیم تعداد محدودی از فضاهای فرچهیک فضای فرچهاست.

چندین ابزار مهم تجزیه و تحلیل عملکردی که بر اساس قضیه رده بندی Baire استوار است ، در فضاهای فرچهدرست است. مثالها قضیه نمودار بسته و قضیه نقشه برداری باز است .

کلیه فضاهای فرچهکلیشه ای است . در تئوری فضاهای کلیشه ای فضاهای فرچهاشیاء دوگانه ای به فضاهای براونر هستند .

هر عملگر خطی محدود از یک فضای فرچهبه یک فضای بردار توپولوژیکی دیگر (TVS) پیوسته است. [5]

وجود دارد یک فضای فریشه وجود دارد X داشتن یک محدود زیر مجموعه B و همچنین یک فضا بردار متراکم M به طوری که B است نه در بسته شدن (در موجود X ) از هر زیر مجموعه محدود از M . [6]

تمایز توابع [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تمایز در فضاهای Fréchet

اگر X و Y فضاهای فرچههستند ، پس فضای L ( X ، Y ) که شامل همه نقشه های خطی مداوم از X تا Y است ، به هیچ وجه یک فضای فرچهنیست. این یک تفاوت عمده بین تئوری فضاهای بانواچ و نظریه فضاهای فرچهاست و برای متفاوت بودن مستمر توابع تعریف شده در فضاهای فرچه، مشتق Gateaux ، تعریف دیگری را ضروری می کند :

فرض کنید X و Y فضاهای فریشه هستند، U یک زیر مجموعه باز است X ، P : U → Y یک تابع باشد، X ∈ U و ساعت ∈ X . ما می گوییم که P اگر در حد h باشد در x در جهت h قابل تشخیص است

D (P) (x) (h) = \ lim_ {t \ to 0} \، \ frac {1} {t} \ Big (P (x + th) -P (x) \ Big)

وجود دارد ما پاسخ P به طور مداوم مشتقپذیر در U اگر

D (P): U \ بار X \ تا Y

پیوسته است از آنجا که محصول فضاهای فرچهدوباره یک فضای فرچهاست ، پس می توانیم سعی کنیم D ( P ) را متمایز کنیم و مشتقات بالاتر P را در این مد تعریف کنیم .

عملگر مشتق P  : C ∞ ([0،1]) → C ∞ ([0،1]) تعریف شده توسط P (ƒ) = ƒ ′ خود بی نهایت متفاوت است. اولین مشتق توسط داده شده است

D (P) (f) (h) = ساعت '

برای هر دو عنصر ƒ و h در C ∞ ([0،1]). این یک مزیت بزرگ از فضای فرچهC ∞ ([0،1]) نسبت به فضای Banach C k ([0،1]) برای k محدود است .

اگر P  : U → Y یک تابع مشتقپذیر به طور مداوم، سپس است معادله دیفرانسیل

x '(t) = P (x (t)) ، \ quad x (0) = x_0 \ in U

نیازی به راه حل ندارید ، و حتی در صورت وجود ، راه حل ها نیز بی نظیر نیستند. این برخلاف اوضاع در فضاهای Banach است.

تابع معکوس قضیه در فضاهای فریشه درست نیست؛ یک جایگزین جزئی قضیه نش –موسر است .

منیفولدهای فرچه و گروههای لی[ ویرایش ]

مقاله اصلی: منیفولد Fréchet

ممکن است یکی از مانیفولدهای فرچهبه عنوان فضاهایی تعریف شود که "بصورت محلی به نظر برسد" فضاهای فرچه(دقیقاً مانند مانیفولد های معمولی به عنوان فضاهایی تعریف می شوند که بصورت محلی شبیه فضای اقلیدسی R n هستند ) ، و سپس می توان مفهوم گروه Lie را بر روی این منیفولدها گسترش داد. این بسیار مفید است زیرا برای یک جمع و جور C ( منفی ) C ∞ منیفولد M ، مجموعه ای از C ∞ diffeomorphism ƒ: M → M یک گروه Lie تعمیم یافته را به این معنا تشکیل می دهد و این گروه Lie تقارن های M را ضبط می کند . برخی از روابط بین دروغ دروغ و گروه های دروغ در این تنظیم معتبر هستند.

مثال مهم دیگر یک گروه Friecie Lie ، گروه حلقه ای از گروه Lie جمع و جور G ، نگاشتهای صاف ( C ∞ ) γ: S 1 → G است که به صورت نقطه با نقطه (γ 1 γ 2 ) ضرب شده است (t) = γ 1 (t ) γ 2 (t). [7] [8]

کلیات [ ویرایش ]

اگر الزام را برای اینکه فضای محلی محدب باشد ، کنار بگذاریم ، فضاهای F را بدست می آوریم : فضاهای بردار با معیارهای ترجمه و ترجمه کامل.

فضاهای LF محدودیتهای استقراری قابل توجهی از فضاهای فرچه هستند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_space