خصوصیات [ ویرایش ]

تعداد جایگزینی های n شی objects مجزا n است !

تعداد n- جایگشتهای دارای k چرخه جدا از هم ، تعداد استرلینگ بدون علامت از نوع اول است که با c ( n ، k ) مشخص می شود . [35]

نوع جایگزینی [ ویرایش ]

چرخه های یک پارتیشن جایگشت مجموعه S_ {n} بنابراین طول چرخه های یک جایگشت \ سیگما تشکیل یک پارتیشن از N به نام نوع چرخه از\ سیگما . برای هر نقطه ثابت σ ، "1" در نوع چرخه ، برای هر جابجایی "2" و غیره وجود دارد. نوع چرخه{\ displaystyle \ beta = (\، 1 \، 2 \، 5 \،) (\، 3 \، 4 \،) (6 \، 8 \،) (\، 7 \،)}است (3،2،2،1) که گاهی اوقات به صورت فشرده تر به صورت [1 1 2 2 3 1 ] نوشته می شود.

شکل کلی آن است {\ displaystyle [1 ^ {\ alpha _ {1}} 2 ^ {\ alpha _ {2}} \ dotsm n ^ {\ alpha _ {n}}]}، جایی که \ alpha _ {1} ، \ ldots ، \ alpha _ {n}تعداد چرخه های طول مربوطه است. تعداد جایگزینی های یک نوع خاص [36] است

{\ displaystyle {\ frac {n!} {1 ^ {\ alpha _ {1}} 2 ^ {\ alpha _ {2}} \ dotsm n ^ {\ alpha _ {n}} \ alpha _ {1}! \ alpha _ {2}! \ dotsm \ alpha _ {n}!}}}.

جایگزین های مزدوج [ ویرایش ]

به طور کلی ، ترکیب جایگزینی های نوشته شده در علامت گذاری چرخه از الگویی که به راحتی توصیف می شود پیروی نمی کند - چرخه های ترکیب می توانند متفاوت از ترکیبات باشند. با این حال ساختار چرخه در حالت خاص مخلوط جایگشت حفظ می شود\ سیگما  با جایگزینی دیگر \ پی ، که به معنی تشکیل محصول است {\ displaystyle \ pi \ sigma \ pi ^ {- 1}}. اینجا،{\ displaystyle \ pi \ sigma \ pi ^ {- 1}}است مزدوج از\ سیگما  و علامت گذاری چرخه آن را می توان با در نظر گرفتن علامت چرخه بدست آورد \ سیگما  و درخواست کردن \ پی به تمام ورودی های موجود در آن. [37] از این رو نتیجه می گیرد که دو جایگویی دقیقاً هنگامی که از نوع یکسانی باشند مزدوج هستند.

دستور جایگزینی [ ویرایش ]

ترتیب جایگشت \ سیگما کوچکترین عدد صحیح مثبت m است به طوری که{\ displaystyle \ sigma ^ {m} = \ mathrm {id}}. این کمترین مضرب طول چرخه های آن است. به عنوان مثال ، ترتیب{\ displaystyle (\، 1 \، 3 \، 2) (\، 4 \، 5 \،)} است{\ displaystyle 2 \ cdot 3 = 6}.

برابری یک تغییر [ ویرایش ]

هر جایگزینی مجموعه محدود را می توان به عنوان محصول جابجایی بیان کرد. [38] اگرچه بسیاری از این عبارات برای یک جایگزینی معین ممکن است وجود داشته باشد ، یا همه آنها شامل تعداد زوج یا فرد هستند. بنابراین همه جایگشت ها را می توان بسته به این تعداد به صورت زوج یا فرد طبقه بندی کرد .

این نتیجه را می توان گسترش داد تا یک علامت ، نوشته شده اختصاص دهد{\ displaystyle \ operatorname {sgn} \ sigma}، به هر جایگزینی. {\ displaystyle \ operatorname {sgn} \ sigma = + 1} اگر \ سیگما  حتی است و {\ displaystyle \ operatorname {sgn} \ sigma = -1} اگر \ سیگما عجیب است سپس برای دو جایگشت\ سیگما  و \ پی

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} (\ sigma \ pi) = \ operatorname {sgn} \ sigma \ cdot \ operatorname {sgn} \ pi.}

نتیجه می شود که {\ displaystyle \ operatorname {sgn} \ چپ (\ sigma \ sigma ^ {- 1} \ راست) = + 1.}