مثال [ ویرایش ]

تابع سبز را برای مسئله زیر پیدا کنید که عدد تابع گرین X11 است:

 

{\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u\left({\tfrac {\pi }{ 2k}}\right)=0.\end{تراز شده}}}

 

مرحله اول: تابع گرین برای عملگر خطی در دست به عنوان راه حل تعریف می شود

{\displaystyle G''(x,s)+k^{2}G(x,s)=\delta (xs).}

 

 

 

 

(معادل * )

اگرx\ne s، سپس تابع دلتا صفر می دهد و جواب کلی است

 

{\displaystyle G(x,s)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx.}

 

برایx<s، شرایط مرزی درx=0دلالت دارد

 

{\displaystyle G(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0}

 

اگرx < sوs \ne \tfrac{\pi}{2k}.

برایx>s، شرایط مرزی درx=\tfrac{\pi}{2k}دلالت دارد

 

{\displaystyle G\left({\tfrac {\pi }{2k}},s\right)=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0 }

 

معادله{\displaystyle G(0,s)=0}به دلایل مشابه نادیده گرفته می شود.

برای جمع بندی نتایج تا کنون:

 

{\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\c_{3}\cos kx,&{\text {برای }}s<x.\end{موارد}}}

 

مرحله دوم: کار بعدی تعیین استج_{2}وج_{3}.

تضمین تداوم در عملکرد سبز درx=sدلالت دارد

 

{\displaystyle c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks}

 

می توان با ادغام معادله دیفرانسیل تعریف کننده (یعنی معادله * ) از ناپیوستگی مناسب در مشتق اول اطمینان حاصل کرد.{\displaystyle x=s-\varepsilon }به{\displaystyle x=s+\varepsilon }و حد را به عنوان\varepsilonبه صفر می رسد توجه داشته باشید که ما فقط مشتق دوم را ادغام می کنیم زیرا عبارت باقی مانده با ساخت پیوسته خواهد بود.

 

{\displaystyle c_{3}\cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1}

 

دو معادله (ناپیوستگی) را می توان حل کردج_{2}وج_{3}بدست آوردن

 

 

{\displaystyle c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}}

 

بنابراین تابع سبز برای این مشکل این است:

 

 

{\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k }}\cos kx,&s<x.\end{موارد}}}