ریشه های پنجم وحدت

چرخش های پنج ضلعی

گروه از پنجم ریشه وحدت تحت عمل ضرب ریخت به گروه چرخش پنج ضلعی منظم تحت ترکیب است.

در ریاضیات ، ایزومورفیسم نقشه برداری بین دو ساختار از یک نوع است که می تواند توسط یک نقشه برعکس معکوس شود . اگر یک ایزومورفیسم بین آنها وجود داشته باشد ، دو ساختار ریاضی ایزومورفیک هستند . هم ریختی کلمه، از کلمه مشتق شده یونان باستان : ἴσος ISO های "برابر"، و μορφή morphe به «شکل» یا «شکل».

علاقه به ایزومورفیسم در این واقعیت نهفته است که دو جسم ایزومورفیک دارای خصوصیات یکسان هستند (به استثنای اطلاعات بیشتر مانند ساختار اضافی یا نام اشیاء). بنابراین ساختارهای ایزومورفیک فقط از نظر ساختار قابل تشخیص نیستند و می توانند شناسایی شوند. در ژارگون ریاضی ، یکی می گوید که دو شیء یکسان هستند تا یک ایزومورفیسم .

های automorphism ریخت از یک ساختار به خود است. ایزومورفیسم بین دو ساختار یک ایزومورفیسم معمولی است اگر تنها یک ایزومورفیسم بین این دو ساختار وجود داشته باشد (همانطور که در مورد راه حلهای یک خاصیت جهانی وجود دارد ) ، یا اگر ایزومورفیسم بسیار طبیعی تر (به تعبیری) از دیگر ایزومورفیسم هاست. به عنوان مثال ، برای هر عدد اولیه p ، تمام زمینه های دارای عناصر p بطور عادی ایزومورفیک و دارای ایزومورفیسم منحصر به فرد هستند. قضایا isomorphism isomorphisms متعارف که منحصر به فرد نیست فراهم می کند.

اصطلاح ایزومورفیسم عمدتا برای ساختارهای جبری استفاده می شود . در این حالت ، نگاشت ها همو مورفیسم نامیده می شوند ، و یک همگورفیسم ایزومورفیسم است اگر و فقط اگر از نظر زیبایی شناختی باشد.

در زمینه های مختلف ریاضیات ، ایزومورفیسم ها بسته به نوع ساختار مورد نظر ، اسامی تخصصی دریافت کرده اند. مثلا:

نظریه مقوله ، که می تواند به عنوان رسمی کردن مفهوم نقشه برداری بین ساختارها مورد بررسی قرار گیرد ، زبانی را فراهم می کند که ممکن است برای متحد کردن رویکرد به این جنبه های مختلف ایده اصلی مورد استفاده قرار گیرد.

در هندسه ، ایزومورفیسم ها و اتومبیل سازی ها معمولاً دگرگونی نامیده می شوند ، به عنوان مثال دگرگونی های سفت و سخت ، دگرگونی های پیوستگی ، تحولات پروژکتور .

 

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

لگاریتم و نمایی [ ویرایش ]

اجازه دهید \ mathbb {R} ^ {+شود گروه ضربی از اعداد حقیقی مثبت ، و اجازه دهید\ mathbb {R  گروه افزودنی اعداد واقعی باشید.

تابع لگاریتم \ log \ colon \ mathbb {R} ^ {+} \ to \ mathbb {R  ارضا می کند\ log (xy) = \ log x + \ log y برای همه^ {+}x ، y \ in \ mathbb {R} ^ {+بنابراین یک همجنسگرایی گروهی است . تابع نمایی\ exp \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {+} ارضا می کند\ exp (x + y) = (\ exp x) (\ exp y) برای همهx ، y \ in \ mathbb {R بنابراین ، این همجنسگرایی است.

هویت \ log \ exp x = x و \ exp \ log y = y نشان می دهد که \ ورود  \ exp می وارون از یکدیگر. از آنجا که\ ورود  یک همجنسگرایی است که وارونه است که همجنسگرایی است ،  \ ورود  ایزومورفیسم گروه ها است.

زیرا  log\ ورود ایزومورفیسم است ، ضرب اعداد واقعی مثبت را به جمع اعداد واقعی ترجمه می کند. این تسهیلات امکان ضرب اعداد واقعی را با استفاده از خط کش و جدول لگاریتم ها یا استفاده از یک قانون اسلاید با مقیاس لگاریتمی امکان پذیر می کند.

interes modulo 6 [ ویرایش ]

گروه را در نظر بگیرید (\ mathbb {Z} _ {6} ، +)، اعداد صحیح از 0 به 5 با ماژول اضافی  6. گروه را نیز در نظر بگیرید(\ mathbb {Z} _ {2} \ بار \ mathbb {Z} _ {3} ، +)، جفتهای مرتب شده در جایی كه مختصات x می توانند 0 یا 1 باشند و مختصات y می توانند 0 ، 1 یا 2 باشند ، در حالی كه علاوه بر این در x- coordinate modulo 2 و اضافه شدن در y- koordinate modulo 3 است.

علاوه بر این ، این سازه ها تحت طرح زیر ایزومورفیک هستند:

(۰)) ↦ ۰

(1،1) ↦ 1

(۰ 2 ۲) ↦ ۲

(1،0) 3 پوند

(۰ 1 ۱) ↦ ۴

(1،2) 5 ↦

یا به طور کلی ( a ، b ) ↦ (3 a + 4 b ) mod 6.

به عنوان مثال ، (1،1) + (1،0) = (0،1) که در سیستم دیگر به صورت 1 + 3 = 4 ترجمه می شود .

حتی اگر این دو گروه از نظر متفاوت به نظر برسند ، این مجموعه ها عناصر مختلفی دارند ، اما در واقع ایزومورفیک هستند : ساختار آنها دقیقاً یکسان است. به طور کلی ، محصول مستقیم دو گروه چرخه ای\ mathbb {Z} _ {m و \ mathbb {Z} _ {n ایزومورفیسم است به (\ mathbb {Z} _ {mn} ، +)اگر و فقط اگر m و n coprime هستند ، در قضیه باقی مانده چینی ها .

ایزومورفیسم حفظ رابطه [ ویرایش ]

اگر یک شیء از مجموعه ای X با یک رابطه باینری R تشکیل شده باشد و جسم دیگر شامل یک مجموعه Y با یک رابطه باینری S باشد ، یک ایزومورفیسم از X به Y یک عملکرد بیولوژیکی است: X → Y به گونه ای که: [1]

\ operatorname {S} (f (u)، f (v)) \ iff \ operatorname {R} (u، v)

S است بازتابی ، irreflexive ، متقارن ، پادمتقارن ، نامتقارن ، متعدی ، کل ، سه قسمت ، یک ترتیب جزئی ، کل سفارش ، خوشترتیب ، سفارش ضعیف دقیق ، پیش فروش کل (سفارش ضعیف)، یک رابطه هم ارزی ، یا رابطه با هر نوع دیگر خصوصیات خاص ، اگر و فقط اگر R باشد.

به عنوان مثال ، R سفارش دادن و سفارش S است\ scriptstyle \ sqsubseteq، پس از آن ریخت از X به Y یک تابع bijective است ƒ: X → Y به طوری که

f (u) \ sqsubseteq f (v) \ iff u \ le v.

چنین ایزومورفیسم ایزومورفیسم نظم یا (معمولاً کمتر) ایزومورفیسم ایزوتون نامیده می شود .

اگر X = Y ، پس از این رابطه حفظ است های automorphism .

برنامه ها [ ویرایش ]

در جبر انتزاعی ، دو ایزومورفیسم اساسی تعریف شده است:

درست همانطور که اتومبیل های سازه از یک ساختار جبری یک گروه را تشکیل می دهند ، ایزومورفیسم بین دو جبر که دارای یک ساختار مشترک هستند یک پشته تشکیل می دهد . اجازه دادن به یک ایزومورفیسم خاص برای شناسایی دو ساختار ، این پشته را به یک گروه تبدیل می کند.

در تجزیه و تحلیل ریاضی ، تبدیل لاپلاس یک ایزومورفیسم است که معادلات دیفرانسیل سخت را به معادلات جبری آسانتر نگاشت .

در تئوری نمودار ، یک ایزومورفیسم بین دو نمودار G و H یک نقشه بیولوژیکی f از رئوس G تا رأس H است که "ساختار لبه" را حفظ می کند به این معنی که یک لبه از vertex u تا vertex v در G وجود دارد. اگر و فقط در صورتی که در H حاشیه ای از ƒ ( u ) تا ƒ ( v ) باشد. ایزومورفیسم نمودار را مشاهده کنید .

در تجزیه و تحلیل ریاضی ، یک ایزومورفیسم بین دو فضای هیلبرت یک حفظ حیات علاوه بر این ، ضرب مقیاس و محصول درونی است.

در تئوری های اولیه اتمیسم منطقی ، رابطه رسمی بین واقعیت ها و گزاره های واقعی توسط برتراند راسل و لودویگ ویتگنشتاین نظریه پردازی شد تا ایزومورفیک باشد. نمونه ای از این خط تفکر را می توان در مقدمه راسل در فلسفه ریاضی یافت .

در سایبرنتیک ، تنظیم کننده خوب یا قضیه Conant-Ashby بیان شده است: "هر تنظیم کننده خوب یک سیستم باید الگویی از آن سیستم باشد". چه تنظیم شده و چه خود تنظیم کننده ، یک ایزومورفیسم بین تنظیم کننده و قسمتهای پردازش سیستم لازم است.

نمای تئوری رده [ ویرایش ]

در تئوری دسته بندی ، بگذارید دسته C از دو طبقه تشکیل شود ، یکی از اشیاء و دیگری مورفیزها . سپس یک تعریف کلی از ایزومورفیسم که موارد قبلی و بسیاری موارد دیگر را در بر می گیرد این است که ایزومورفیسم یک مورفیز است ƒ: a → b که دارای یک مورفیزم معکوس g : b → a ، یعنی ƒg = 1 b و gƒ = 1 a . به عنوان مثال ، یک نقشه خطی بیولوژیکی یک ایزومورفیسم بین فضاهای بردار و یک عملکرد مداوم بیولوژیکی استوارونگی آن نیز پیوسته است ایزومورفیسم بین فضاهای توپولوژیکی ، به نام هومومورفیسم .

ایزومورفیسم و ​​مورفیزم زیست شناختی [ ویرایش ]

در یک دسته بتونی (یعنی دسته ای که اشیاء آن مجموعه ها هستند (شاید با ساختار اضافی) و مورفیزم ها عملکردهای نگهدارنده ساختار هستند) مانند دسته فضاهای توپولوژیکی یا دسته ای از اشیاء جبری مانند گروه ها ، حلقه ها و ماژول ها ، ایزومورفیسم باید در مجموعه های زیرین زنده باشد . در مقولات جبری (به طور خاص ، دسته بندی انواع به معنای جبر جهانی ) ، ایزومورفیسم همان هومورفیزمی است که در مجموعه های زیرین حیاتی است. با این حال ، دسته بندی های مشخصی وجود دارند که در آنها مورفیزم های زیبایی شناسی لزوماً ایزومورفیزم نیستند (مانند دسته فضاهای توپولوژیکی).

رابطه با برابری [ ویرایش ]

همچنین ببینید: برابری (ریاضیات)

در مناطقی خاص از ریاضیات ، به ویژه نظریه مقوله ، تفکیک برابری از یک سو و ایزومورفیسم از سوی دیگر بسیار ارزشمند است . [2] برابری وقتی است که دو شیء دقیقاً یکسان هستند و هر آنچه که در مورد یک جسم صحیح است در مورد دیگری صادق است ، در حالی که ایزومورفیسم دلالت بر همه چیزهایی دارد که در مورد یک قسمت مشخص شده از ساختار یک شیء صحیح است در مورد دیگری. به عنوان مثال ، مجموعه ها

A = \ {x \ in \ mathbb {Z} \ mid x ^ 2 <2 \ و B = \ {- 1 ، 0 ، 1 \} \ ،

برابر هستند ؛ آنها نمایندگی-صرفا متفاوت است برای اولین بار یک intensional یک (در نماد سازنده مجموعه ای )، و دوم کششی (با شمارش صریح) استون زیر مجموعه همان اعداد صحیح است. در مقابل ، مجموعه های { A ، B ، C } و 1،2،3 { برابر نیستند ؛ در ابتدا عناصر دارای حروف هستند ، در حالی که دوم دارای عناصر عددی است. اینها به عنوان مجموعه ایزومورفیک هستند ، از آنجا که مجموعه های محدود تا ایزومورفیسم توسط کاردینالیت بودن آنها (تعداد عناصر) تعیین می شوند و این هر دو سه عنصر دارند ، اما انتخاب های زیادی برای ایزومورفیسم وجود دارد - یکی از ایزومورفیسم.

\ text A} \ mapsto 1، \ text {B} \ mapsto 2، \ text {C} \ mapsto 3، در حالی که دیگری است \ text A} \ mapsto 3، \ text {B} \ mapsto 2، \ text {C} \ mapsto 1،

و هیچ کس ایزومورفیسم ذاتاً بهتر از سایرین نیست. [توجه 1] [توجه 2] از این نظر و به این معنا ، این دو مجموعه مساوی نیستند زیرا نمی توان آنها را یکسان دانست : فرد می تواند یک ایزومورفیسم بین آنها را انتخاب کند ، اما این یک ادعای ضعیف تر از هویت است - و معتبر فقط در زمینه ایزومورفیسم انتخاب شده.

بعضی اوقات ایزومورفیسم ها می توانند آشکار و قانع کننده به نظر برسند ، اما هنوز برابر نیستند. به عنوان نمونه ساده ، روابط تبارشناسانه میان جو ، جان و بابی کندی به معنای واقعی مشابه روابط میان چهارچوب فوتبال آمریکایی در خانواده منینگ است: آرچی ، پیتون و الی . جفت شدن پدر و پسر و جفت شدن برادر بزرگتر-جوانتر برادر کاملاً مطابقت دارند. این شباهت بین دو ساختار خانوادگی نشانگر منشاء کلمه ایزومورفیسم (یونانی iso - ، "همان" ، و - morph است.، "فرم" یا "شکل"). اما از آنجا که کندی ها همان قوم مانینس نیستند ، این دو ساختار شجره نامه صرفاً ایزومورفیک و یکسان نیستند.

مثال دیگر رسمی تر و مستقیم تر انگیزه تمایز برابری از ایزومورفیسم را نشان می دهد: تمایز بین یک وکتور محدود محدود ابعادی V و فضای دوتایی آن V * = {φ: V → K } از نقشه های خطی از V به میدان آن اسکالرهای K . این فضاها از همان ابعاد برخوردار هستند ، و به همین ترتیب به عنوان فضاهای بردار انتزاعی ایزومورفیک هستند (از آنجا که از نظر جبری ، فضاهای برداری براساس بعد طبقه بندی می شوند ، همانطور که مجموعه ها توسط کاردینالیتی طبقه بندی می شوند) ، اما انتخاب "طبیعی" ایزومورفیسم وجود ندارد.\ scriptstyle V \، \ overset {\ sim} {\ to} \، V ^ *. اگر کسی پایه ای برای V انتخاب کند ، این یک ایزومورفیسم ایجاد می کند: برای همه شما . v ∈ V ،

v \ \ overset {\ sim} {\ mapsto \ \ phi_v \ in V ^ * \ quad \ text {به گونه ای که} \ quad \ phi_v (u) = v ^ \ mathrm {T} u.

این مربوط به تبدیل یک بردار ستون (عنصر V ) به یک بردار ردیف (عنصر V *) با انتقال است ، اما انتخاب متفاوت مبنا ایزومورفیسم متفاوتی می دهد: ایزومورفیسم "به انتخاب مبنا بستگی دارد". بیشتر ماهرانه، وجود دارد است یک نقشه از یک فضای برداری V به آن دو دو V ** = { X : V * → K } که در انتخاب بر اساس بستگی ندارد: برای همه V ∈ V و φ ∈ V *،

\ phi (v)v \ \ overset {\ sim} {\ mapsto \ x_v \ in V ^ {**} \ quad \ text {به گونه ای که} \ quad x_v (\ phi) = \ phi (v).

این منجر به یک مفهوم سوم ، یعنی یک ایزومورفیسم طبیعی می شود : در حالی که V و V ** مجموعه های مختلفی هستند ، یک انتخاب طبیعی "ایزومورفیسم" بین آنها وجود دارد. این مفهوم شهودی "یک ایزومورفیسم که به انتخاب خودسرانه وابسته نیست" در مفهوم تحول طبیعی رسمی می شود . به طور خلاصه ، ممکن است شخص به طور مداوم ، یا به طور کلی تر نقشه را از یک فضای بردار ابعاد محدود به دوتایی دوگانه خود ، شناسایی کند ،\ scriptstyle V \، \ overset {\ sim} {\ to} \، V ^ {**}، برای هر فضای برداری به روشی مداوم رسمیت این شهود انگیزه ای برای توسعه تئوری مقوله است.

با این حال ، موردی وجود دارد که معمولاً تمایز بین ایزومورفیسم طبیعی و برابری صورت نمی گیرد. این برای اشیاء است که ممکن است با یک خاصیت جهانی مشخص شود . در حقیقت ، یک ایزومورفیسم منحصر به فرد ، لزوماً طبیعی ، بین دو جسم مشترک با یک خاصیت جهانی وجود دارد. یک نمونه معمولی مجموعه اعداد واقعی است که می تواند از طریق گسترش اعشاری نامحدود ، گسترش باینری نامتناهی ، توالی های کوشی ، برش ددکیند تعریف شود.و بسیاری از روش های دیگر به طور رسمی این سازه ها اشیاء مختلفی را تعریف می کنند که همگی راه حل های یک خاصیت جهانی یکسان هستند. از آنجا که این اشیاء دقیقاً دارای همان خصوصیات هستند ، ممکن است روش ساخت را فراموش کرده و آنها را برابر بدانیم. این چیزی است که هر کسی در هنگام صحبت کردن از " مجموعه ای از اعداد حقیقی". همین اتفاق در مورد فضاهای بزرگ نیز رخ می دهد : آنها معمولاً به عنوان مجموعه کلاس های هم ارزی ساخته می شوند . با این حال ، صحبت کردن در مورد مجموعه ها ممکن است ضد انعطاف پذیر باشد ، و فضاهای بزرگ معمولاً به عنوان یک جفت مجموعه ای از اشیاء مشخص نشده که اغلب به آنها "نقاط" گفته می شود ، و یک نقشه surjective روی این مجموعه قرار می گیرند.

اگر کسی بخواهد جلب تمایز بین یک ریخت دلخواه (که بستگی به انتخاب) و یک isomorphism طبیعی (که می تواند به طور مداوم انجام می شود)، یکی ممکن است ارسال ≈ برای ریخت غیر طبیعی و ≅ برای isomorphism طبیعی، همانطور که در V ≈ V * و V ≅ V **. این کنوانسیون به طور جهانی دنبال نمی شود ، و نویسندگانی که مایل به تفکیک بین ایزومورفیسم های غیر طبیعی و ایزومورفیسم های طبیعی هستند ، عموماً به صراحت این تمایز را بیان می کنند.

به طور کلی ، گفتن اینکه دو شیء برابر هستند ، زمانی محفوظ است که یک مفهوم از فضای بزرگتر (محیط) که این اشیاء در آن زندگی می کنند محفوظ باشد. بیشتر اوقات ، یکی از برابری دو زیر مجموعه از یک مجموعه معین صحبت می کند (مانند نمونه مجموعه صحیح در بالا) ، اما نه از دو شیء که بطور انتزاعی ارائه شده است. به عنوان مثال ، کره واحد 2 بعدی در فضای 3 بعدی

S ^ 2: = \ {(x، y، z) \ in \ mathbb {R} ^ 3 \ mid x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 \و کره ریمان \ widehat \ mathbb {C}

که می تواند به عنوان جمع و جور تک نقطه ای از هواپیمای پیچیده C ∪ {∞ } یا به عنوان یک خط پروژکتور پیچیده (یک فضای بزرگ) ارائه شود

\ mathbf {P} _ {\ mathbb {C}} ^ 1: = (\ mathbb {C} ^ 2 \ setminus \ {(0،0) \}) / (\ mathbb {C} ^ *)

سه توصیف های مختلف برای یک شی ریاضی، همه از آن ریخت هستند، اما نه می برابر زیرا آنها تمام زیر مجموعه های یک فضای واحد: اولین زیر مجموعه ای از است R 3 ، دوم این است C ≅ R 2 [توجه داشته باشید 3] به علاوه یک نقطه اضافی، و سوم است subquotient از C 2

در زمینه نظریه طبقه بندی ، اشیاء معمولاً در بیشتر ایزومورف قرار دارند. در واقع ، انگیزه ای برای پیشرفت نظریه مقوله نشان می دهد که سازه های مختلف در تئوری هومولوژی ، گروه های معادل (ایزومورفیک) را به همراه آورده اند. با توجه به نقشه های بین دو شی X و Y ، با این حال ، یک نفر می پرسد که آیا آنها برابر هستند یا نه (هر دو عنصر مجموعه Hom ( X ،  Y ) هستند ، از این رو برابری رابطه مناسب است) ، به ویژه در نمودارهای ترافیکی .

منبع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphism