گروه لیSO + (3،1)

[ ویرایش ]

مجموعه تحولات{\displaystyle \{B({\boldsymbol {\zeta }})،R({\boldsymbol {\theta }})،\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }}،{\boldsymbol {\theta }}) \}}با ضرب ماتریس به عنوان عملیات ترکیب، گروهی به نام "گروه لورنتس محدود" را تشکیل می دهد و گروه متعامد نامعین ویژه SO + (3،1) است. (علامت مثبت نشان می دهد که جهت بعد زمانی را حفظ می کند).

برای سادگی، به تقویت بی نهایت کوچک لورنتس در جهت x نگاه کنید (بررسی یک تقویت در هر جهت دیگر، یا چرخش حول هر محور، از یک روش مشابه پیروی می کند). تقویت بینهایت کوچک یک تقویت کوچک دور از هویت است که با بسط تیلور ماتریس تقویت به مرتبه اول حدود ζ = 0 به دست می آید .{\displaystyle B_{x}=I+\zeta \left.{\frac {\partial B_{x}}{\partial \zeta }}\right|_{\zeta =0}+\cdots }که در آن عبارات مرتبه بالاتر نشان داده نشده قابل چشم پوشی هستند زیرا ζ کوچک است و Bx صرفاً ماتریس تقویت در جهت x است . مشتق ماتریس، ماتریس مشتقات است (از ورودی ها، با توجه به همان متغیر)، و مشخص است که مشتقات ابتدا پیدا می شوند سپس در ζ = 0 ارزیابی می شوند

{\displaystyle \left.{\frac {\partial B_{x}}{\partial \zeta }}\right|_{\zeta =0}=-K_{x}\,.}

در حال حاضر، Kx با این نتیجه تعریف می شود (اهمیت آن به زودی توضیح داده خواهد شد). در حد تعداد نامتناهی گام های بی نهایت کوچک، تبدیل تقویت محدود به صورت نمایی ماتریسی به دست می آید.

{\displaystyle B_{x}=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {\zeta }{N}}K_{x}\right)^{N}=e^{- \zeta K_{x}}}که در آن از تعریف حدی نمایی استفاده شده است (همچنین به توصیفات تابع نمایی مراجعه کنید ). به طور کلی تر [ nb 5 ]

{\displaystyle B({\boldsymbol {\zeta }})=e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} }\,,\quad R({\boldsymbol {\theta }} )=e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }\,.}

بردار محور-زاویه θ و بردار سرعت ζ مجموعاً شش متغیر پیوسته هستند که پارامترهای گروه (در این نمایش خاص) را تشکیل می‌دهند و مولدهای گروه K = ( Kx ، Ky ، Kz ) و J = هستند. ( J x , J y , J z ) , هر بردار ماتریس با اشکال صریح [ nb 6 ]

{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}K_{x}&={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad &K_{y}&={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad &K_{z}&={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\\[10mu]J ‎ &J_{y}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad &J_{z}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\end{alignedat}}}

همه اینها به روشی مشابه با Kx در بالا تعریف شده اند ، اگرچه علائم منفی در ژنراتورهای تقویت کننده معمولی هستند. از نظر فیزیکی، مولدهای گروه لورنتس با تقارن های مهم در فضازمان مطابقت دارند: J مولدهای چرخشی هستند که با تکانه زاویه ای مطابقت دارند و K مولدهای تقویت کننده هستند که با حرکت سیستم در فضازمان مطابقت دارند. مشتق هر منحنی صاف C ( t ) با C (0) = I در گروه بسته به برخی از پارامترهای گروه t با توجه به آن پارامتر گروه، که در t = 0 ارزیابی می شود ، به عنوان تعریفی از مولد گروه مربوطه G عمل می کند . و این نشان دهنده یک دگرگونی بی نهایت کوچک از هویت است. منحنی صاف را می توان همیشه به عنوان یک نمایی در نظر گرفت زیرا نمایی همیشه G را به آرامی به گروه از طریق t → exp( tG ) برای همه t نگاشت می کند . این منحنی هنگامی که در t = 0 متمایز شود، G را دوباره به دست می دهد .

گسترش نمایی در سری تیلور آنها به دست می آید

{\displaystyle B({\boldsymbol {\zeta }})=I-\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}}

{\displaystyle R({\boldsymbol {\theta }})=I+\sin \theta (\mathbf {e} \cdot \mathbf {J})+(1-\cos \theta)(\mathbf {e} \ cdot \mathbf {J} )^{2}\,.}ک

ه به طور فشرده ماتریس های تقویت و چرخش را همانطور که در بخش قبل ارائه شد بازتولید می کنند.

بیان شده است که تبدیل مناسب لورنتز ضرب یک تقویت و چرخش است. در سطح بینهایت کوچک

{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda &=(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +\cdots )(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf { J} +\cdots )\\&=(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots )(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +\cdots )\\&=I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf { K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots \end{تراز شده}}}

جابجایی است زیرا فقط عبارت های خطی مورد نیاز است (ضرب مانند ( θ · J ) ( ζ · K ) و ( ζ · K ) ( θ · J ) به عنوان عبارات مرتبه بالاتر محسوب می شوند و قابل اغماض هستند). گرفتن حد مانند قبل منجر به تبدیل متناهی به شکل نمایی می شود

{\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\ تتا }}\cdot \mathbf {J} }.}

عکس این قضیه نیز صادق است، اما تجزیه یک تبدیل کلی متناهی لورنتس به چنین عواملی بی اهمیت است. به طور خاص

{\displaystyle e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }\neq e^{-{\boldsymbol {\ zeta }}\cdot \mathbf {K} }e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }،}زیرا ژنراتورها رفت و آمد نمی کنند. برای توضیح چگونگی یافتن عوامل یک تبدیل عمومی لورنتز بر حسب یک تقویت و یک چرخش در اصل (این معمولاً یک عبارت قابل درک از نظر ژنراتورهای J و K به دست نمی دهد )، به چرخش ویگنر مراجعه کنید . از طرف دیگر، اگر تجزیه بر حسب ژنراتورها داده شود، و کسی بخواهد محصول را بر حسب ژنراتورها پیدا کند، فرمول Baker-Campbell-Hausdorff اعمال می شود.