تبدیل لاپلاس | روش جدولی نمونه هایی از تاریخچه تبدیل لاپلاس

تبدیل لاپلاس تکنیکی برای حل معادلات دیفرانسیل است. در اینجا ابتدا معادله دیفرانسیل فرم حوزه زمان به یک معادله جبری فرم حوزه فرکانس تبدیل می شود. پس از حل معادله جبری در حوزه فرکانس، نتیجه در نهایت به فرم حوزه زمان تبدیل می شود تا جواب نهایی معادله دیفرانسیل به دست آید. به عبارت دیگر می توان گفت تبدیل لاپلاس فقط یک روش میانبر برای حل معادلات دیفرانسیل است. در این مقاله به تبدیل لاپلاس
خواهیم پرداختو نحوه استفاده از آنها برای حل معادلات دیفرانسیل. آنها همچنین روشی را برای تشکیل یک تابع انتقال برای یک سیستم ورودی ارائه می دهند، اما در اینجا مورد بحث قرار نخواهد گرفت. آنها بلوک های اصلی مهندسی کنترل را با استفاده از نمودارهای بلوکی و غیره ارائه می دهند.

شکل‌های بسیاری از تبدیل‌ها در حال حاضر وجود دارد، اما تبدیل‌های لاپلاس و تبدیل فوریه معروف‌ترین آنها هستند. تبدیل لاپلاس معمولاً برای ساده کردن یک معادله دیفرانسیل به یک مسئله جبری ساده و قابل حل استفاده می شود. حتی زمانی که جبر کمی پیچیده می شود، باز هم حل آن آسان تر از حل یک معادله دیفرانسیل است.
یک قیاس جالب که می تواند به درک لاپلاس کمک کند این است. تصور کنید که با یک شعر انگلیسی روبرو می شوید که متوجه نمی شوید. اما شما یک دوست اسپانیایی دارید که در بیان این اشعار عالی است. بنابراین شما این شعر را به اسپانیایی ترجمه می کنید و برای او می فرستید، سپس او این شعر را به زبان اسپانیایی توضیح می دهد و برای شما باز می فرستد. شما توضیح اسپانیایی را درک می کنید و سپس می توانید معنای شعر را به انگلیسی منتقل کنید و در نتیجه شعر انگلیسی را درک کنید.

تبدیل لاپلاس در کجای زندگی واقعی استفاده می شود؟

تبدیل لاپلاس از قانون لغو لرچ گرفته شده است. در روش تبدیل لاپلاس، تابع در حوزه زمان به تابع لاپلاس در حوزه فرکانس تبدیل می شود. این تابع لاپلاس به شکل یک معادله جبری خواهد بود و به راحتی قابل حل است. راه حل دوباره می تواند با استفاده از تبدیل لاپلاس معکوس به حوزه زمان تبدیل شود.
این تبدیل بیشتر برای سیستم های کنترلی استفاده می شود، همانطور که در بالا به اختصار اشاره شد. تبدیل ها برای مطالعه و تجزیه و تحلیل سیستم هایی مانند تهویه، گرمایش و شرایط هوا و غیره استفاده می شوند. این سیستم ها در هر ساختمان و ساختمان مدرن استفاده می شود.
تبدیل لاپلاس نیز برای کنترل فرآیند مهم است. به تجزیه و تحلیل متغیر کمک می کند که وقتی تغییر می کند نتایج مورد نیاز را می دهد. نمونه ای از این را می توان در آزمایشات با گرما یافت.

جدای از این دو مثال، تبدیل های لاپلاس در بسیاری از کاربردهای مهندسی مورد استفاده قرار می گیرند و روش بسیار مفیدی هستند. هم در مهندسی الکترونیک و هم در مهندسی مکانیک مفید است.
کنترل یک سیستم کنترل دینامیکی اعم از الکتریکی، مکانیکی، حرارتی، هیدرولیک و غیره را می توان با یک معادله دیفرانسیل نشان داد. معادله دیفرانسیل سیستم بر اساس قوانین فیزیکی حاکم بر یک سیستم به دست می آید. برای تسهیل حل یک معادله دیفرانسیل که یک سیستم کنترل را توصیف می کند، معادله به شکل جبری تبدیل می شود. این تبدیل با استفاده از تکنیک تبدیل لاپلاس انجام می شود ، یعنی معادله دیفرانسیل حوزه زمان به یک ضریب فرکانس الفبایی جبری تبدیل می شود.

تعریف تبدیل لاپلاس

فرض کنید f (t) تابع t باشد، زمان برای همه t ≥ 0
سپس تبدیل لاپلاس f (t)، F (s) را می توان به صورت تعریف کرد.

با فرض وجود انتگرال. که در آن اپراتور لاپلاس، s = σ + jω; واقعی یا مختلط خواهد بود j = √ (-1)

معایب روش تبدیل لاپلاس

از تبدیل لاپلاس فقط می توان برای حل معادلات دیفرانسیل پیچیده استفاده کرد و مانند همه روش های خوب، یک ایراد دارد که ممکن است چندان بزرگ به نظر نرسد. یعنی فقط می توانید از این روش برای حل معادلات دیفرانسیل با ثابت های شناخته شده استفاده کنید. اگر معادله ای بدون ثابت شناخته شده دارید، این روش بی فایده است و باید روش دیگری پیدا کنید.

تاریخچه تحولات لاپلاس

تبدیل در ریاضیات شامل تبدیل یک تابع به تابع دیگری است که ممکن است در همان حوزه نباشد. روش تبدیل در آن دسته از مسائلی که به طور مستقیم قابل حل نیستند کاربرد خود را پیدا می کند. این دگرگونی به نام ریاضیدان و ستاره شناس معروف پیر سیمون لاپلاس که در فرانسه زندگی می کرد نامگذاری شده است.

او تغییری مشابه را برای اضافات خود به نظریه احتمال اعمال کرد. پس از جنگ جهانی دوم رایج شد. این تحول توسط الیور هیوساید، مهندس برق انگلیسی رایج شد. دانشمندان مشهور دیگری مانند نیلز آبل، ماتیاس لرچ و توماس برومویچ در قرن نوزدهم از آن استفاده کردند.
تاریخ کامل تبدیل لاپلاس را می توان کمی بیشتر در گذشته دنبال کرد، به ویژه در سال 1744. این زمانی است که ریاضیدان بزرگ دیگری به نام لئونارد اویلر در مورد انواع دیگر انتگرال ها تحقیق کرد. با این حال، اویلر آن را چندان دنبال نکرد و آن را رها کرد. یکی از ستایشگران اویلر به نام جوزف لاگرانژ. تغییراتی در کار اویلر ایجاد کرد و کار را ادامه داد. کار لاگرانژ 38 سال بعد توجه لاپلاس را به خود جلب کرد، در سال 1782، جایی که او از جایی که اویلر متوقف شد ادامه داد. اما 3 سال بعد نبود. در سال 1785، جایی که لاپلاس نبوغی داشت و روش حل معادلات دیفرانسیل را برای همیشه تغییر داد. او به کار بر روی آن ادامه داد و تا سال 1809 به باز کردن قدرت واقعی تبدیل لاپلاس ادامه داد، زمانی که شروع به استفاده از بی نهایت به عنوان یک شرط جدایی ناپذیر کرد.

روش برای تبدیل لاپلاس

تبدیل لاپلاس بخش مهمی از مهندسی سیستم کنترل است. برای مطالعه یا تجزیه و تحلیل یک سیستم کنترل، باید تبدیل لاپلاس توابع مختلف (تابع زمان) را انجام دهیم. لاپلاس معکوس نیز ابزار مهمی برای یافتن تابع f(t) از فرم لاپلاس است. هر دو تبدیل لاپلاس معکوس و لاپلاس دارای ویژگی های خاصی در تجزیه و تحلیل سیستم های کنترل دینامیکی هستند. ترانسفورماتور لاپلاس دارای چندین ویژگی برای سیستم های خطی است. ویژگی های مختلف عبارتند از:
خطی بودن، تمایز، ادغام، ضرب، تغییر فرکانس، مقیاس بندی زمانی، جابجایی زمانی، کانولوشن، صرف، تابع تناوبی. دو قضیه بسیار مهم در رابطه با سیستم های کنترل وجود دارد. اینها هستند :

1. قضیه مقدار اولیه (IVT)
2. قضیه مقادیر محدود (FVT)

تبدیل لاپلاس بر روی تعدادی از توابع انجام می شود که عبارتند از - ضربه، تکانه واحد، گام، گام واحد، گام واحد جابجا شده، رمپ، واپاشی نمایی، سینوس، کسینوس، سینوس هذلولی، کسینوس هذلولی، لگاریتم طبیعی، تابع بسل. اما مزیت اصلی استفاده از تبدیل لاپلاس حل آسان معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر با تبدیل به معادلات جبری است.
برای انجام تبدیل لاپلاس یک تابع زمان، مراحل خاصی باید دنبال شود. برای تبدیل یک تابع معین از زمان f (t) به تبدیل لاپلاس مربوطه، باید مراحل زیر را دنبال کنیم:

• ابتدا f (t) را در e -St ضرب کنید ، s یک عدد مختلط است (s = σ + jω).
• این محصول را با محدودیت هایی مانند صفر و بی نهایت ادغام کنید. این ادغام منجر به تبدیل لاپلاس f(t) می شود که با F(s) نشان داده می شود.

تابع زمان f (t) از تبدیل لاپلاس توسط فرآیندی به نام تبدیل لاپلاس معکوس بدست می آید و با £ -1 نشان داده می شود.

ویژگی های تبدیل لاپلاس

خصوصیات اصلی تبدیل لاپلاس را می توان به صورت زیر خلاصه کرد:
خطی بودن: فرض کنید C 1 و C 2 ثابت باشند. f (t)، g (t) توابع زمان، t، سپس

اولین جمله تغییر دهنده:

ویژگی ارزش مقیاس:

تفکیک:

ادغام:

تغییر زمان:
اگر L {f (t)} = F (s)، تبدیل لاپلاس f (t) پس از تاخیر زمانی، T برابر است با حاصلضرب تبدیل لاپلاس f (t) و e -St آن است

در جایی که u (tT) تابع گام واحد را نشان می دهد.
حاصل ضرب:
اگر L {f (t)} = F (s)، حاصل ضرب دو تابع f 1 (t) و f 2 (t) است.

قضیه ارزش نهایی:

این قضیه در تجزیه و تحلیل و طراحی سیستم کنترل بازخورد مرتبط است، زیرا تبدیل لاپلاس یک راه حل برای شرایط اولیه
قضیه ارزش اولیه ارائه می دهد:

اجازه دهید روش های تبدیل لاپلاس را برای یک تابع ساده f (t) = e αt بررسی کنیم تا موضوع را بهتر درک کنیم.

با مقایسه راه حل فوق می توانیم بنویسیم،

به طور مشابه، با تنظیم α = 0، به دست می آوریم،

به طور مشابه، با تنظیم α = jω، دریافت می کنیم

بدین ترتیب،

بیایید نمونه دیگری از روش های تبدیل لاپلاس را برای تابع بررسی کنیم

دوباره شکل تبدیل لاپلاس e t است،

این فرم لاپلاس را می توان به صورت بازنویسی کرد

حال از تعریف سری توان دریافت می کنیم،

جدول تبدیل لاپلاس

همیشه جدولی در دسترس مهندس است که حاوی اطلاعاتی در مورد تبدیل های لاپلاس است. نمونه ای از جدول تبدیل لاپلاس در زیر انجام شده است. از جدول زیر با تبدیل لاپلاس توابع رایج مختلف آشنا می شویم.

مثالی از تبدیل لاپلاس

معادله را با تبدیل لاپلاس حل کنید

با استفاده از جدول بالا، معادله را می توان به شکل لاپلاس تبدیل کرد:

با استفاده از داده های داده شده در سوال، فرم لاپلاس را می توان ساده کرد.

قسمت هایی از (s 2 + 3s + 2) می دهد

این را می توان با استفاده از کسرهای جزئی حل کرد که راحت تر از حل آن در شکل قبلی است. ابتدا باید مخرج را فاکتور گرفت.

ضرب متقاطع به دست می دهد:

سپس باید ضرایب A و B را پیدا کرد

با جایگزینی در معادله:

با استفاده از جدول بالا می توان این معادله را به حالت عادی تبدیل کرد.
مثال هایی برای امتحان کردن
تبدیل لاپلاس معکوس موارد زیر را محاسبه و چاپ کنید، توصیه می شود جدولی از تبدیل های لاپلاس را به صورت آنلاین پیدا کنید:

پاسخ

نمونه های بیشتری از تبدیل لاپلاس

منبع

https://riverglennapts.com/no/laplace/503-laplace-transforms-table-method-examples-history-of-laplace-transform.html