بسیاری از ذرات

شرودینگر همیلتونیننذرات:{\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}}جایی که{\displaystyle {\hat {V}}=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)}

تابع انرژی پتانسیل است که اکنون تابعی از پیکربندی فضایی سیستم و زمان است (مجموعه خاصی از موقعیت های مکانی در یک لحظه از زمان یک پیکربندی را تعریف می کند) و

{\displaystyle {\hat {T}}_{n}={\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_ {n}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{n}}}\nabla _{n}^{2}}

عملگر انرژی جنبشی ذره است،{\displaystyle \nabla _{n}}گرادیان برای nذره است، و{\displaystyle \nabla _{n}^{2}}لاپلاسی برایn ذره است :

{\displaystyle \nabla _{n}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}} {\partial y_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{n}^{2}}},}

با ترکیب اینها، شرودینگر همیلتونین براینن- مورد ذرات:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}\ \[6pt]&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n} {2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\\[6pt ]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n} ^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\end{تراز شده}}}

با این حال، ممکن است در مشکل ن- مورد ذرات عوارضی ایجاد می شود . از آنجایی که انرژی پتانسیل به آرایش فضایی ذرات بستگی دارد، انرژی جنبشی نیز برای حفظ انرژی به پیکربندی فضایی بستگی دارد. حرکت هر یک از ذرات به دلیل حرکت تمام ذرات دیگر در سیستم متفاوت است. به همین دلیل ممکن است اصطلاحات متقاطع برای انرژی جنبشی در همیلتون ظاهر شود. ترکیبی از گرادیان برای دو ذره:

{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{i}\cdot \nabla _{j}}

جایی که م نشان دهنده جرم مجموعه ذرات است که منجر به این انرژی جنبشی اضافی می شود. اصطلاحات این شکل به عنوان اصطلاحات قطبش جرم شناخته می شوند و در هامیلتونی بسیاری از اتم های الکترون ظاهر می شوند (به زیر مراجعه کنید).

برایننذرات برهم کنش، یعنی ذراتی که برهم کنش متقابل دارند و یک موقعیت چند بدنه را تشکیل می دهند، تابع انرژی پتانسیلVصرفاً مجموعه ای از پتانسیل های جداگانه نیست (و قطعاً یک ضرب نیست، زیرا این از نظر ابعادی نادرست است). تابع انرژی پتانسیل را فقط می توان به صورت بالا نوشت: تابعی از تمام موقعیت های فضایی هر ذره.

برای ذرات غیر متقابل، یعنی ذراتی که برهم کنش متقابل ندارند و به طور مستقل حرکت می کنند، پتانسیل سیستم مجموع انرژی پتانسیل جداگانه برای هر ذره است، [1] یعنی{\displaystyle V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r} _{i},t)=V(\mathbf {r} _{1},t)+V(\ mathbf {r} _{2},t)+\cdots +V(\mathbf {r} _{N},t)}

شکل کلی همیلتونی در این مورد به صورت زیر است:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac { 1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\[6pt]&=\sum _{i=1 }^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\[6pt] &=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end{تراز شده}}}

که در آن مجموع تمام ذرات و پتانسیل های مربوط به آنها گرفته می شود. نتیجه این است که هامیلتونی سیستم، مجموع همیلتونین های جداگانه برای هر ذره است. این یک وضعیت ایده آل است - در عمل، ذرات تقریباً همیشه تحت تأثیر برخی پتانسیل ها قرار می گیرند، و برهم کنش های بسیاری از ذرات وجود دارد.