ماتریس ضد هرمیت یا ضد هرمیت چیست؟

یک ماتریس ضد هرمیت یا ماتریس ضد هرمیت، یک ماتریس مربع با اعداد مختلط است که ترانهاده مزدوج آن برابر با یک ماتریس اما با علامت متفاوت است.

ماتریس مزدوج ترانهاده شده کجاست .

به عنوان یک کنجکاوی، این نوع ماتریس به این شکل نامیده می شود زیرا شرایط مخالف ماتریس همیلتونی را دارد که نام آن از ریاضیدان مهم فرانسوی چارلز هرمیت، استاد و محقق ریاضی قرن 19 که مطالعات مهمی به ویژه در حوزه جبر خطی

نمونه هایی از ماتریس های ضد هرمیت

وقتی تعریف ماتریس ضد هرمیت (یا ماتریس ضد هرمیت) را دیدیم، چند نمونه از ماتریس های ضد هرمیت را در ابعاد مختلف مشاهده می کنیم:

نمونه ای از ماتریس ضد هرمیت درجه 2×2

ماتریس ضد هرمیت یا ضد هرمیت با ابعاد 2x2

نمونه ای از ماتریس ضد هرمیت به ابعاد 3×3

ماتریس ضد هرمیت یا ضد هرمیت با ابعاد 3x3

نمونه ماتریس ضد هرمیت سایز 4×4

ماتریس ضد هرمیت یا ضد هرمیت با ابعاد 4*4

همانطور که می بینید، ماتریس های A، B و C ضد هرمیت هستند زیرا ماتریس ترانسپوز مزدوج هر یک برابر با خود ماتریس است اما با علامت تغییر همه عناصر.

ساختار یک ماتریس ضد هرمیت

اگر به مثال‌های قبلی نگاه کرده باشید، ماتریس‌های ضد هرمیتی همیشه ساختار یکسانی دارند: آنها از اعداد خیالی (بدون قسمت واقعی) در مورب اصلی و عنصر مختلط واقع در ردیف i-ام و تشکیل شده‌اند. ستون j باید همان قسمت خیالی و همان قسمت واقعی را داشته باشد اما علامت تغییر یافته به عنوان عنصر ردیف j و ستون ith باشد.

اگرچه نوشته شده ممکن است کمی پیچیده به نظر برسد، مطمئناً با مثال زیر بهتر درک می شود:

ساختار یک ماتریس ضد هرمیت به ابعاد 2×2

$\displaystyle \begin{pmatrix} ai & b+ci\\[1.1ex]-b+ci & di \end{pmatrix}$

همانطور که می بینید، عناصر قطر اصلی یک ماتریس ضد هرمیت کاملاً تخیلی هستند و عناصر مورب ثانویه همان قسمت خیالی و قسمت واقعی تغییر علامت دارند.

بنابراین، بخش واقعی یک ماتریس ضد هرمیت باید متقارن و قسمت خیالی متقارن باشد.

خواص ماتریس ضد هرمیت

حال خواهیم دید که این نوع ماتریس مختلط مربع چه ویژگی هایی دارد:

هر ماتریس ضد هرمیت نمونه ای از یک ماتریس معمولی است . اگرچه همه ماتریس های نرمال ماتریس های ضد هرمیتی نیستند.

هر ماتریس ضد هرمیت قابل مورب شدن است. علاوه بر این، ماتریس مورب به‌دست‌آمده فقط حاوی عناصر کاملاً خیالی است.

بنابراین، مقادیر ویژه (یا مقادیر ویژه) یک ماتریس ضد هرمیت همیشه اعداد خیالی هستند.

به همین ترتیب، بردارهای ویژه (یا بردارهای ویژه) مقادیر ویژه مختلف یک ماتریس ضد هرمیت متعامد هستند.

ماتریسی از اعداد حقیقی، یعنی هیچ عنصری دارای بخش خیالی نیست، اگر و فقط اگر یک ماتریس ضد متقارن باشد، ضد هرمیت است .

یک ماتریس ضد هرمیت را می توان به صورت مجموع یک ماتریس ضد متقارن واقعی به اضافه یک ماتریس متقارن خیالی بیان کرد .

مجموع (یا تفریق) دو ماتریس ضد هرمیت برابر با ماتریس ضد هرمیت دیگری است.

حاصل حاصلضرب یک ماتریس ضد هرمیت و یک اسکالر، اگر اسکالر یک عدد واقعی باشد، ماتریس ضد هرمیت دیگری است.

قدرت یک ماتریس ضد هرمیتی برابر با یک ماتریس ضد هرمیت است اگر نما فرد باشد، از طرف دیگر اگر به توان زوج افزایش یابد، نتیجه یک ماتریس هرمیتی خواهد بود.

اگر یک ماتریس ضد هرمیت باشد، پس محصول یک ماتریس هرمیتی است.

تجزیه یک ماتریس پیچیده به یک ماتریس ضد هرمیت و یک ماتریس هرمیتی

هر ماتریس حاوی اعداد مختلط را می توان به مجموع یک ماتریس ضد هرمیت به اضافه یک ماتریس هرمیتی دیگر تجزیه کرد . اما برای این کار باید ویژگی های زیر این نوع ماتریس ها را بدانیم:

مجموع یک ماتریس مختلط مربع به اضافه مزدوج ترانهاده شده آن معادل یک ماتریس هرمیتی (یا هرمیتی) است:

$C + C^* = \text{ماتریس هرمیتین}$

تفاوت بین یک ماتریس مختلط مربعی و مزدوج ترانهاد گردیده آن برابر با یک ماتریس ضد هرمیت است:

$C - C^* = \text{ماتریس ضد هرمیت}$

بنابراین، تمام ماتریس های پیچیده را می توان به مجموع یک ماتریس هرمیت و یک ماتریس ضد هرمیت تجزیه کرد. این قضیه به تجزیه تئوپلیتز معروف است :

$\displaystyle \begin{آرایه}{c} C = A + B \\[2ex] A = \cfrac{1}{2}\cdot (C+C^*) \qquad B = \cfrac{1}{2 } \cdot (CC^*)\end{آرایه}$

در جایی که C ماتریس مختلطی است که می‌خواهیم تجزیه کنیم، C* مزدوج ترانهاده شده آن، و در نهایت A و B به ترتیب ماتریس‌های هرمیتی و ضد هرمیتی هستند که ماتریس C به آن تجزیه می‌شود.

فیس بوک توییتر پست الکترونیک لینکدین واتس اپ Google Classroom