تبدیل میدان الکترومغناطیسی

[ ویرایش ]

افزایش بار الکتریکی لورنتس؛ شارژ در یک فریم یا فریم دیگر در حالت استراحت است.

نوشتار اصلی: تانسور الکترومغناطیسی

اطلاعات بیشتر: الکترومغناطیس کلاسیک و نسبیت خاص

از تبدیل‌های لورنتس می‌توان برای نشان دادن این موضوع استفاده کرد که میدان مغناطیسی B و میدان الکتریکی E صرفاً جنبه‌های متفاوتی از یک نیرو هستند - نیروی الکترومغناطیسی ، در نتیجه حرکت نسبی بین بارهای الکتریکی و ناظران. [ 29 ] این واقعیت که میدان الکترومغناطیسی اثرات نسبیتی را نشان می دهد با انجام یک آزمایش فکری ساده روشن می شود. [ 30 ]

  • یک ناظر بار را در حالت سکون در قاب F اندازه می‌گیرد. ناظر میدان الکتریکی ساکن را تشخیص می‌دهد. از آنجایی که بار در این قاب ثابت است، جریان الکتریکی وجود ندارد، بنابراین ناظر هیچ میدان مغناطیسی را مشاهده نمی کند.
  • ناظر دیگر در کادر F′ با سرعت v نسبت به F و بار حرکت می کند. این ناظر میدان الکتریکی متفاوتی را می بیند زیرا بار با سرعت − v در قاب استراحت خود حرکت می کند. حرکت بار مربوط به جریان الکتریکی است و بنابراین ناظر در قاب F' نیز میدان مغناطیسی را می بیند.

میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی متفاوت از مکان و زمان تغییر می‌کنند، اما دقیقاً مانند تکانه زاویه‌ای نسبیتی و بردار تقویت.

تانسور قدرت میدان الکترومغناطیسی توسط

{\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-{\frac {1}{c}}E_{x}&-{\frac {1}{c}}E_{y} &-{\frac {1}{c}}E_{z}\\{\frac {1}{c}}E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {1}{c}}E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {1}{c}}E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end {bmatrix}}{\text{(واحد SI، امضا }}(+,-,-,-){\text{)}}.}

در واحدهای SI در نسبیت، سیستم واحدهای گاوسی اغلب بر واحدهای SI ترجیح داده می شود، حتی در متونی که انتخاب اصلی واحدهای آنها واحدهای SI است، زیرا در آن، میدان الکتریکی E و القای مغناطیسی B واحدهای یکسانی دارند که میدان الکترومغناطیسی را نشان می دهند. تانسور طبیعی تر [ 31 ] تقویت لورنتس را در جهت x در نظر بگیرید . توسط [ 32 ] ارائه شده است

{\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \\\end{bmatrix}}،\qquad F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y} &-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}{\text{(گاوسی واحدها، امضا }}(-،+،+،+){\text{)}}،}

جایی که تانسور میدان در کنار هم برای ساده ترین مرجع ممکن در دستکاری های زیر نمایش داده می شود.

قانون تبدیل کلی (T3) می شود

{\displaystyle F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \ nu }.}

برای میدان مغناطیسی یک به دست می آید

{\displaystyle {\begin{aligned}B_{x'}&=F^{2'3'}={\Lambda ^{2}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{2}}_{2}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{23}=1\times 1 \ بار B_{x}\\&=B_{x}،\\B_{y'}&=F^{3'1'}={\Lambda ^{3}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{3\nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{30}+{\Lambda ^{3}}_{3 }{\Lambda ^{1}}_{1}F^{31}\\&=1\times (-\beta \gamma )(-E_{z})+1\times \gamma B_{y}=\گاما B_{y}+\بتا \گاما E_{z}\\&=\گاما \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{y}\\B_{z'}&=F^{1'2'}={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2 }={\Lambda ^{1}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{1}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=(-\گاما \بتا)\times 1\times E_{y}+\gamma \times 1\times B_{z}=\gamma B_ {z}-\beta \gamma E_{y}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{z}\end{تراز شده}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}E_{x'}&=F^{0'1'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{10}+{\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{01}\\&=(-\gamma \beta )(-\gamma \beta)(-E_{x} )+\گاما \گاما E_{x}=-\گاما ^{2}\بتا ^{2}(E_{x})+\گاما ^{2}E_{x}=E_{x}(1-\بتا ^{2})\گاما ^{2}\\&=E_{x}،\\E_{y'}&=F^{ 0'2'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{2}} _{2}F^{02}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=\gamma \times 1 \ بار E_{y}+(-\بتا \گاما )\بار 1\بار B_{z}=\گاما E_{y}-\بتا \گاما B_{z}\\&=\گاما \لفت(\ mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{y}\\E_{z'}&=F^{0'3'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{3}F^{\mu 3}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{03}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{3}}_{3 }F^{13}\\&=\گاما \times 1\times E_{z}-\beta \gamma \times 1\times (-B_{y})=\گاما E_{z}+\beta \gamma B_{y}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{z} .\end{تراز شده}}}

در اینجا β = ( β ، 0، 0) استفاده می شود. این نتایج را می توان با خلاصه

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\parallel '}&=\mathbf {E} _{\parallel }\\\mathbf {B} _{\parallel '}&=\mathbf { B} _{\ موازی }\\\mathbf {E} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{\bot },\\\mathbf {B} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {B} -{ \boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{\bot }،\end{تراز شده}}}

و مستقل از امضای متریک هستند. برای واحدهای SI، E → E ⁄ c را جایگزین کنید . Misner، Thorne & Wheeler (1973) این آخرین شکل را به عنوان نمای 3 + 1 در مقابل نمای هندسی نشان داده شده توسط عبارت تانسور می نامند

{\displaystyle F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \ nu },}

و به راحتی می توان به نتایجی که دستیابی به آنها با استفاده از نمای 3 + 1 دشوار است به دست آورد و درک کرد. فقط اشیایی که دارای خواص تبدیل لورنتس به خوبی تعریف شده باشند (در واقع تحت هر تبدیل مختصات صاف) اشیای هندسی هستند. در نمای هندسی، میدان الکترومغناطیسی یک جسم هندسی شش بعدی در فضا-زمان است که در مقابل دو میدان 3 برداری به هم وابسته، اما مجزا در فضا و زمان است . فیلدهای E (به تنهایی) و B (به تنهایی) خواص تبدیل لورنتس به خوبی تعریف نشده اند. زیربنای ریاضی معادلات (T1) و (T2) هستند که بلافاصله (T3) را می دهند . باید توجه داشت که تانسورهای اولیه و بدون آغاز به یک رویداد در فضازمان اشاره دارند . بنابراین معادله کامل با وابستگی فضازمان است

{\displaystyle F^{\mu '\nu '}\left(x'\right)={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\ nu }F^{\mu \nu }\left(\Lambda ^{-1}x'\right)={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }(x).}

انقباض طول بر چگالی بار ρ و چگالی جریان J تأثیر دارد ، و اتساع زمانی بر سرعت جریان بار (جریان) تأثیر دارد، بنابراین توزیع بار و جریان باید به روشی مرتبط تحت یک تقویت تغییر کند. به نظر می رسد که آنها دقیقاً مانند فضا-زمان و انرژی- تکانه چهار بردار تغییر شکل می دهند

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} '&=\mathbf {j} -\gamma \rho v\mathbf {n} +\left(\gamma -1\right)(\mathbf {j} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -\mathbf {j} \cdot {\frac {v\mathbf {n} }{c^{2}}}\right),\end{تراز شده}}}

یا در نمای هندسی ساده تر،

{\displaystyle j^{\mu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }j^{\mu }.}

چگالی بار به عنوان جزء زمان یک چهار بردار تبدیل می شود. این یک اسکالر چرخشی است. چگالی جریان 3 بردار است.

معادلات ماکسول تحت تبدیل لورنتس ثابت هستند.