​

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، یک جبر متناهی تولید شده (که جبر از نوع متناهی نیز نامیده می شود ) یک جبر انجمنی جابجایی A بر روی یک میدان K است که در آن مجموعه متناهیی از عناصر a 1 ،...، a n از A وجود دارد ، به طوری که هر عنصر از A را می توان به صورت چند جمله ای در 1 ، ...، a n ، با ضرایب K بیان کرد .

به طور معادل، عناصر وجود دارد{\displaystyle a_{1},\dots,a_{n}\in A}st هممورفیسم ارزیابی در{\displaystyle {\bf {a}}=(a_{1},\dots ,a_{n})}

{\displaystyle \phi _{\bf {a}}\colon K[X_{1},\dots,X_{n}]\twoheadrightarrow A}

پوشا است ; بنابراین، با اعمال اولین قضیه یکریختی ،{\displaystyle A\simeq K[X_{1},\dots,X_{n}]/{\rm {ker}}(\phi _{\bf {a}})}.

برعکس ،{\displaystyle A:=K[X_{1}،\dots،X_{n}]/I}برای هر ایده آل {\displaystyle I\subset K[X_{1},\dots,X_{n}}هست یک کجبر از نوع متناهی، در واقع هر عنصرآیک چند جمله ای در هم مجموعه ها است {\displaystyle a_{i}:=X_{i}+I,i=1,\dots ,n}با ضرایب درک. بنابراین، ما خصوصیات زیر را برای تولید متناهی به دست می آوریمککجبرها [1]

آبه طور متناهی تولید شده است کجبر اگر و فقط در صورتی یکریخت با حلقه خارج قسمتی از نوع باشد{\displaystyle K[X_{1}،\dots،X_{n}]/I}توسط یک ایده آل{\displaystyle I\subset K[X_{1},\dots,X_{n}}.

اگر لازم باشد بر میدان K تأکید شود ، جبر به طور متناهی روی K ایجاد می شود . جبری هایی که به طور متناهی تولید نمی شوند، تولید نامتناهی نامیده می شوند .

مثالها [ ویرایش ]

  • جبر چند جمله ای K [ x 1 ,... , x n  ] به طور متناهی تولید می شود. جبر چند جمله ای در تعداد بی نهایت مولد به طور قابل شمارش بی نهایت تولید می شود.
  • میدان E = K ( t ) توابع گویا در یک متغیر روی یک میدان نامتناهی K یک جبر متناهی تولید شده روی K نیست . از سوی دیگر، E روی K توسط یک عنصر منفرد، t ، به عنوان یک فیلد تولید می شود .
  • اگر E / F یک پسوند میدان متناهی باشد ، از تعاریف چنین برمی‌آید که E یک جبر متناهی تولید شده بر روی F است .
  • برعکس، اگر E / F یک پسوند میدان باشد و E یک جبر متناهی تولید شده بر روی F باشد ، پس گسترش میدان متناهی است. به این لم زریسکی می گویند . پسوند انتگرال را نیز ببینید .
  • اگر G یک گروه متناهی تولید شده باشد ، جبر گروهی KG یک جبر متناهی تولید شده روی K است .

خواص [ ویرایش ]

  • یک تصویر یکریخت از یک جبر متناهی تولید شده خود به طور متناهی تولید می شود. با این حال، یک ویژگی مشابه برای زیر جبرها به طور کلی وجود ندارد.
  • قضیه پایه هیلبرت : اگر A یک جبر جابجایی متناهی تولید شده بر روی یک حلقه نوتر باشد ، هر ایده آل A به طور متناهی ایجاد می شود، یا به طور معادل، A یک حلقه نوتری است.

ارتباط با واریته های آفین [ ویرایش ]

جبرهای جابجایی کاهش یافته متناهی تولید شده ، موضوعات اساسی مورد توجه در هندسه جبری مدرن هستند ، جایی که آنها با انواع جبری وابسته مطابقت دارند . به همین دلیل به این جبرها جبرهای وابسته (تبدیلی) نیز گفته می شود . به طور دقیق تر، با توجه به یک مجموعه جبری وابسته{\displaystyle V\subset \mathbb {A} ^{n}}ما می توانیم به طور متناهی تولید شده را مرتبط کنیم ک-جبر

{\displaystyle \Gamma (V):=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I(V)}

به نام حلقه مختصات افین ازV; علاوه بر این، اگر{\displaystyle \phi \colon V\to W}یک نقشه منظم بین مجموعه های جبری وابسته است{\displaystyle V\subset \mathbb {A} ^{n}}و{\displaystyle W\subset \mathbb {A} ^{m}}، می‌توانیم هم‌مورفیسمی را تعریف کنیم ک-جبرها

{\displaystyle \Gamma (\phi )\equiv \phi ^{*}\colon \Gamma (W)\to \Gamma (V),\,\phi ^{*}(f)=f\circ \phi , }

سپس،Γ\گاماتابعی متناقض از دسته مجموعه‌های جبری وابسته با نقشه‌های منظم تا دسته کاهش‌یافته‌های متناهی تولید شده است.ککجبرها: این تابع [2] معادلی از مقولات است

Γ:(مجموعه های جبری وابسته)oپپ→(تولید متناهی کاهش می یابد ک-جبرها)،{\displaystyle \Gamma \colon ({\text{مجموعه‌های جبری وابسته}})^{\rm {opp}}\to ({\text{تولید محدود }}K{\text{-جبر}})،}

و متناهی کردن به واریته‌های وابسته (یعنی مجموعه‌های جبری افین تقلیل‌ناپذیر )،

Γ:(انواع جبری وابسته)oپپ→(انتگرال به طور متناهی تولید شده است ک-جبرها).{\displaystyle \Gamma \colon ({\text{انواع جبری همبسته}})^{\rm {opp}}\to ({\text{integral infinitely generated }}K{\text{-Jebras}}).}

جبرهای متناهی در مقابل جبرهای از نوع متناهی [ ویرایش ]

ما به یاد می آوریم که یک جابجایی آر- جبر آآهممورفیسم حلقه است{\displaystyle \phi \colon R\to A}; را آر- ساختار مدول آتعریف شده است

{\displaystyle \lambda \cdot a:=\phi (\lambda )a,\quad \lambda \in R,a\in A.}

یک آر-جبرآمتناهی است اگر به صورت متناهی تولید شودآرماژول، یعنی هممورفیسم پوشا وجود داردآر-ماژول ها

{\displaystyle R^{\plus _{n}}\twoheadrightarrow A.}

باز هم توصیفی از جبرهای متناهی بر حسب ضریب وجود دارد [3]

یک آر-جبرآمتناهی است اگر و تنها در صورتی که به یک ضریب یکریخت باشد{\displaystyle R^{\plus _{n}}/M}توسط یک آر- زیر ماژول {\displaystyle M\subset R}.

طبق تعریف، یک متناهیآرآرجبر از نوع متناهی است، اما عکس آن نادرست است: حلقه چند جمله ای R[X]از نوع متناهی است اما متناهی نیست.

جبرهای متناهی و جبرهای متناهی به مفاهیم شکل‌های متناهی و شکل‌های نوع متناهی مربوط می‌شوند .

منابع [ ویرایش ]

  1. ↑ کمپر، ​​گرگور (2009). دوره ای در جبر جابجایی . اسپرینگر. پ. 8. ISBN 978-3-642-03545-6.
  2. ^ گورتز، اولریش ؛ ودهورن، تورستن (2010). هندسه جبری I. طرح ها با مثال ها و تمرین ها . اسپرینگر. پ. 19. doi : 10.1007/978-3-8348-9722-0 . شابک 978-3-8348-0676-5.
  3. ↑ آتیه، مایکل فرانسیس؛ مک دونالد، ایان گرانت (1994). مقدمه ای بر جبر جابجایی . مطبوعات CRC. پ. 21. شابک 9780201407518.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Finitely_generated_algebra

​