عنصر حجمی که از r تا r + d r ، θ تا θ + d θ ، و φ تا φ + d φ را در بر می گیرد، توسط تعیین کننده ماتریس ژاکوبین مشتقات جزئی مشخص می شود .

 

{\displaystyle J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\ cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}،}

برای مثال

 

{\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d } r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\ mathrm {d} \varphi =r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega ~.}

 

بنابراین، برای مثال، یک تابع f ( r ، θ ، φ ) را می توان بر روی هر نقطه در R3 توسط انتگرال سه گانه ادغام کرد.

 

{\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r,\theta , \varphi )r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}

 

عملگر del در این سیستم به عبارات زیر برای گرادیان ، واگرایی ، کرل و (اسکالر) لاپلاسی منجر می شود .

 

{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f={}&{\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }} },\\[8pt]\nabla \cdot \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2 }A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{ \frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },\\[8pt]\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\hat {\mathbf {r} }}\\[8pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left({1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\ چپ(rA_{\varphi }\right)\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[8pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left({\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}،\\ [8pt]\nabla ^{2}f={}&{1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r }\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right) +{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]={}&\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right )f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right) f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~.\end {هم راستا}}}

 

علاوه بر این، ژاکوبین معکوس در مختصات دکارتی است

 

{\displaystyle J^{-1}={\begin{pmatrix}{\dfrac {x}{r}}&{\dfrac {y}{r}}&{\dfrac {z}{r}}\\ \\{\dfrac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {yz}{r^{2}{\sqrt { x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {-(x^{2}+y^{2})}{r^{2}{\sqrt {x^{2} +y^{2}}}}}\\\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y ^{2}}}&0\end{pmatrix}}.}

تانسور متریک در سیستم مختصات کروی است{\displaystyle g=J^{T}J}.

 

فاصله در مختصات کروی [ ویرایش ]

در مختصات کروی، با توجه به دو نقطه که φ مختصات ازیموتال است

{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {r} }&=(r,\theta ,\varphi ),\\{\mathbf {r} '}&=(r',\theta ',\varphi ')\end{تراز شده}}}

فاصله بین دو نقطه را می توان به صورت بیان کرد

{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {D} }&={\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'(\sin {\theta }\sin {\theta ' }\cos {(\varphi -\varphi ')}+\cos {\theta }\cos {\theta '})}}\end{تراز شده}}}