ریاضیات

 گروه دو وجهی

خواص گروه دو وجهی D n با n -3 بستگی به زوج یا فرد بودن n دارد. به عنوان مثال، مرکز از D N شامل تنها همانی اگر N فرد است، اما اگر N حتی در مرکز است دارای دو عنصر، یعنی همانی و عنصر تحقیق N / 2 (با D N به عنوان یک زیر گروه از O (2 ) ، این وارونگی است ؛ زیرا ضرب اسکالر در − 1 است ، واضح است که با هرگونه تغییر خطی جابجا می شود).

در مورد ایزومتری های دو بعدی ، این مربوط به افزودن وارونگی ، ایجاد دوران و بازتاب در بین موارد موجود است.

برای نفر دو بار یک عدد فرد، گروه مجرد D N متناظر با است ضرب مستقیم از D N / 2 و Z 2 . به طور کلی ، اگر m n را تقسیم کند ، D n دارای زیرگروه n / m از نوع D m و یک زیر گروه ℤ m است . بنابراین ، تعداد کل زیر گروه های D n ( n  ≥ 1) ، برابر d ( n ) + σ ( n ) است ، جایی که d ( N ) تعداد مثبت است مقسوم علیه های  از N و σ ( N ) از مجموع مقسوم علیه های مثبت است  N . مشاهده لیست گروه های کوچک برای موارد  N  ≤ 8.

گروه دو ضلعی مرتبه 8 (D 4 ) کوچکترین نمونه گروهی است که گروه T نیست . هر یک از دو آن گروه چهارتایی کلاین زیر گروه (که طبیعی در D هستند 4 ) است به صورت عادی زیرگروه مرتبه-2 زیر گروه تولید شده توسط یک بازتاب (تلنگر) در D 4 ، اما این زیر گروه در D طبیعی نیست 4 .

کلاسهای انعکاس همبستگی [ ویرایش ]

همه بازتاب می مزدوج به یکدیگر در مورد N فرد است، اما آنها به دو کلاسهای مزدوج سقوط اگر N زوج است. اگر به ایزومتری n -gon منظم فکر کنیم : برای n فرد بین هر جفت بازتاب دوران در گروه وجود دارد ، در حالی که برای n زوج فقط نیمی از بازتاب ها را می توان از یک با این دوران ها بدست آورد. از نظر هندسی ، در یک چند ضلعی فرد هر محور تقارن از یک راس و یک ضلع عبور می کند ، در حالی که در یک چند ضلعی زوج دو مجموعه محور وجود دارد که هر کدام مربوط به یک کلاس پیوند است: آنهایی که از دو راس عبور می کنند و آنهایی که از دو طرف عبور می کنند. به

جبری، این یک نمونه از مزدوج است سیلو را قضیه (برای N برای: فرد) N فرد، هر انعکاس، همراه با همانی، از یک زیر گروه از مرتبه 2 است، که یک سیلو را 2-زیر گروه ( 2 = 2 1 است که حداکثر قدرت 2 تقسیم بر 2 n = 2 [2 k + 1] ) ، در حالی که برای n زوج ، این زیر گروه 2 زیر گروه سیلو نیستند زیرا 4 (قدرت بالاتر 2) ترتیب گروه را تقسیم می کند.

برای N حتی است به جای آن یک وجود دارد های خودریختی بیرونی تبادل دو نوع بازتاب (به درستی، یک کلاس از خودریختیs بیرونی، که همه مزدوج توسط یک های خودریختی داخلی).

گروه خودشکلی [ ویرایش ]

گروه خودریختی از D N ریخت به است holomorph از ℤ / N ℤ، یعنی، به HOL (ℤ / N ℤ) = { تبر + ب | ( ، N ) = 1} و مرتبه nφ ( N )، که در آن φ اویلر است totient تابع، تعداد ک در 1، ...، N - 1 اولند به N .

می توان آن را از نظر مولدهای بازتاب و دوران ابتدایی (دوران با k (2 π / n ) ، برای k coprime به n ) درک کرد. این که خودشکلی ها درونی و بیرونی هستند بستگی به برابری n دارد .

• برای N فرد، گروه دو وجهی از مرکز است، بنابراین هر عنصر های خودریختی داخلی غیر بدیهی تعریف میکند. برای n زوج ، دوران 180 درجه (بازتاب از طریق مبدا) عنصر بی اهمیت مرکز است.
• بنابراین برای N فرد، گروه خودریختی درونی است مرتبه 2 نفر ، و برای N حتی (به غیر از N 2 = ) گروه خودریختی درونی است مرتبه N .
• برای n عجیب ، همه بازتابها مزدوج هستند. برای n زوج ، آنها به دو دسته تقسیم می شوند (آنهایی که از طریق دو راس و از طریق دو وجه) ، مربوط به یک خودورفیسم خارجی است ، که می تواند با دوران π / n (نیمی از حداقل دوران) نشان داده شود.
• دوران ها یک زیر گروه معمولی هستند. ترکیب با بازتاب علامت (جهت) دوران را تغییر می دهد ، اما در غیر این صورت آنها را بدون تغییر می گذارد. بنابراین خودشکلی هایی که زاویه ها را در k ضرب می کنند (coprime به n ) بیرونی هستند مگر اینکه k = ± 1 .

نمونه هایی از گروه های اتومورفیسم [ ویرایش ]

D 9 دارای 18 خودگردانی داخلی است . به عنوان گروه ایزومتری دو بعدی D 9 ، گروه دارای بازتاب در فواصل 20 درجه است. 18 اتومورفیسم داخلی دوران بازتاب ها را در چندین برابر 20 درجه و بازتاب ها فراهم می کند. به عنوان گروه ایزومتری اینها همه خودشکوفایی هستند. به عنوان گروه مجرد ، علاوه بر اینها ، 36 خودشکلی خارجی نیز وجود دارد . به عنوان مثال ، ضرب زوایای دوران در 2.

D 10 دارای 10 خودگردانی داخلی است. به عنوان گروه ایزومتری دو بعدی D 10 ، گروه دارای بازتاب در فواصل 18 درجه است. 10 اتومورفیسم داخلی دوران بازتاب ها را در چندین برابر 36 درجه و بازتاب ها فراهم می کند. به عنوان گروه ایزومتری ، 10 اتومورفیسم دیگر وجود دارد. آنها با ایزومتری خارج از گروه ترکیب می شوند و بازتاب ها را 18 درجه با توجه به خودشکلی های داخلی می چرخانند. به عنوان یک گروه مجرد ، علاوه بر این 10 خودشکلی داخلی و 10 خودسازی خارجی ، 20 خودورفیسم خارجی دیگر وجود دارد. به عنوان مثال ، ضرب دوران ها در 3.

مقادیر 6 و 4 را برای تابع توتون اویلر ، گروه ضرب اعداد صحیح n به ترتیب برای n = 9 و 10 مقایسه کنید. این تعداد اتومورفیسم ها را در مقایسه با دو اتورفیسم به عنوان ایزومتری سه برابر و دو برابر می کند (ثابت نگه داشتن ترتیب دوران ها یا برعکس کردن ترتیب).

تنها مقادیر N که φ ( N ) = 2 3، 4 و 6، و در نتیجه، تنها سه گروه دو وجهی که ریخت به گروه های خودریختی خود، یعنی وجود دارد D 3 (مرتبه 6)، D 4 ( مرتبه 8) و D 6 (مرتبه 12). [7] [8] [9]

گروه خودروسازی داخلی [ ویرایش ]

گروه خودسازی داخلی D n یکریخت است: [10]

• D n اگر n فرد باشد ؛
• اگر n زوج باشد D n / Z 2 (برای n = 2 ، D 2 / Z 2 = 1 ).

کلیات [ ویرایش ]

چندین تعمیم مهم از گروه های دو طبقه وجود دارد:

• گروه دو وجهی بی نهایت یک IS گروه بی نهایت با ساختار جبری شبیه به گروه های دو وجهی متناهی است. می توان آن را به عنوان گروه تقارن اعداد صحیح در نظر گرفت .
• گروه متعامد O (2)، یعنی گروه تقارن دایره ، همچنین دارای خواص مشابه به گروه های دو وجهی.
• خانواده گروههای عمومیتی کلی شامل هر دو مثال بالا و همچنین بسیاری از گروههای دیگر است.
• گروه quasidihedral خانواده از گروه های متناهی با خواص مشابه به گروه های دو وجهی هستند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_group#Small_dihedral_groups