از وی

در ریاضیات ، جمع نابرابری چبیشف ، به نام پافوتیت چبیشف ، نامگذاری شده است و بیان می کند که اگر باشد

a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq \ cdots \ geq a_ {n

و

b_ {1} \ geq b_ {2} \ geq \ cdots \ geq b_ {n،

سپس

{1 \ over n} \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} a_ {k} \ cdot b_ {k} \ geq \ left ({1 \ over n \ sum _ {{k = 1 } ^ {n} a_ {k} \ سمت راست) \ سمت چپ ({1 \ بالای n n \ جمع _ {{k = 1}} ^ {n} b_ {k} \ درست).

به همین ترتیب ، اگر

a_ {1} \ leq a_ {2} \ leq \ cdots \ leq a_ {n

و

b_ {1} \ geq b_ {2} \ geq \ cdots \ geq b_ {n،

سپس

{1 \ over n} \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} a_ {k} b_ {k} \ leq \ left ({1 \ over n} \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} a_ {k} \ راست) \ سمت چپ ({1 \ over n} \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} b_ {k} \ درست).[1]

 

فهرست

اثبات [ ویرایش ]

مبلغ را در نظر بگیرید

S = \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} (a_ {j} -a_ {k}) (b_ {j} -b_ {k })

دو سکانس غیر در حال افزایش است ، بنابراین یک j  -  a k و b j  -  b k برای هر j ،  k یک علامت یکسان دارند . از این رو S  ≥ 0 .

با باز کردن براکت ها ، نتیجه می گیریم:

0 \ leq 2n \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} a_ {j} b_ {j} -2 \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} a_ {j} \، \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} b_ {k} ،

از کجا

\ frac {1} {n} \ sum_ {j = 1} ^ n a_j b_j \ geq \ left (\ frac {1} {n} \ sum_ {j = 1} ^ n a_j \ Right) \، \ left ( \ frac {1} {n} \ sum_ {k = 1} ^ n b_k \ درست).

با نوشتن آن ، یک اثبات جایگزین به سادگی با نابرابری تنظیم مجدد بدست می آید

\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} \ sum _ {j = 0 ^ {n-1} b_ {j} = \ sum _ i = 0} ^ { n-1} \ sum _ {j = 0} ^ {n-1} a_ {i} b_ {j} = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ sum _ {k = 0} ^ n-1} a_ {i} b_ {i + k ~ {\ text {mod}} ~ n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ sum _ {i = 0} ^ { n-1} a_ {i} b_ {i + k ~ {\ text {mod}} ~ n} \ leq \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ sum _ {i = 0} ^ { n-1} a_ {i} b_ {i} = n \ sum _ {i} a_ {i} b_ {i}.}

نسخه مداوم [ ویرایش ]

نسخه مستمر از نابرابری کل چبیشف نیز وجود دارد:

اگر f و g دارای ارزش واقعی باشند ، عملکردهای یکپارچه بیش از [0،1] ، چه افزایش دهنده یا هر دو کاهش نیافته ، سپس

\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} f (x) g (x) \، dx \ geq \ int _ {0} ^ {1} f (x) \، dx \ int _ {0} ^ {1} g (x) \، dx،

اگر نابرابری معکوس شود اگر یکی افزایش نیافته باشد و دیگری کاهش نیافته باشد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_sum_inequality