فرمول استرلینگ برای عملکرد گاما [ ویرایش ]

برای تمام عددهای صحیح مثبت ،

{\ displaystyle n! = \ Gamma (n + 1)،}

جایی که Γ تابع گاما را نشان می دهد .

با این حال ، تابع گاما ، برخلاف فاکتوریل ، به طور گسترده تر برای همه اعداد مختلط غیر از اعداد صحیح غیر مثبت تعریف شده است. با این وجود ، فرمول استرلینگ هنوز هم قابل استفاده است. اگر Re ( z )> 0 باشد ، پس

{\ displaystyle \ ln \ Gamma (z) = z \ ln z-z + {\ tfrac {1} {2}} \ ln {\ frac {2 \ pi} {z}} + \ int _ {0} ^ { \ infty} {\ frac {2 \ arctan \ چپ ({\ frac {t} {z}} \ راست)} {e ^ {2 \ pi t} -1}} \ ، {\ rm {d}} t .}

ادغام مکرر توسط قطعات می دهد

{\ displaystyle \ ln \ Gamma (z) \ sim z \ ln z-z + {\ tfrac {1} {2}} \ ln {\ frac {2 \ pi} {z}} + \ sum _ {n = 1 } ^ {N-1} {\ frac {B_ {2n}} {2n (2n-1) z ^ {2n-1}}} ،}

که در آن B N است N هفتم تعداد برنولی (توجه داشته باشید که از حد از مجموع عنوانN \ به \ کمبود همگرا نیست ، بنابراین این فرمول فقط یک گسترش مجانبی است ). فرمول برای z بزرگ به اندازه کافی مطلق معتبر است ، هنگامی که | arg ( z ) | <π - ε ، جایی که ε مثبت است ، با یک اصطلاح خطای O ( z- 2 N + 1 ) . تقریب مربوطه اکنون می تواند نوشته شود:

{\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {z}}} \ ، {\ چپ ({\ frac {z} {e}} \ راست)} ^ {z} \ چپ (1 + O \ چپ ({\ frac {1} {z}} \ راست) \ راست).}

که در آن گسترش با سری استرلینگ در بالا برای n یکسان است ! ، با این تفاوت که n با z - 1 جایگزین می شود . [8]

کاربرد بیشتر این گسترش مجانبی برای استدلال پیچیده z با ثابت Re ( z ) است . به عنوان مثال فرمول استرلینگ را که در Im ( z ) = t از تتا ریمان-سیگل در خط مستقیم اعمال شده است ، ببینید1/4+ آن .

حدود خطا [ ویرایش ]

برای هر عدد صحیح مثبت N ، علامت گذاری زیر ارائه می شود:

{\ displaystyle \ ln \ Gamma (z) = z \ ln z-z + {\ tfrac {1} {2}} \ ln {\ frac {2 \ pi} {z}} + \ sum \ limit _ {n = 1} ^ {N-1} {\ frac {B_ {2n}} {2n \ چپ ({2n-1} \ راست) z ^ {2n-1}}} + R_ {N} (z)}

و

{\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {z}}} \ چپ ({\ frac {z} {e}} \ راست) ^ {z} \ چپ ({\ sum \ حدود _ {n = 0} ^ {N-1} {\ frac {a_ {n}} {z ^ {n}}} + {\ widetilde {R}} _ {N} (z)} \ راست ).}

سپس [9] [10]

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} | R_ {N} (z) | & \ leq {\ frac {| B_ {2N} |} {2N (2N-1) | z | ^ {2N-1}}} {\ start {cases} 1 & {\ text {if}} | \ arg z | \ leq {\ frac {\ pi} {4}} ، \\ | \ csc (\ arg z) | و {\ text {if }} {\ frac {\ pi} {4}} <| \ arg z | <{\ frac {\ pi} {2}} ، \\\ sec ^ {2N} \ سمت چپ ({\ tfrac {\ arg z } {2}} \ راست) و {\ متن {if}} | \ arg z | <\ pi ، \ end {موارد}} \\ [6pt] \ چپ | {\ widetilde {R}} _ {N} (z) \ راست | & \ leq \ چپ ({\ frac {\ چپ | a_ {N} \ راست |} {| z | ^ {N}}} + {\ frac {\ چپ | a_ {N + 1 } \ right |} {| z | ^ {N + 1}}} \ right) {\ start {موارد} 1 & {\ متن {if}} | \ arg z | \ leq {\ frac {\ pi} {4 }} ، \\ | \ csc (2 \ arg z) | & {\ text {if}} {\ frac {\ pi} {4}} <| \ arg z | <{\ frac {\ pi} {2 }}. \ end {موارد}} \ end {تراز شده}}}

برای کسب اطلاعات بیشتر و سایر محدوده های خطا ، به مقالات ذکر شده مراجعه کنید.

نسخه همگرا از فرمول استرلینگ [ ویرایش ]

توماس بیز در نامه ای به جان كانتون كه توسط انجمن سلطنتی در سال 1763 منتشر شد ، نشان داد كه فرمول استرلینگ سری همگرا ارائه نمی دهد . [11] بدست آوردن نسخه همگرا از فرمول استرلینگ ، ارزیابی فرمول رابه را در پی دارد :

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {2 \ arctan \ left ({\ frac {t} {x}} \ right)} {e ^ {2 \ pi t} -1} } \ ، {\ rm {d}} t = \ ln \ Gamma (x) -x \ ln x + x - {\ tfrac {1} {2}} \ ln {\ frac {2 \ pi} {x} }.}

یکی از راه های انجام این کار استفاده از یک مجموعه همگرا از نماهای معکوس در حال افزایش است . اگر

{\ displaystyle z ^ {\ bar {n}} = z (z + 1) \ cdots (z + n-1)،}

سپس

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {2 \ arctan \ left ({\ frac {t} {x}} \ right)} {e ^ {2 \ pi t} -1} } \، {\ rm {d}} t = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {n}} {(x + 1) ^ {\ bar {n}}}} ،}

جایی که

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {n}} \ int _ {0} ^ {1} x ^ {\ bar {n}} \ سمت چپ (x - {\ tfrac {1} {2 }} \ راست) \ ، {\ rm {d}} x = {\ frac {1} {2n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {k | s (n، k) |} {(k + 1) (k + 2)}} ،}

جایی که s ( n ،  k ) اعداد استرلینگ را از نوع اول نشان می دهد . از این نسخه نسخه ای از سری استرلینگ را بدست می آورید

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ ln \ گاما (x) & = x \ ln x-x + {\ tfrac {1} {2}} \ ln {\ frac {2 \ pi} {x}} + { \ frac {1} {12 (x + 1)}} + {\ frac {1} {12 (x + 1) (x + 2)}} + \\ & \ quad + {\ frac {59} {360 (x + 1) (x + 2) (x + 3)}} + {\ frac {29} {60 (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)}} + \ cdots ، \ end {تراز شده}}}

که وقتی Re ( x )> 0 جمع می شود .

نسخه های مناسب برای ماشین حساب [ ویرایش ]

تقریب

{\ displaystyle \ Gamma (z) \ تقریبی {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {z}}} \ چپ ({\ frac {z} {e}} {\ sqrt {z \ sinh {\ frac { 1} {z}} + {\ frac {1} {810z ^ {6}}}}} \ راست) ^ {z}}

و شکل معادل آن

{\ displaystyle 2 \ ln \ Gamma (z) \ تقریبی \ ln (2 \ pi) - \ ln z + z \ چپ (2 \ ln z + \ ln \ چپ (z \ sinh {\ frac {1} {z} } + {\ frac {1} {810z ^ {6}}} \ راست) -2 \ راست)}

با تنظیم مجدد فرمول گسترده استرلینگ و مشاهده همزمانی بین سری قدرت حاصل و گسترش سری تیلور از عملکرد سینوسی هذلولی می توان بدست آورد . این تقریب برای بیش از 8 رقم اعشاری برای z با یک قسمت واقعی بزرگتر از 8 خوب است. رابرت اچ. ویندشیتل آن را در سال 2002 برای محاسبه عملکرد گاما با دقت مناسب روی ماشین حسابهای دارای برنامه محدود یا حافظه ثبت شده پیشنهاد داده است. [12]

Gergő Nemes در سال 2007 تقریب ارائه کرد که تعداد دقیق همان رقم تقریب Windschitl را می دهد اما بسیار ساده تر است: [13]

{\ displaystyle \ Gamma (z) \ تقریبی {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {z}}} \ چپ ({\ frac {1} {e}} \ چپ (z + {\ frac {1} {) 12z - {\ frac {1} {10z}}}} \ right) \ right) ^ {z}،}

یا معادل آن ،

{\ displaystyle \ ln \ Gamma (z) \ تقریبی {\ tfrac {1} {2}} \ چپ (\ ln (2 \ pi) - \ ln z \ سمت راست) + z \ چپ (\ ln \ چپ (z + {\ frac {1} {12z - {\ frac {1} {10z}}}} \ راست) -1 \ راست).}

یک تقریب جایگزین برای عملکرد گاما که توسط Srinivasa Ramanujan بیان شده است ( Ramanujan 1988 [ لازم به توضیح ] )

{\ displaystyle \ Gamma (1 + x) \ تقریبی {\ sqrt {\ pi}} \ چپ ({\ frac {x} {e}} \ راست) ^ {x} \ چپ (8x ^ {3} + 4x ^ {2} + x + {\ frac {1} {30}} \ راست) ^ {\ frac {1} {6}}}

برای x ≥ 0 . تقریب معادل ln n ! دارای یک خطای مجانبی از1/1400 n 3 و توسط

{\ displaystyle \ ln n! \ تقریبی n \ ln n-n + {\ tfrac {1} {6}} \ ln (8n ^ {3} + 4n ^ {2} + n + {\ tfrac {1} {30} }) + {\ tfrac {1} {2}} \ ln \ pi.}

تقریب ممکن است با دادن مرزهای بالا و پایین جفت شده دقیق شود. یکی از این نابرابری ها [14] [15] [16] [17]

{\ displaystyle {\ sqrt {\ pi}} \ چپ ({\ frac {x} {e}} \ راست) ^ {x} \ چپ (8x ^ {3} + 4x ^ {2} + x + {\ frac {1} {100}} \ راست) ^ {1/6} <\ Gamma (1 + x) <{\ sqrt {\ pi}} \ چپ ({\ frac {x} {e}} \ راست) ^ {x} \ چپ (8x ^ {3} + 4x ^ {2} + x + {\ frac {1} {30}} \ راست) ^ {1/6}.}

https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation