توسط علی رضا نقش نیلچی
| سه شنبه هجدهم تیر ۱۳۹۸ | 8:11
5.0.1 فلسفه ریاضی کانت
پایان نامه ها:
ریاضیات در مورد جهان تجربی است، اما در یک راه مهم خاص است: اجزای مورد نیاز جهان (28) از طریق اثبات ریاضی؛ برای اثبات چیزی اشتباه است، باید فقط نشان دهد که جهان ممکن است متفاوت باشد.
مشکل معرفتشناختی:
علوم اساسا تعمیم ها از تجربه است، اما این می تواند تنها ویژگی های احتمالی، ویژگی های احتمالی جهان (ممکن است در غیر این صورت) ارائه دهد. علم به سادگی پیش بینی می کند که آینده گذشته را آشکار می کند.
ریاضیات درباره دنیای تجربی است، اما معمولا روشهای تحویل دانش به دانش مشروط، نه ضرورتی است که ریاضیات خالص (29) به ما می دهد. کانت دانش مورد نیاز با دانش تجربی را می خواهد.
کانت مشکلی را در چند مرحله دارد
1) اشیاء در جهان تجربی ظاهر (یا پدیده) هستند. طبيعت آنها فقط داراي ويژگي هايي هستند که ما از تجارب آنها مي دانيم. آنها نمی چیزها در خودشان . بنابراین کانت گفت: باید:
تبدیل شدن به یک ایده آلیست - خواص شی تنها چیزی است که قابل درک است؛ خواص غير تجربي اشیاء وجود ندارد.
2) ساخته شده به ذهن ما دو شکل از شهود و ادراک است به طوری که هر گونه درک ما که شکل گرفته توسط این اشکال: فضا و زمان . اینها، در واقع، بخش هایی از ذهن هستند، و نه چیزی که ذهن از تجربیات به دست می آورد. بنابراین، اشیاء تجربی ضرورتا اشیاء فضایی هستند .
3) سپس ما می دانیم خواص spaciotemporal به صورت یک پیش فرض ؛ در مطالعه خواص spaciotemporal، ما صرفا در حال مطالعه خودمان و توانایی های ادراکی ما هستیم.
4) ریاضیات به سادگی علم است که خواص طول فضایی اشیا را با مطالعه ماهیت فضا و زمان مطالعه می کند. (30)
بنابراین، ریاضیات مطالعه فرم انتزاعی ادراک است.
در مورد ایده های بی نظیر - همه چیز به ادراک بستگی ندارد؟
کانت تمایز بین:
شهود تجربی، شهود از حواس که همیشه محدود است (ریاضیات با این برخورد نمی کند)، و
شهود خالص، مطالعه فرصت هایی برای شهود تجربی که در آن محدودیت های محدودی در هر دو جهت معرفی نشده است.
بنابراین ریاضیات می تواند تقسیم فواصل کوچک و گسترش فواصل بزرگ را اجازه دهد. این بدان معناست که ما می توانیم مقادیر کوچکتر و کوچکتر را بدون معرفی کوچکترین مقادیر مورد بحث قرار دهیم.
فرض کنید ما می خواهیم ثابت کنیم یک فاصله قابل تقسیم است. ما می توانیم این را با موارد زیر انجام دهیم:
1) یک فاصله را انتخاب کنید
2) نمایش آن قابل تقسیم است
3) چکیده از اندازه واقعی آن، و اجازه دهید آن را نشان دهنده مفهوم یک فاصله قابل درک است.
دو نتیجه از نمایش کانتی
چنین چیزی به عنوان ریاضیات اعمال نشده است - ریاضی طبق طبیعت در مورد جهان است (اگر آن را نباشد، فقط یک بازی انتزاعی است).
دقیقا یک نظریه ریاضی درست زمان، فضا و حرکت است. (31)
5.1.1 معرفی مفاهیم محدود
به جای صحبت کردن در مورد مقادیر بی نهایت، فکر می کنم یک دنباله ای از مقادیر کوچکتر و کوچکتر نزدیک به یک عدد باشد. این ایده در اواخر قرن 18 به طور مستقل توسط بولزاانو و کوشی فرموله شد.
تعریف محدودیتی از Bolzano
هنگامی که F 1 (x)، F 2 (x)، ...، F n (x)، ... است به طوری که برای هر مقدار کوچک داده شده تفاوت بین F n (x) و F n + r (x) می شود و کمتر از مقدار آن به عنوان N افزایش می یابد، سپس یک و تنها یک مقدار وجود دارد که دنباله می شود تا آنجا که نزدیک به شما لطفا.
امروزه این تعریف، نمونه ای از معیار داخلی برای همگرایی است .
تعریف کوشی از یک حد
هنگامی که مقادیر پیوندی نسبت به یک متغیر نسبت به یک مقدار ثابت به طور نامحدود ارزش ثابت را در نظر می گیرند، به طوری که با تفاوت از آن به عنوان کمی به عنوان یک خواسته ها، این آخرین محدودیتی از همه دیگر نامیده می شود.
تفاوت بین تعاریف: گفتگو کوشی در ارتباط با پایان دادن به! او یک معیار خارجی برای همگرایی می دهد . (32)
5.1.2 ارزیابی ریاضیات
اولین قدم، مفهوم دقیق آنچه که محدود است؛ Bolzano و Cauchy مراقبت از آن را انجام دادند.
برنامه های همگرا به یک حد:
کوشی در توصیف مفهوم مشتق شده از محدودیت استفاده می کند. او همچنین مفهوم f (x) را معرفی کرد:
این یک بی نهایت بالقوه ارسطویی بود، به جای یک بی نهایت واقعی.
کاربرد به مفهوم یک مقدار مستمر:
هنگامی که یک خط (یا تابع) پیوسته است؟
تابع در x 0 پیوسته است اگر xx 0 ، f (x) f (x 0 ) باشد. تابع (به طور کلی) پیوسته است اگر برای تمام نقاط x 0 پیوسته باشد.
بنابراین، مفهوم تداوم به یک مفهوم حساب (از مفهوم هندسی) ساخته شد.
کوشی با استفاده از مفهوم محدودیت برای تعریف و در واقع ساختن اعداد غیر منطقی از محدودیت ها و سری ها استفاده می کند. او گفت که اعداد غیر منطقی محدودیت یک دنباله ای از اعداد منطقی است. مثلا:
(به عنوان محدودیت مجموعه تعریف شده است)
کوشی درست بود که 
باید به عنوان یک عدد مشاهده شود، اما تلاش او برای نشان دادن همگرایی به دلیل تعریف او از حد محدود نشد. او یک عدد غیر منطقی را به عنوان همگرایی یک دنباله تعریف کرد، اما تعریف او از یک محدودیت، نیاز به دانستن محدودیت در پیش (برای نزدیک شدن و نزدیکتر شدن).
کوشی تصور می کرد که همگرایی داخلی ایجاد یک حد را داشته باشد؛ او گام تعریف از نوع موجودیت محدود کردن یک دنباله را از دست داد. کارل وایرستراس (33) عنصر گمشده را اضافه کرد:
مشکل با تعریف کوشی، هیچ محدودیتی برای محدودیت دنباله وجود ندارد. اجازه دهید که یک سری از اعداد منطقی همگرا مجموعه ای از اعداد در مجموعه باشد. بنابراین یک مجموعه یک عدد است . از این رو، محدودیت:
1، 1.4، 1.41، 1.414، 1.4142، ...
مجموعه:
{1، 1.4، 1.41، 1.414، 1.4142، ...}
و:
وایرشتراس همچنین تعریف محدودیت را معرفی کرد:
اگر برای همه> 0، وجود دارد a> 0 به طوری که برای همه t:
دلالت دارد 
ما اکنون به ایده ی فیثاغورثی از یک نظریه واحد بر اساس مفاهیم عددی بازگشته ایم.
تعریف وایرستراس از نامعقول وابسته به آن مجموعه ای است؛ مفهوم پیوستگی به ایده دنباله ای از اعداد منطقی و همگرایی کاهش می یابد.
ریچارد ددکیند آن را یک گام بیشتر خلاصه کرد. او نشان داد که تعریف عدد غیر منطقی را می توان تنها با مفهوم مجموعه ای از اعداد منطقی (حذف نیاز به مفاهیم سری یا همگرایی) انجام داد. فرض کنید ما مجموعه ای از اعداد عقلانی داریم و مجموعه را به قطعات A و B بر می گردانیم و مجموعه را خسته می کنیم. تمام اعداد منطقی در مجموعه A یا مجموعه B هستند ، هیچ کدام در هر دو نیستند و تمام عناصر A کمتر از همه عناصر B است . سپس می توانیم مفهوم انتزاعی یک عدد واقعی را به عنوان یک جفت تعریف کنیم، { A ، B } مجموعه. مثلا:
توسط مجموعه { A ، B } تعریف شده است ، به طوری که:
A مجموعه ای از اعداد منطقی x است، با x 2 <2، و
B مجموعه ای از اعداد منطقی y است، با y 2 > 2.
دیدگاه ددکیند انتزاعی تر است، اما نیاز به ماشین آلات مفهومی کمتری دارد - ابهامات تنها از نظر عقلانی و مجموعه ها تعریف می شود.
این دیدگاه نشان دهنده عقب نشینی در یک مسئله مهم است: در واقع مجموعه های بی نهایت باید اشیاء مشروع باشند.
جورج کانتور یک تئوری سازگار با اندازه های بی نهایت را نشان داد. او اعداد طبیعی را از لحاظ مجموعه تعریف کرد.
فرگه نشان داد هیچ چیز دیگری نیست، اما یک مجموعه بی نهایت لازم است؛ او از ریاضی به عنوان شاخه ای از منطق انتزاعی خالص فکر کرد.
ریاضیات از طبقه بندی اعداد نشان داده شده در شکل 14 ساخته شده است. هر سطح مجموعه ای از عملیات تعریف شده خود را دارد: N، اعداد طبیعی، عملیات تعریف شده است. Q، اعداد عقلانی، به عنوان نسبت N تعریف می شوند و عملیات آنها با توجه به عملیات در N. R تعریف می شود، اعداد واقعی، به عنوان مجموعه ای از توالی های همگرا از اعداد منطقی یا به عنوان Dedekind قطع
مهم است که:
یک زیرمجموعه ای از Q که به N است، وجود دارد
یک زیرمجموعه ای از R به صورت Q است.
عملیات باید برای حفظ این ایزومورفیسم تعریف شود.
شماره اول که به عنوان عنصر N دیده می شود، یک نهاد متفاوت از شماره یک است که به عنوان عنصر از Q به عنوان یک عنصر متفاوت از شماره یک به عنوان عنصر از R دیده می شود.
بنابراین، از نظر شناختی، اشیاء پایه ریاضیات N (اعداد طبیعی) و مجموعه ها هستند! دو تحولاتی که به این امر منجر می شود عبارتند از:
1) بررسی مفهوم مجموعه های بی نهایت به صورت اعداد و یک مجموعه بی نهایت می تواند یک عدد باشد.
2) بررسی ماهیت اعداد طبیعی.
5.2 کانتور
کانتور با آنچه که عدد است، مربوط نیست. در عوض، او تعجب کرد:
هنگامی که این دو مجموعه اشیاء یکسان هستند؟
کانتور، بنابراین، مفهوم شباهت اندازه (یعنی برابری کاردینال) را تعریف کرد:
دو مجموعه دارای همان قدرت می باشند اگر یک نقشه برای آنها وجود داشته باشد که هر دو آنها را خنثی می کند. 
(34)
به همین ترتیب، مجموعه A دارای قدرت توانایی مجموعه ای B است اگر یک نقشه برداری از مجموعه B به یک مجموعه ای که B را خاموش می کند وجود دارد .
عدد E، مجموعه اعداد حقیقی، و N، مجموعه ای از اعداد طبیعی:
اما EN، بنابراین 
باید بیشتر از 
. (35)
Dedekind گفت مجموعه بی نهایت یک مجموعه است که می تواند به یک مکاتبات با یک زیر مجموعه مناسب از خود قرار داده است.
کانتور نشان داد که توانایی Q = powerinality از N را با نمایش یک تا یک نقشه بندی نشان می دهد.
اثبات: اعداد منطقی را همانطور که در شکل 15 نشان داده شده بنویسید. تمام اعداد عقلانی 
در شبکه نشان داده می شوند. اکنون آنها را به ترتیب نشانگر فلش نشان می دهند. این اعداد منطقی را مرتب می کند، بنابراین یک عدد به یک مکاتبه با N ایجاد می کند. اولین عدد منطقی در نظم مربوط به یک، دوم مربوط به دو و غیره است.
قابل شمارش مجموعه (گاهی اوقات به نام شمارش ) یکی که می تواند به یک تناظر یک به یک با مجموعه ای از اعداد طبیعی قرار داده است.
کانتور فرض کرد که فقط دو نوع اعداد اصلی وجود دارد: محدود یا بی نهایت؛ در نتیجه تمام مجموعه های بی نهایت از یک اندازه می باشند. با این حال، او ثابت کرد این حدس دروغین! مجموعه ای از R بزرگتر از N است. در حقیقت تعداد عدد واقعی بین صفر و یک وجود دارد از مجموع اعداد طبیعی است.
اثبات مداخله: (36)
فرض کنید که 
. لیست تمام اعداد طبیعی را در سمت چپ قرار دهید و شماره واقعی مربوطه را به هر سمت راست بدهید:
1 0.a 1 1 a 2 1 a 3 1 a 4 1 a 5 1 a 6 1 .....
2 0.a 1 2 a 2 2 a 3 2 a 4 2 a 5 2 a 6 2 .....
3 0.a 1 3 a 2 3 a 3 3 a 4 3 a 5 3 a 6 3 .....
4 0.a 1 4 a 2 4 a 3 4 a 4 4 a 5 4 a 6 4 .....
5 0.a 1 5 a 2 5 a 3 5 a 4 5 a 5 5 a 6 5 .....
6 0.a 1 6 a 2 6 a 3 6 a 4 6 a 5 6 a 6 6 .....
و غیره.
دو فرض دیگر:
فهرست می تواند تکمیل شود
هر عدد واقعی بین 0 و 1 در لیست رخ می دهد
حالا r = 0 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 را انتخاب کنید .....
اجازه دهید d n = 3 اگر n n 3 باشد، در غیر این صورت d n = 4 باشد.
به عبارت دیگر، اجازه دهید r با حداقل یک رقم (رقم قطر) از تمام اعداد واقعی ذکر شده متفاوت باشد. بنابراین r حداقل از یک عدد حداقل یک رقم متفاوت است، بنابراین:
چون یکی به یک تابع از N به R خالی N.
کانتور متوجه می شود که اثبات می تواند تعمیم داده شود:
با توجه به هر مجموعه K، مجموعه توان K، P (K) = {S | S \ &} K}. بعد از آن درست است:
به طور مجاور، مجموعه ای از زیر مجموعه های مجموعه ای از زیر مجموعه ها بی نهایت حتی بزرگتر و غیره است. این بدان معنی است که سلسله مراتب نامحدودی از اعداد بزرگتر وجود دارد. به طور کلی:
مجموعه قدرت هر مجموعه دارای اندازه بزرگتری است.
نشانه کانتور:
= 0 (تعداد اصلی عدد طبیعی (37) )
= 0
= 
توجه داشته باشید که این علامت با این واقعیت ارتباط دارد:
P {1،2،3} = 8 = 2 عدد از عناصر
مجموعه ای از تابع از R به R = 
یکی دیگر از دلایل این نشانه این است که ما هنوز ثابت نشده است که هیچ مجموعه A چنین است: (38)
0 
علاوه بر این، کانتور نشان داد که چگونه می توان با حساب infinities انجام حساب کرد:
0 + 0 = {0،2،4، ...} {1،3،5، ...} = {0،1،2،3،4، ...} = 0
0 2 = 0 0 = 0 .
به طور کلی، با عدد اصلی خود کار نکنید؛ در عوض، عملیات نظری مجموعه ای را بر روی مجموعه هایی با کارایی های تعداد داده شده انجام دهید.
سوال باقی می ماند: کدام نوع موجودیت یک عدد اصلی است؟ تمایز بین اعداد کرنلال و اعداد با تعداد محدودی بسیار مهم است زیرا ترکیب آنها هماهنگ است؛ با این حال با تعداد نامحدود، تمایز ضروری است.
مفهوم کانتور از نظم (نوع سفارش) به عنوان یک نظم نگهداری یک به یک مکاتبات تعریف شد. به عنوان مثال، مجموعه ای از اعداد طبیعی از همان نوع مرتب به عنوان مجموعه اعداد حقیقی استفاده می کنند، زیرا وجود یک مرتبه نگهداری از یک مرتب سازی بین دو مجموعه (یعنی 0 0، 1 2، 2 4، 3 6، و غیره )
بنابراین، N و Q از انواع نظم متفاوت هستند! عناصر Q یک ترتیب ندارند - شماره بعدی وجود ندارد . بنابراین در مجموعه های شمارنده دو نوع نظم وجود دارد.
=، و
=
باز هم می توانیم محاسبات را در این نوع نظم انجام دهیم:
1 + = زیرا {0} {1،2،3، ...} = {0،1،2،3، ...} =
با این حال:
+ 1 چون {1،2،3، ...} {a} = مجموعه ای با انتهای بدون هیچ پیشینی منحصر به فرد (متفاوت است که هیچ پایان ندارد).
بنابراین، قانون تعویض برای ریاضی مرتب نمی شود.
* نوع نظم اعداد منفی طبیعی است، بنابراین:
* + 1 = *
در حقیقت، 2 0 نوع مرتبه مختلفی از مجموعه های مجاز وجود دارد.
نتیجه تحقیق بی نهایت:
بی نهایت دیگر تابو نیست
بی نهایت به عنوان یک مفهوم با محتوای غنی، مرکزی برای ریاضی پذیرفته شده است.
پایه مفهومی برای محاسبه ارائه شد - تمام مفهوم ریاضیات به ایده های اعداد طبیعی و (احتمالا بی نهایت) مجموعه محدود شد.
هیچ گونه تجدید نظر به شهود در ریاضیات دیگر.
مقاومت از لئوپولد کرونکر (39)
Kronecker در انتقاد از کانتور درگیر. او فکر کرد که تمام کانتور ها بی معنی بود - فقط کار مصنوعی انسان. (40)
در حال حاضر ریاضیات به اعداد و مجموعه های طبیعی کاهش یافته است. با این حال، سوالات باقی می ماند: کج خلقی پشت اعداد طبیعی کجاست؟ اعداد طبیعی چه هستند؟ چرا کاهش در آنجا متوقف می شود؟ بنابراین، حرکت کلی به سمت ایجاد چارچوب مفهومی غیر شهودی برای اعداد طبیعی وجود دارد.
5.3.1 Peano
اولین تلاش توسط Peano انجام شد. (41) او به ایده ی اقلیدس می رود تا مبنای کامل این چارچوب را ارائه دهد. Peano به پنج عقیده در مورد مفهوم یک عدد طبیعی اشاره کرد:
1) 0 یک عدد طبیعی است
2) هر عدد طبیعی، k ، یک جانشین منحصر به فرد دارد، k .
3) اگر K = متر پس از آن ک = متر .
4) 0 جانشین هر عدد طبیعی نیست.
5) محوری از القای ریاضی:
اگر 0 دارایی خاصی دارد، P و اگر n دارای املاء P باشد ، n نیز دارای املاء P است ، و هر عدد دارای ویژگی P است . (42)
این به توصیف دقیق مفهوم یک عدد طبیعی می دهد. با این حال، چندین مشکل هنوز وجود دارد:
آیا شماره یک را نمیدانید مفاهیم پایه (یعنی عدد، جانشین و 0) تعریف نشده اند. (43)
مجموعه N، N از اعداد طبیعی منحصر به فرد نیست. بسیاری از مجموعه ها به الگوی مناسب می رسند، به عنوان مثال، E، مجموعه ای از اعداد حتی به الگوی هم می رسد. (44)
5.3.2 فرگه
Frege (45) با تمایل به یک مفهوم رضایت بخشانه ای از یک عدد، بلکه نیاز به سختی نیز انگیزه داشت. تجزیه و تحلیل او از ابهام مفهوم ریاضی به عنوان یک سنگ فلسفه مدرن محسوب می شود. فرگه معتقد بود که زبان از دو نوع اصطلاح تشکیل شده است: کسانی که به اشیاء (نام ها) فردی اشاره می کنند و آنهایی که به ارتباط بین اشیاء (مفروضات) اشاره دارند. فرگه اشاره می کند که اعداد خواص اشیا نیستند.
فرگه معتقد بود که برای ریاضیات ما باید با زبانهای طبیعی کنار بیاییم و از زبان رسمی استفاده کنیم. سپس یک زبان مصنوعی را با ابهامات حذف کرد. (46)
حساب Frege از تعداد طبیعی هستی شناسی است - او می گوید اعداد نام هایی هستند که به نوع خاصی از مجموعه ها اشاره دارند. این انتخاب هوشمندانه جسم که تعداد آن ها را نشان می دهد، تمام ریاضیات را به مفهوم واحد یک مجموعه کاهش می دهد.
اصل فرگه از درک:
برای هر ملک، یک شیء خاص (به نام extension of that property) که مجموعه ای از همه چیزهایی است که این ویژگی دارند نامیده می شود.
نشانه گذاری:
{ X | P X } مجموعه ای از تمام X است که X داراي P است . مثلا:
{ X | X X } = ƒim ؟؟ D $، مجموعه خالی است.
در نظر بگیرید M = {Groucho، Chico، Harpo}. اموال همان اندازه M است . فرمت آن ویژگی = { X | X همان اندازه است که M = 3 = 
.
با این کار، شماره 3 مجموعه ای با قدرت 0 است . شماره 0، با این حال، توانایی 1 را دارد.
همانطور که همیشه، مشکلات وجود دارد:
فقط جنبه اصلی یک عدد را بیان می کند - برای نظم و انضباط چیزی نمی دهد.
انجام حسابدهی دشوار است.
بنابراین، فرگه به مرحله نهایی رسید. او به این نتیجه رسید که آنچه ما مورد نیاز بود مجموعه های کانونی بود. بنابراین او اعداد طبیعی را به صورت زیر تعریف کرد:
0 = گسترش مالکیت:
همان اندازه از مجموعه { X | X X }.
1 = گسترش مالکیت:
همان اندازه از مجموعه { X | X = 0}.
2 = گسترش مالکیت:
همان اندازه از مجموعه { X | X = 0 یا X = 1}.
و غیره توجه داشته باشید که این یک تعریف بازگشتی است که در آن تعداد n از لحاظ تعداد کوچکتر تعریف شده است. این واقعیت، عدد طبیعی را حس نظم می دهد (که نزدیک به صفر است).
بنابراین، حساب Frege از اعداد طبیعی این است که مجموعه ای از مفاهیم اساسی است که از اعداد ساخته شده است. اعداد طبیعی فقط به مفاهیم اموال، گسترش یک اموال، برابری و نفی بستگی دارند - همه اینها مفاهیم منطق هستند، نه ریاضیات. از این رو، فرگه در نهایت نتیجه گرفت که ریاضیات به سادگی شاخه ای از منطق خالص است. توجه فرژه تعریف هستی شناسی است. همچنین آنتی کتیان در آن ریاضی به وضوح از هر تجدید نظر به شهود آزاد است. از طریق تعریف و استفاده از زبان مصنوعی، شدت تنش به دست آمد. فرگه از پلاتونیسم حمایت کرد : این ایده که اشیاء ریاضی انتزاعی به شدت هستند - هیچ ارتباطی با اشیاء ریاضی از طریق حواس نمی تواند باشد.
دو نوع خواص
اموال مرتبه اول امری است که به اشیاء اعمال می شود.
اموال مرتبه دوم اموالی است که به خواص دیگر اعمال می شود.
دکترین منطق - دیدگاه که ریاضیات شاخه ای از منطق است.
تعاریف فرگه از اشیاء ریاضی استفاده می کند تنها از ایده منطقی: یا ، نه ، برابر ، مجموعه ، اموال ، و پسوند . بنابراین هر کسی که قادر به تفکر و درک مفاهیم ساده است، پایه کامل لازم برای ریاضیات است.
کار فرژه به عنوان ضروری در نظر گرفته شده است - در حال حاضر یک پایه ثابت برای ریاضیات وجود دارد!
کار برتراند راسل کار فرژه را به چشم عموم درآورد.
مشکل :
راسل متوجه شد که در مفهوم پایه مشکل وجود دارد که هر دارایی دارای پسوند است.
برخی خصوصیات خود ارجاعی هستند (آنها به خودشان اعمال می شود). به عنوان مثال، ویژگی انتزاعی خود ارجاعی است: مجموعه ای از همه چیزهایی که انتزاعی هستند شامل مجموع همه چیزهای انتزاعی است.بنابراین مجموعه ای از اعضای خود است. در مقابل، یک ملک غیر خود ارجاعی دارای پسوند است که خود را شامل نمی شود. به عنوان مثال، دارایی بودن ساختمان: مجموعه ای از همه چیزهایی که ساختمان ها هستند (مجموعه ای از تمام ساختمان ها) شامل خود نمی شود.
فرض فرگه این بود که هر مفهوم انتزاعی دارای پسوند است. خواص بودن عضو یک شخص و عدم عضو بودن خود را در نظر بگیرید. ما داریم:
، و
.
اجازه دهید a = { z | z انتزاعی است}، b = { w | W یک ساختمان} است. حالا توجه کنید که:
مهمتر از همه، r یک عنصر از خود (با تعریف) نیست. ما سعی خواهیم کرد تا این روش را با یک روش کم آبی absurdum ثابت کنیم:
فرض کنید: R R . این بدین معنی است که r {x | xx}، بنابراین r r این با پیش فرض اولیه مخالف است، بنابراین r r . با این حال، واقعیت است که r یک عضو نیست خود را نشان می دهد r است که در واقع عضو از خود (مجموعه ای از چیزهایی که اعضای خود نیستند). بنابراین وجود r کاملا متناقض است.
بنابراین، همانطور که می بینیم، اصل درک به طور داخلی ناسازگار است. این بسیار مایه تاسف است! تمام ریاضیات به چند مفهوم ساده کاهش یافته است، اما در حال حاضر یک تضاد در یکی از این مفاهیم ساده وجود دارد! آیا این به این معنی است که همه اندیشه های مفهومی در نهایت درونی ناسازگار است؟
این بحران سوم است . بحران در بنیاد ریاضیات .
I.6 دو مورد از سه واکنش به بحران سوم
سه بحران اصلی در بحران در پایه ریاضی وجود دارد:
1) Platonism Bertrand Russell - کار فرژه را حفظ کنید، فقط مشکلات خود را پچ کنید.
2) فرمالیته دیوید هیلبرت
3) Intuitionism برورر
هر دو واکنش دو و سه ضد پلاتونی بودند؛ آنها ترجیح می دادند که از انتزاع ریاضیات بیرون بیایند و آن را بر شهود بگذرانند.
6.1 واکنش پلاتونی
آلفرد نور وایتهد و برتراند راسل بیش از یک دهه با همکاری " Principia Mathematica " همکاری کردند . این کار:
برنامه منطق را با شور و اشتیاق اجرا کرد.
ساخت یک بخش اصلی از ریاضیات را که فراتر از کار فرژه است، نشان داد.
جزئیات کامل قضیه نظریه شماره و محاسبات، همه از تعاریف اساسی فرژه است.
به طور کامل در یک زبان رسمی انتزاعی - پیشگویی از نماد منطق مدرن انجام شد.
برای حذف پارادوکس راسل از نظریه فرگه، راسل و وایتهد تصور یک مجموعه را با معرفی نوع نظریه تصحیح کردند . در تئوری نوعی هیچ مجموعه ای نمی تواند یک عنصر از خود باشد؛ اندیشه مجموعه ای که عنصری از خود است، هیچ معنایی ندارد. در تئوری نوع، سطوح مختلفی از اشیا وجود دارد:
اشیاء سطح 0 اشیاء ساده هستند
اشیاء سطح 1 تمام مجموعه های سطح 0 اشیاء هستند
اشیاء سطح 2 تمام مجموعه ای از اشیاء سطح 1 هستند
اشیاء سطح 3 تمام مجموعه ای از اشیاء سطح 2 و غیره هستند.
بنابراین، همه چیز موجود در سطح مشخصی تایپ می شود. پس از آن می شود آشکار می شود که هیچ چیز نمی تواند عنصری از چیزی از سطح خود و یا پایین تر است. این، در واقع، توانایی ایجاد مجموعه ها را محدود می کند، زیرا هر مجموعه باید بتواند در یک سطح خاص تایپ شود. این سیستم منجر به وجود چنین چیزی به عنوان یک مجموعه جهانی نمی شود، زیرا باید در یک سطح مشخصی قرار بگیرد، اما سطح آن بالا خواهد بود.
به طور کلی، Type Theory تجزیه و تحلیل مفهوم یک مجموعه را تغییر می دهد.
راهکارهای Kurt Gödel، John VonNeuman و Paul Bernaceraf (به طور مستقل کشف شده) یک نظریه مجموعه جدید ایجاد کردند، که اکنون آن را نظریه مجموعه GVB نامیده است. آنها با تئوری نوعی مخالف بودند، چون به لحاظ فلسفی و ریاضی بود ad hoc (عناصر مورد نیاز برای افزودن به تئوری نوع به منظور انجام همه چیز به درستی).
نظریه مجموعه GVB بر اساس ایده کلاس ها بود . هر اموال دارای یک کلاس متناظر بود و دو نوع کلاس وجود داشت: مجموعه ها و کلاس های مناسب. مفهوم مجموعه ای اساسا همانند راسل و وایتهد بود. کلاس های مناسب کلاس های بسیار بزرگ بودند که هرگز در یک سطح نبودند؛ آنها هیچگاه عناصری از چیزی نبودند (کلاس جهانی، به عنوان مثال، کلاس مناسب است).
جنبه های مثبت واکنش افلاطونی
گودل در سال 1940 ثابت کرد که فرضیه پیوسته با مفاهیم نظریه مجموعه سازگار است؛ او از روش مشابهی که برای پویول پنجم اقلیدس استفاده شده استفاده می کند - یک مدل غير استاندارد را نشان می دهد و نشان می دهد که تمام اصول، و همچنین مبانی که سازگاری ما می خواهیم برای تست نگه داریم. گودل یک مدل درونی تئوری مجموعه ای را که از طریق یک مجموعه L تنظیم شده است ، ساخته شده و نشان می دهد که تمام اصول نظریه مجموعه، و نیز فرضیه پیوسته را ثابت کرد. گودل همچنین نشان داد که محرک انتخاب در L درست است .
محدوده انتخابی یک روش جدید ایجاد مجموعه می دهد. این اجازه می دهد تا یک فرد به طور خودسرانه قرار دادن یک مجموعه، به این معنی که مجموعه ای است که عناصر ما هرگز نمی تواند توضیح وجود دارد. به عنوان مثال، ما می توانیم مجموعه شمارا بی نهایت از اعداد عقلانی، یک عنصر از فاصله [0،1]، یکی از [1،2] و غیره ایجاد کنیم ؛ این مجموعه، از آنجایی که بی نهایت است، نمی تواند لیست شود، و از آنجایی که تصادفی نیست، نمی توان شرح داد.
کوهن در سال 1962 از یک مدل درونی استفاده کرد و تکنیک ها را مجبور کرد تا نشان دهند که نفی فرضیه پیوسته نیز درست بود. بنابراین، فرضیه پیوسته به یک سوال غیرقابل حل، مانند نظم موازی تبدیل می شود.
کار Gödel منجر به ایجاد نظریه تبدیل شدن به یک شاخه مستقل و بسیار توسعه یافته از ریاضیات است. همچنین به طور کلی پذیرفته می شود که نظریه مجموعه پایه ریاضیات است.
جنبه های منفی واکنش افلاطونی
نظریه مجموعه در حال حاضر به عنوان نظریه پایه ریاضیات چالش برانگیز است. نظریه گروه به عنوان جایگزینی پیشنهاد شد. در نظریه های گروهی، مفاهیم پایه ای از عملکرد و عمل هستند.
سوالات انطباقی افزایش یافته است
این ایده که مجموعه ها اشیاء اساسی ریاضی هستند دقیق است؟
نظریه مجموعه بیش از حد غنی است؛ روش های مختلفی برای ایجاد بقیه ریاضیات وجود دارد.
عنصر اساسی نباید به طور خودسرانه برآورده شود، در عین حال، هیچ گزینگی را رد نمی کند. دیدگاه مدرن ساختارگرایی است : واحدهای اساسی ساختار هستند، نه واقعیات
در اواخر دهه 1960، پل برنسراف مقاله ای نوشت که چطور تعداد آن نمی تواند باشد . (47) Benacerraf ادعا کرد که اعداد نمیتوانند یک چیز خاص باشند، زیرا هیچ چیزی را اجباری نمیکند که خاص باشد. این منجر به ساختارگرایی می شود. در ساختارگرایی، به عنوان یک عدد طبیعی، باید یک مکان در دنباله باشد.
اگر ریاضیات کاملا انتزاعی باشد، چرا باید هر کاربردی داشته باشد؟ آیا این فقط "معجزه" است که ریاضیات به جهان فیزیکی اعمال می شود، یا در عوض، آیا ما تمایل داریم بر ساختارهای ریاضی که مربوط به جهان هستند، تاکید کنیم؟ این کار با برنامه های کاربردی متعددی برای مبهم کردن روش های ریاضی پیچیده شده است، به عنوان مثال کاربرد کاربرد نظریه گروه در زبان شناسی.
پرسش معرفتشناختی افزایش یافته است
چگونه ما می دانیم آنچه که ما در مورد ریاضیات بدون شهود می دانیم؟
نظریه علمی علم. ما در مورد خواص اجسام از طریق تعامل با آنها می دانیم، در عین حال دانش ریاضی یک زنجیره علی ندارد.
گودل، در سال 1964، چگونگی حل مساله کانتور را توضیح داد؟ او گفت که ما شهود داریم؛ نه شهود حسابی، هر چند. در عوض، گودل بر این باور است که ذهن فکری ریاضی وجود دارد و از طریق عمل کافی ریاضیات توسعه یافته است.
6.2 برنامه هیلبرت (48)
هیلبرت یک واکنش ضد کانتی به نام فرمالیزم نامید . هیلبرت دو هدف متضاد در حال توسعه رسمی داشت: (49)
دانستن مشکلات روش پلاتینیست ها، او می خواست ریاضیات را به بتن رها کند و از انتزاع خلاص شود. هیلبرت می خواست یک مبنای بصری برای ریاضیات، بدون هیچ گونه تجدید نظر به نهادهای بی نظیر، از آنجا که چنین موجودی در علم، جهان، و یا هر جایی وجود ندارد. ریاضیات فقط یک علم است و حق ندارد نهادهای بی نهایت را ایجاد کند. هیلبرت معتقد بود که این پارادوکس ها برای نشان دادن مشکلات ناشی از خستگی روابط با جهان ادراک به حساب می آیند. اساسا، او فکر کرد که استدلال پذیری تنها استدلال نهایی است.
ولی،
هیلبرت نمی خواست هر بخش از ریاضیات را از دست بدهد. او از دادن روشهای بی نظیری که خیلی خوب کار می کرد، حاضر نشدند: "هیچ کس ما را از بهشت که کاندور ما را رهبری کرده است اخراج نخواهد کرد."
نتیجه این اهداف متضاد برنامه هیلبرت نامیده می شود. این برنامه در دو مرحله اجرا می شود:
1) تمام علوم ریاضی را به دو دسته گسترده تقسیم کنید: قسمت واقعی (یا مفهومی) ریاضیات و بخش ایده آل ریاضیات. بخش واقعی شامل تنها بخش هایی از ریاضیات بود که ما را به قلم بیگانه نمی برد. این هیچ سؤال هستی شناختی یا معرفت شناختی را در بر نگرفت. منطق و نظریه اعداد بخشی از ریاضیات واقعی است.
بخش ایده آل ریاضیات شامل همه چیز دیگر بود - همه بخش هایی از ریاضیات که بدون انگیزه دوم هیلبرت دور انداخته می شدند. این شامل هندسه، نظریه مجموعه و تجزیه و تحلیل است.
هیلبرت ایده اولیه ای داشت که هر شاخه ای از ریاضیات را می توان رسمیت داد (به معنی آن را می توان در یک زبان رسمی (50) بیان کرد ) و می تواند به عنوان یک نظام رسمی ایجاد شود.
2) هیلبرت مشاهده کرد که یک نظام رسمی به خودی خود، چیزی جز مجموعه ای از نمادها و قوانین برای برخورد با آنها نیست. نمادها و قوانین متعلق به بخش واقعی ریاضیات است. بنابراین، علم در برخورد با سیستم های رسمی (اثبات خواص و غیره ) متعلق به حقیقت واقعی ریاضیات است. در میان خواص ما باید قادر به اثبات آن است که از هماهنگی. سازگاری به این معنی است که در هنگام برخورد با سیستم، هیچ تناقضی وجود نخواهد داشت. روش اثبات سازگاری متعلق به بخش واقعی ریاضیات است.
علم برخورد با سیستم های رسمی متامماتیک نامیده می شود . روش معمول برای اثبات سازگاری این است که سیستم رسمی را در ریاضیات بتن مدل سازی کرده و سپس نشان دهد که مدل سازگار است.
برنامه هیلبرت در سه مرحله اعمال شد:
1) رسمی شاخه ای از ریاضیات به دست آوردن یک سیستم رسمی، S .
a) طراحی یک زبان رسمی مناسب برای شاخه.
ب) تئوری را در آن زبان آیهی ماتیک کنید.
2) نشان دهید که سیستم رسمی، S ، کافی است . به عبارت دیگر، اصطلاحات باید یک سیستم رسمی برای شاخه مورد نظر ریاضیات ارائه دهند. دو چیز وجود دارد که باید اثبات کرد که کفایت وجود دارد.
a) صدا هر قضیه مشتق شده از سیستم رسمی باید در شاخه ریاضیات درست باشد که سیستم رسمی آن را اجرا می کند. پیامدهای غلط از اصطلاحات زیر نمی تواند باشد.
ب) تکمیل همه چیز درست در شاخه ای از ریاضیات باید به عنوان یک قضیه از اصطلاحات نظام رسمی مشتق شود.
3) ثابت کنید که S سازگار است.
موفقیت در برنامه هیلبرت
هیلبرت و دانش آموز او Ackerman یک سیستم رسمی برای منطق ایجاد کردند.
هیلبرت یک سیستم رسمی برای هندسه ایجاد کرد.
راسل و وایتهد Principia Mathematica نظریه اعداد را رسمی کرد.
دو دانش آموز هیلبرت، Earnst Zermelo و ابراهیم Fraenkel، رسمی مجموعه ای از نظریه مجموعه. (51)
کورت گودل بازیکن اصلی برنامه هیلبرت بود. پایان نامه گودل کامل بودن منطق (اولویت) را اثبات کرد. این اثبات به عنوان قضیه تکمیل گودل شناخته شد.
گودل نیز ثابت کرد که هیلبرت درست در مورد فرض خود مبنی بر اینکه metamathematics بخشی از بخش واقعی ریاضیات است. گودل از نظریه اعداد به عنوان یک مثال کاملا بنیادی استفاده کرد. سپس او نشان داد چگونه صحبت کردن در مورد نمادها را در مورد اعداد صحبت می کند. او یک کد را به هر نماد به طوری که این تعداد به اصطلاح Gödel با ضرب با هم نشان دهنده یک فرمول، مجموعه ای از فرمول ها، و چیزهای دیگر است. سپس می توانید با استفاده از نظریه شماره، در مورد شماره Gödel صحبت کنید.
ساخت شماره Gödel:
برای ایجاد یک شماره Gödel برای یک بیانیه در یک سیستم رسمی، ابتدا باید هر عدد صحیح متمایز از یک شروع کنید. سپس هر موقعیت را در اعداد اول اول متوالی (با شروع از 3) اختصاص دهید. شماره Gödel برای این بیانیه محصول نخستین علامت است که به توان تعداد علامت اختصاص داده شده به نماد در آن موقعیت بیانیه است. از آنجا که شماره دو فاکتور شماره Gödel برای یک بیانیه نیست، تمام اظهارات "Gödel-numbers" عجیب خواهد بود.
شماره Gödel برای دنباله ای از اظهارات (مانند یک اثبات) توسط ضرب پیوندهای متوالی (با شروع از شماره دو) به قدرت شماره Gödel از بیانیه ای که در آن موقعیت در لیست نشان داده می شود، ساخته می شود. به عنوان مثال، اگر A I یک بیانیه در یک اثبات است و A 1 خط اول اثبات و A n آخرین خط است، شماره Gödel برای لیست اظهارات است:
2 گرم (A 1 ) × 3 گرم (A 2 ) × 5 گرم (A 3 ) × 7 گرم (A 4 ) × 11 گرم (A 5 ) × ... × P n g (A n )
برای گفتن چیزی یک قضیه است به این معنی که ما می توانیم یک لیست از احکام را بنویسیم که اثبات آن است. به این ترتیب، شماره Gödel قضیه آخرین حکم در یک شماره حتی Gödel است. این اثبات های قضیه را به یک امریه نظریه شمار که شامل شماره های گودل است، کاهش می دهد. بنابراین تطابق می تواند از طریق نظریه شماره نشان داده شود. گودل هر چیزی را نشان می دهد که ما می توانیم در سیستم رسمی نظریه اعداد نماییم.
آلن تورینگ (52) توابع قابل محاسبه را به عنوان آنهایی که برنامه ریزی شده بودند را با یک ماشین ساده محاسبه می کرد. این توابع قابل محاسبه همان چیزی است که گودل با آن روبرو شد. در واقع، همه تعاریف متفاوتی از توابع قابل محاسبه به مجموعه ای از توابع. توجه داشته باشید که حداکثر 0 توابع قابل محاسبه وجود دارد زیرا بیش از 0 راه برای برنامه ریزی ماشین تورینگ وجود دارد. تعداد توابع ممکن 2 0 است ، بنابراین توابع محاسبه شده (به لحاظ نظری) یک استثناء نادر هستند.
توابع غیرقابل محاسبه کسانی هستند که خروجی آنها به یک متغیر تصادفی بستگی دارد. یک تابع تعریف شده برای برابر بودن را در نظر بگیرید، اگر یک تابع seven seven در تعداد اعشاری از یک عدد وجود داشته باشد، و اگر وجود نداشته باشد، برابر است. این تابع قابل تعریف قابل محاسبه نیست اگر عملیاتی از هفت 7S پیدا شود، قابل محاسبه است، اما همانطور که رقم دهدهی همچنان تولید می شود، اگر هنوز یک اجرا از هفت 7S وجود نداشته باشد، ما نمی توانیم تابع را محاسبه کنیم.
مسئله
گودل نشان داد برنامه هیلبرت نمیتواند موفق شود. این در آنچه که اکنون قضیه ناممکن بودن گودل نامیده می شود ثابت شده است. این قضیه بیان میکند:
اجازه دهید S یک سیستم رسمی برای نظریه اعداد باشد.
اگر S سازگار باشد، یک جمله G وجود دارد ، به طوری که نه G و نه نفی G (نوشته G ) قضیه S است .
بنابراین، هر سیستم رسمی کافی برای بیان قضیه نظریه اعداد باید ناقص باشد.
اثبات:
S می تواند P (n) را ثابت کند فقط در مورد n تعداد Gödel قضیه S است . k وجود دارد ، به طوری که k یک شماره Gödel از فرمول P (k) = G است. این بیانیه به خودی خود می گوید، قابل اثبات نیست.
حتی اگر یک سیستم رسمی جدید S = S + G را تعریف کنیم (به این ترتیب از جمله قضیه نامفهوم به عنوان یک عاملی)، می توانیم G را پیدا کنیم که در (مستقل از S) قابل اثبات نیست.
استدلال گودل برای قضایای ناتمامیشان به کار رفته است، بنابراین می توان آن را در داخل S رسم کرد . بنابراین، S می تواند ثابت کند که اگر S سازگار باشد، G قابل اثبات نیست . توجه داشته باشید که عبارت زیر خط دار است چه G می گوید، بنابراین S ثابت می کند CST ( S ) (53) دلالت G درست است، اما G می گوید G است قابل اثبات نیست.
فرض کنید S بتواند Cst ( S ) را اثبات کند ، سپس S میتواند G را اثبات کند ، اما اگر S همخوانی داشته باشد، نمیتواند G را اثبات کند ، بنابراین نمیتواند ثابت شود. بنابراین، برنامه هیلبرت کار نمی کند؛ نمیتوان ثابت کرد که تضاد یک نظریه ریاضی است.
تئوری اثبات - یک سیستم رسمی با نوع پیچیدگی اثبات هایی که می تواند در آن سیستم انجام شود مشخص می شود.
گنتزن به قضیه ناقص گودل نگاه کرد و پرسید که چرا سیستم رسمی برای محاسبات خیلی ضعیف است و قادر به اثبات سازگاری خود نیست. تضعیف طبیعی بر روی اثبات این است که لیستی از اظهارات محدود هستند.گنتزن یک نظریه محاسباتی ارائه داد که پس از آن امکان اثبات ثبات سیستم رسمی ریاضی را در Principia Mathematica داد . اصل او قاعده محرک القایی ریاضی را تقویت می کند، که اجازه می دهد یک اصل محرک القا شود. القاء سنتی فرض می کند که دامنه دارای نوع سفارش است. گنتزن، با این حال، فرض کرد که دامنه پیچیده تر، نوع مرتبه بالاتر، 0 است . این نوع سفارش به شرح زیر تعریف شد:
(مطرح شده تا به، و غیره ، بار)
در حال حاضر ما به جای مجموعه ای از اعداد طبیعی بر مجموعه ای از اثبات ها واجد شرایط هستیم. مجموعه ای از اثبات هایی که به عنوان یک درخت شاخه ای محدود دیده می شود دارای نوع نظم 0 است .
سوالات فلسفی
فرض کنید ما پذیرفتن تحمل پذیری سیستم رسمی حساب را می دهیم. آیا این اثبات معرفتی رضایتبخش است؟ آیا الگویی از طریق 0 استدلال فطری است؟
آلونزو کلیسا یک پایان نامه در حال حاضر به سادگی به نام پایان نامه کلیسا است . این بیان می کند که هر گونه پیشنهاد معرفت شناختی به عنوان استدلال نهایی دقیق می تواند نشان دهنده معادل با تئوری توابع بازگشتی باشد. (54) نظریه گنتزن فراتر از نظریه ی عملکردهای بازگشتی است. این سوال مطرح می شود: آیا اثبات Gentzen بخشی از ریاضیات واقعی است؟
مشکل هستی شناسی
برنامه هیلبرت همچنان دارای اختلاف بین بخش های واقعی و ایده آل ریاضیات است. چه وضعیت هستی شناسی، اشیا را در بخش ایده آل ریاضیات انجام می دهند؟ آنها هیچ واقعیتی ندارند. آنها به سادگی ساخته شده اند تا بخش های ایده آل را ارائه دهند تا میانبرهای ما را به ما بدهند اما هرگز باور نکردند بخشی از واقعیت هستند. این به ما یک قلمرو از اشیاء مجازی می دهد، تکمیل دوگانه ای از اشیاء: اشیاء وجود دارند و اشیائی وجود ندارد.
منبع دانش ریاضی چیست؟ از حقیقت ریاضی؟
پل برنکرساف این معضل را مطرح می کند: نظریه استاندارد دانش ما چیست؟ از حقیقت؟ نوع نظریه مکاتبات وجود دارد؛ دانش می آید به این دلیل شناخته شده است که اشیاء از طریق حواس ما بر دانش های شناختی ما تاثیر می گذارند و ما از طریق روابط علیت بین شی که در حال فکر کردن و افکارمان هستیم، اعتقاداتمان را شکل می دهیم. فرمالیستها و پلاتینیان مشکلات مربوط به این مسائل دارند.
فرمالیست ها
بر طبق نظریه فرمالیستی، ما یک مفهوم کاملا منطقی از دانش اشیاء را در ریاضیات واقعی داریم. با توجه به ریاضی ایده آل، می توانیم از طریق استفاده از سیستم رسمی یک مفهوم از اشیا را بدست آوریم.
با این حال، حقیقت تنها می تواند بخشی واقعی از ریاضیات باشد؛ هیچ چیز منطبق با باورهای ما در بخش ایدهآل نیست. این نتیجه یک نظریه دوبعدی حقیقت است - برخی افکار درست از طریق یک نظریه ترکیبی و مصنوعی درست هستند، در حالی که دیگران از طریق ابزارهای معمول درست هستند.
Platonists
Platonists معتقد بودند که واقعیت انتزاعی یک واقعیت است . بنابراین، آنها با حقیقت مشکل ندارند، زیرا اشیاء در قسمت ایده آل ریاضی دارای خواص هستند. در عوض Platonists یک مشکل معرفت شناختی دارند - کسی نمیتواند دانش ایدهآل از اشیاء را در بخش ایدهآل ریاضیات داشته باشد؛ آنها نمیتوانند به هیچ وجه علیه ما حساس شوند.
این واقعیت که متفکران نظریه رضایتبخش واقعیت در حالی که پلاتینیستها نظریه رضایتبخش دانش ندارند، مشکل Bernaceraf نامیده می شود. اثر مقاله Benaceraf به افشای این اندیشه بود که نه نظریه های رسمی و نه پلاتینی ها کاملا قابل قبول بودند.
قسمت دوم: تزلزل شیطانی، جهت سوم
II.1 مقدمه عمومی به روش شهود
تصویر شهودی از ریاضیات متفاوت بود . در تداوم رویکرد کتانی غم انگیز به ریاضیات.
Intuitionism در سال 1907 در Ph.D. پایان نامه LEJ Brouwer در دانشگاه آمستردام. پس از انتشار رساله خود، چندین نظریه توپولوژیک مهم را معرفی کرد، به این ترتیب او به برخی از اهداف ریاضی اصلی پرداخت.
شهرونديسم دو نظریه مهم فلسفی را پذیرفت:
دکترین Brouwer - درست است که تجربه شود؛ هر چه هست، منشاء آن در اندیشه ی آگاهانه ماست.
اشیاء ریاضی انتزاعی، پیشینی ، اشکال شهوات ما هستند.
دو تفاوت از کانت
Brouwer یک بازیگر سینمایی بود. او معتقد بود که تنها ذهن خودش بود و کمتر از آن است که نسبت به درون ذهنیت نگرانی داشته باشد تا کانت بود.
Brouwer ادعای یک شهود اولیه از فضا را رد کرد. در عوض، او فکر ریاضیات به طور کامل بر روی یک بود پیشینی شهود از زمان؛ Brouwer معتقد است که ساختار زمان، همه فعالیتهای آگاهانه را هدایت می کند. حضور هندسه غیر اقلیدسی، تنها یک شهود اولیه از فضا را ممنوع می کند.
Brouwer باید برخی از بخش های ریاضی را با توجه به محدودیت های خود را بازسازی کند. برنامه مثبت شهود شناسی، ساختار ریاضی است که توسط نظریه آگاهی Brouwer محدود شده است. برنامه منفی مداخله گرانه استدلال می کند که ریاضیات استاندارد واقعا اشتباه است (یا حداقل ناسازگار).
Brouwer می گوید که ریاضیات استاندارد ناسازگار است؛ استدلال او بر اساس ایده آلیستی معرفت شناختی او است. Brouwer تمایز کمی بین هیلبرت و Platonists می کند.
برخی از ساختارهای Brouwer به این فرض بستگی دارد که اگر گزاره درست باشد، می توانیم بفهمیم که این درست است.
II.2 ساخت و ساز از اعداد طبیعی Intuitionist
در ساخت اعداد طبیعی، یک ایده اساسی وجود دارد: ما توانایی تشخیص یک چیز را از دیگری داریم. سپس، ما باید از تفاوت بین دو چیز انتزاعی کنیم و مفهوم تشکیل یک نهاد را با یک بخش و بخش دیگر بدست آوریم.از طریق این فعالیت، اعداد طبیعی ساخته می شوند؛ قبل از انجام این فعالیت ذهنی، عدد طبیعی اول به شهود مطابقت دارد، در حالی که دو بعد از فعالیت به شهود می پردازند. تکرار انتزاعی ذهنی به تعداد بعدی طبیعی می دهد. مهم است که تمرکز تنها بر روی عمل خود - خلاصه از محتوای؛ باید به شکل خالی نگاه کرد.
از طریق این روش، شهودان همچنین اپراتورهای عددی پایه را به دست می آورند. یک معادله:
گزارش چهار فعالیت است: تولید اعداد، نگاه کردن به دو نفر از آنها را با هم، و به رسمیت شناختن آنها یکسان است. آرنت هییتینگ (55) گفت نقش یک معلم ریاضی این است که دانش آموزان همان فعالیتهای ذهنی را انجام دهند همانطور که او انجام داد.
نقطه نگارش ریاضی انتزاعی این است که به ما کمک کنیم فعالیت های خاصی را تولید کنیم. قوانین ریاضیات انتزاعی از فعالیت های ذهنی واقعی است. Ultraintuitionism خود را با محدودیت های فیزیکی نیز متمرکزاست. معقول بودن روش استاندارد Brouwer، ما را به چیزی محدود می کند.
با توجه به نظریه شهودگرا، خلف برهان اثبات می نمی مجاز به اثبات که چیزی وجود دارد (اگر چه آنها برای نتایج منفی قابل قبول است. (56)
II.3 ایجاد ساختار عدد واقعی
مشکل: فرآیندهای قبلی محدودیتهای محدودی بر تعداد مراحل دارند. مجموعه ای از اعداد واقعی نیاز به بی نهایت دارد.
Brouwer، در مقاله خود (1907)، پیشنهاد کرده است که یک عمل جداگانه ای از آگاهی برای تولید اعداد واقعی لازم است. او آن را به نام UR intuition-- یک ایده اساسی همه ما دارای مربوط به زنجیره. اوور همیشه در حال رشد است با این حال، Brouwer تا سال 1918 ایده ی او را رد کرد. ایده کلی او این بود که کل این مهم است که صحبت از اعداد واقعی باشد. عناصر کل از طریق شرایط یا محدودیت ها خلاصه می شوند. یکی از دلایل اصلی ایده شهود شهود، این بود که هیچ ساختاری مفید از لحاظ ریاضی نداشت.
اعداد واقعی را می توان به عنوان دنباله ای همگرا از اعداد عقلانی مشاهده کرد، اما توالی ها بی نهایت هستند. با این حال، توالی سازنده، با یک فرمول یا قاعده داده شده برای تولید عناصر، مجاز است. بنابراین، دنباله همگرا باید توسط یک قاعده تولید شود. ریاضیدانان فرانسوی این دیدگاه را پذیرفتند که تنها اعداد حقیقی موجود، آنهایی هستند که توالی همگرایی منطقی هستند که قابل محاسبه هستند. با این حال، Brouwer متوجه شد که مجموعه ای از الگوریتم های محاسباتی قابل شمارش است (دارای شماره هسته ای 0 ). بنابراین، ما نمی توانیم اعداد واقعی را به این مجموعه محدود کنیم، زیرا پس از آن ویژگی هایی وجود نخواهد داشت که امری غیر قابل شمارش است.
راه حل Brouwer یک تعمیم مفهوم یک الگوریتم یا قاعده بود برای دادن تعداد قابل توجهی از الگوریتم ها به آنچه که برای reals مورد نیاز است. این مفهوم یک توالی انتخابی بود .
II.4 دنباله انتخاب
توالی انتخابی نشان دهنده نقش اصلی Brouwer در ریاضیات کانتی است.
به طور معمول یک الگوریتم یک قاعده برای محاسبه عناصر در دنباله است. دو چیز الگوریتم را مشخص می کند: 1) آن قاعده است؛ و 2) قطعی است (دقیقا یک مقدار را می دهد). Brouwer الگوریتم های عمومی را با کاهش نیاز به یک الگوریتم قطعی. نتیجه یک توالی است که در آن یک عنصر از توالی می تواند از یک مجموعه ای از نامزدها انتخاب شود.
توالی انتخابی به وسیله یک قاعده قطعی داده می شود تا عناصر چندگانه اول و یک قاعده لزوما-deterministic برای جمع آوری عناصر بعدی. بروور اشاره کرد که این مربوط به پیشینی شهود زمان: گذشته ثابت است، در حالی که در آینده بستگی گذشته است، اما بسیاری از امکانات باقی مانده است.
مثال
یک دنباله از منطق است.
(1) = ½، (2) = ½، (3) = ½، (4) = ½
(n + 1) یک عدد منطقی است به طوری که:
بنابراین (5) روشن است 
، و (6) بستگی دارد که چه چیزی برای (5) انتخاب شده است.
توالی انتخابی کانونی توالی مورد استفاده برای تولید جملات دهدهی است.
دقیقا همینطور تعریف کنید:
یک دنباله از منطق است.
(1) = ½، (2) = ½، (3) = ½، (4) = ½
(n + 1) یک عدد منطقی است به طوری که:
آیا و همینطور؟ آیا آنها به همان عدد واقعی همگرا هستند؟ ما نمی توانیم و نمیتوانیم بدانیم برخی از سوالات مهم در مورد توالی انتخاب در مقدار محدودی از زمان پاسخگو نیست. بنابراین، هیچ حقیقتی در مورد سوالاتی درباره برابری و وجود وجود ندارد. ما حتی نمی دانیم که آیا پاسخ را در یک مقدار محدود از زمان می دانیم.
Brouwer مجبور شد تا نظریه مجموعه را مجددا سازگار با سازه های دیگرش. تحت نسخه او از نظریه مجموعه، تمایز بین یک عنصر از یک مجموعه و مجموعه خود را کمتر تعریف شده است.
معرفی توالی های انتخابی منجر به تضاد با قضایای کلاسیک ریاضی می شود. به عنوان مثال، یک قضیه کلاسیک وجود دارد که بیان می کند خط یک نظم کامل دارد؛
این برای اعداد مانند نگه ندارد! بدین ترتیب خواص نظم پیوسته در نظریه شهود ضعیف تر است.
Brouwer یک قضیه ثابت کرد که هر تابع ارزش واقعی تعریف شده در یک فاصله بسته به طور مداوم در آن فاصله است. f (x) = 1 را برای x <½، f (x) = 3 را برای x> ½ در نظر بگیرید. این تابع به طور واضح در x = ½ قطع می شود. به نظر می رسد که بیش از فاصله [0،1] تعریف شده است. با این حال، به منظور قضیه Brouwer نگه داشتن، او باید نشان دهد که عملکرد در برخی از نقطه در فاصله تعریف نشده است. یک نقطه چنین است ما نمیتوانیم بگوییم که f () برابر است. به این ترتیب، این یک نمونه پیشنهادی برای قضیه Brouwer نیست.
از این، می توانیم ببینیم که یک تابع تعریف می شود، اگر مقدار آن به مقدار محدودی از اطلاعات مربوط به ورودی بستگی دارد. این همانند تداوم است.
دو عواقب ناشی از عدم انسجام
Brouwer به راحتی می تواند ثابت ناپذیری از اعداد واقعی است. یک تابع را در نظر بگیرید، f را، نقشه های واقعی را به اعداد طبیعی ترسیم کنید. اگر این واقعا یک عملکرد مداوم است، ارزش آن باید بر اساس مقدار محدودی از اطلاعات قابل محاسبه باشد. با این حال، از آنجا که اعداد طبیعی گسسته هستند، چنین تابع باید قطع باشد. بگذارید بگوییم f (½) = n سپس f () = n if = ½، یا f () = k، اگر ½ (where kn). بنابراین، تابع f باید در x = تعریف شود. بنابراین تابع نمی تواند مداوم باشد (در همه جا تعریف نشده است)، و اعداد واقعی باید غیرقابل شمارش باشند. (57)
فرض کنید می خواهیم تقسیم را به دو مجموعه A و B (B = R-A) تقسیم کنیم. این فعالیت تشکیل یک زیرمجموعه کاملا طبیعی است. با استفاده از روش توابع مشخصه، ما می توانیم صحبت کردن در مورد مجموعه را به صحبت در مورد توابع ترجمه. f A (x) = 1 را تعریف کنیم اگر x A، f A(x) = 0 اگر x A. این روش نتیجه مجموعه های نامنظم - مجموعه ای است که می توانند به طور قطعی از پیوستار بروند. عدد واقعی ممکن است یا شاید نه در تنظیم باشد و عملکرد مشخصی برای آن مجموعه متداول است. در حقیقت، برای هر زیر مجموعه ای از R، تابع مشخصه برای R است متناوب است. به عبارت دیگر، هیچ زیرمجموعه قابل جدا شدن از پیوستگی وجود ندارد. این دیدگاه خط عدد واقعی همانند ارسطو است. به یک معنا، ما دایره کامل را میبینیم، همانطور که مشکلی با حلقه ارسطویی ظاهر میشود.
Brouwer متوجه شد که خواص فضایی که صرفا هندسه می تواند به صورت موقت بیان شود، زمانی که می پذیریم که آنچه که ساختار زمان را مشخص می کند، آینده است.
شهود گرا و پلاتینیان در مورد یک نکته مهم موافقند: آنها هر دو بر این باورند که قطعات ایده آل ریاضی شامل اجسام واقعی در ذهن است.
Brouwer، بعدا در حرفه او، اعتراف کرد که با دنباله های انتخابی مشکل داشت. اصل اساسی اینست که عدد واقعی با اعمال انتخاب ایجاد می شود نادرست به نظر می رسد - آن اعمال انسان ها را ضروری ساخته است، که بروور احساس نمی کرد باید به ریاضیات معرفی شود. در اواخر دهه 1940، Brouwer شیوه ایجاد موضوع را برای تولید اعداد واقعی معرفی کرد. او گفت که ما باید بر روی یک ریاضیدان آرمانی، B تمرکز کنیم، و تحقیقاتش را به مراحل مختلف تقسیم کنیم. در هر مرحله ما از او می خواهیم وضعیت یک مشکل ریاضی حل نشده باشد. سپس توالی را تعریف می کنیم:
(n) = ½ اگر در مرحله n، B تا به حال ثابت نشده و یا رد حل مشکل حل نشده است.
(n) = 
اگر در مرحله n، B مسئله را حل کرده است.
این فرایند یک توالی است که یک عدد واقعی است؛ هیچ انتخابی وجود ندارد در عوض، یک روش اتوماتیک وجود دارد، اثر مشابهی را به عنوان توالی انتخابی، بدون تجدید نظر به انتخاب غیر ریاضی انتخاب می کند.
واضح است که اگر این مشکل حل شود، این روش کار نخواهد کرد، بنابراین برای اینکه شیوه ایجاد افراد به روش قابل قبول باشد، باید یک عرضه ناپذیر از مشکلات ریاضی ناپایدار باشد. Brouwer، به عنوان یک ماده از ایمان، اعتقاد داشت که این درست است. هیلبرت، با این حال، در یک آدرس معروف به کنگره ریاضیدانان در اواخر قرن نوزدهم، اشاره کرد که هیچ مشکلی وجود ندارد که در اصل نمی تواند حل شود. Brouwer آشکارا مخالف این دیدگاه است.
II.5 نمای کلی نظریۀ بروور در مقابل فرمالیته هیلبرت
هر دو هیلبرت و Brouwer سازنده گرایی بودند. هر چند که کانتی انجیل هیلبرت بسیار متفاوت از Brouwer بود. هیلبرت در حقیقت یک ساختار را در بخش بصری ریاضیات قرار داده است - اساسا از سیستمهای فکری و فکری. با کار Gödel، می توانید ببینید که سیستم رسمی هیلبرت متناسب با تئوری توابع بازگشتی است.
Brouwer با این ایده ها، به خصوص سیستم های رسمی، بسیار مخالف بود. او حتی به رسمیت شناختن منطق مخالفت کرد. Brouwer دید بسیار رادیکال از ریاضیات و رابطه زبان بود. در زبان، ما می توانیم خروجی ساخت و ساز ریاضی را ارتباط دهیم، در نتیجه به دیگران تجربیات تجربی ریاضی را کمک می کند. اما، اثبات خود - خود فکر خود ریاضی - خود ساخت و ساز - فعالیت پیش زبان و کاملا آگاهانه است که بسیار انعطاف پذیر تر از زبان است. Brouwer تصور می کرد سیستم های رسمی هرگز نباید برای پوشش تمام گزینه های انعطاف پذیر موجود در ریاضیدان خلاق باشد. در واقع، Brouwer فکر کرد که فرمالیستی پوچ است! به طور خاص، Brouwer فکر کرد که آن را دیوانه به فکر بود که منطق کدگذاری می تواند قوانین برای تفکر ریاضی درست را ضبط کند. او نشان داد قوانین منطقی خاصی ناکافی است. معروف ترین آنها عبارت بود از قانون محروم سازی: 
شکست خورده 
است یکی دیگر از این قاعده، حکم عقد دوگانه ( 
) نیز وجود ندارد. ناکافی بودن حکم اظهارنظر دوگانه دلیل دیگری برای رد ادعاهای کمکی برای اثبات مثبت است.
بروور فرض بر این داشت که چرا فیلسوفان و ریاضیدانان قانون قانون محروم را رعایت کرده اند. او تصور می کرد که منطق در زمانی که جامعه علمی تنها با اشیاء محدود مواجه می شد، تدوین شد. با توجه به تنها اشیاء محدود، قانون محروم محفوظ است. با این حال، هنگامی که ریاضیات به بی نهایت منتقل شد، یک اشتباه رخ داد: قوانین سخت گیرانه منطق بدون سوال نگهداشته شد. Brouwer پیشنهاد کرد که قبل از توسعه ریاضیات هیچ کدگذاری سفت و سخت نباید باشد.
یکی دیگر از تمایز عمده بین Brouwer و هیلبرت این بود که آنها با موضع منطقی مخالف بودند. در حالی که هیلبرت منطق فکر کرد، علم مستقل و تکمیل شده بود که می توانست آزادانه برای ریاضیات دیگری اعمال شود، بروور معتقد بود که منطق فقط باید بعد از ریاضیات توسعه یابد.
شاگرد Brouwer، آرند هییتینگ، چالش را برای توضیح دادن به جامعه ریاضی درمورد اینکه چه چیزی در مورد شهودی چیست، به چالش کشید. هیتینگ، بر خلاف آرزوهای Brouwer، منطق شهودی و نظریه اعداد شهودی را رسمی کرد. Brouwer خشمگین بود، اما در نهایت، رویکرد Heyting برنده شد. مدرک عامیانه در مورد امروز، عمدتا آن چیزی است که هیتینگ رسمی کرد.
گودل، در اواسط دهه 1930، ثابت کرد که تضاد نظریه اعداد کلاسیک نسبت به همخوانی نظریه اعداد شهود است. گودل در سال 1958 اثبات جالبتري را به اثبات رساند كه يكي از آنها نميتواند ثابت كند كه يك نظام رسمي در يك سيستم رسمي با محدوديتهاي معيني محدود است. در عوض، باید از سیستم رسمی کمتری استفاده کرد. در حقیقت، تئوری اعداد تئوریک، نسبت به نظریه اعداد فرمالیستی کمتر است.
اشکالاتی که در اختیار شهروندان قرار می گیرد
ریاضیات روانشناختی بسیار کمتر شناخته شده است و مسلما پیچیده تر از نظریه های ریاضی کلاسیک است.
بسیاری از مردم آرمان گرایی هستی شناختی بروور را ناراحت کرده بودند. (58)
به طور خلاصه، کمک Brouwer بیشتر فلسفی بود از آن بود که ریاضی بود. وضعیت امروز باقی می ماند که هیچ فلسفی واحد ریاضی وجود ندارد که کاملا رضایت بخش باشد.
فهرست مطالب
یک پیش فرض 24
Abscissa 21
چکیده 1
فرضیه زاویه حاد 14
کافی 41
تحلیلگر، 22
دیدگاه ضد کانی 23
قابل اجرا 1
پوسیدگی Archimidean 11
ارشمیدس 10
محدوده دایره 19
ارسطو 5، 50
تحلیل بی نهایت 5
منطق 5
روش های اثبات 5
قطعات اتمی 3
اتمی 19
محوری انتخاب 38
Axiomatization هندسه 12
Axioms 6
بابلیان 3، 11
بارو، اسحاق 20
بلترامی 15
برکلی، جورج 22
Bernaceraf، Paul 38، 39، 44، 45
مشکل Bernaceraf 45
Betweenness، Postulates هیلبرت 12
بولیای 14
بولزانو 25
تعریف یک حد 25
Brouwer، LEJ 46-52
بروور 37 ساله است
دکترین Brouwer 46
تئوری آگاهی Brouwer 46
محاسبات، اختراع 21
کانتور، جورج 28، 29، 32
اعداد کاردینال 2
نظریه رده 39
کوشی 25
تعریف محدود 26
شرایط کوشی برای همگرایی 26
تئوری علمی علم 39
Cavalieri 17، 19
اصل Cavalieri 17
توابع مشخصه، روش 50
توالی انتخاب 48، 51
کلیسا، آلونزو 44
پایان نامه کلیسا 44
دایره، مساحت 19
کلاس ها 38
کوهن 38
سازگاری 3
تکامل یافته بی نهایت 5، 16
مفهوم مفهومی ریاضیات 22
همبستگی، پیامدهای هیلبرت 12
جانشینی بعدی 5
تداوم 3، 28
تعریف ارسطو 5
تداوم، پیامدهای هیلبرت 12
مقدار مداوم 26
Continuum
نظریه 47 نفره
فرضیه مداوم 38
شمارش 2
ایجاد موضوع، روش 50
بحران
در پایه ریاضیات 37
دوم 22
سوم 37
بحران، اول 3
معیار برای همگرایی
26 بیرونی
25 داخلی
دقت 2
Dedekind 39
دهکیند، ریچارد 13، 28، 29، 39
Dedekind Cuts 28
پدیده Dedekind 13
تخفیف 6
تعریف مفاهیم 6
مجموعه شمارنده 30
تشخیص قطاری 30
گسسته 3
ریاضیات گسسته 11
قطع 4
دکترین منطق 36
نفی دوگانه، حکم 51
مردم مصر 11
عناصر 11
عناصر، 11
هندسه بیضوی 15
شهود تجربی 25
مجموعه قابل شمارش 30
معرفت شناسی 1
تعریف Epsilon-delta از یک حد 27
اقلیدس 6، 11، 16، 33
عناصر، 11
پنجمین حکم او 38 ساله است
مفروضات آشکار 11
هندسه اقلیدسی 15، 25
Eudoxes 6
روش خستگی 9
نظریه نسبت 6
وسط قانون، قانون 51 است
خسته 2
موجود بودن postulate 6
فرمت 35
معیار خارجی برای همگرایی 26
فریبنده 6
کشاورز و کلاغ 1
پوسیدگی پنجم هندسه 12
ارقام 3
استدلال فکری 40
اموال درجه اول 36
مسلمانان 21 ساله
fluxions 21
سیستم رسمی 16
فرمالیسم 40، 51
فرنکل، ابراهیم 41
فرگه 28، 34
تابع، مداوم 26
گالیله
حمله به بی نهایت 17
انتقاد Cavalieri 17
گاوس 14
نظرسنجی عمومی 1
گنتزن 43، 44
جنس 6
هندسه
25 اقلیدس
گودل، کورت 44
گودل، کورت 38، 39، 42، 43، 51، 52
تئوری کامل بودن 42
گودل شماره 43
شماره گودل 42
شماره گودل 42
واکنش یونان به سقوط 4
نظریه گروه 39
نظریه تنظیم GVB 38
هتروژنیکی 19
ناپایداری ناهمگن 19
هیتینگ، آرنت 47، 52
هیلبرت، دیوید 15، 37، 40، 41، 46، 51، 52
Axiomatization هندسه 12
برنامه هیلبرت 40، 43
پایه هیلبرت هندسه 12
پست های هیلبرت
بین 12
انطباق 12
تداوم 12
سقط 12
همبستگی 12
برنامه هیلبرت 40
برنامه هیلبرت 43
جدایی ناپذیر 19
هندسه هیپربولیک 15
بخش ایده آل ریاضیات 40
بروز، پیامدهای هیلبرت 12
تناقضات 1
تقسیم پذیری بی نهایت و بی اختیار 4
شاخص 2
مدرک غیر مستقیم 4
تقسیم نشده 17
ناهمگونی 19
19 ساله
افراد انفرادی
در مقابل نامحدود 19
تقسیم بندی بی نهایت 3، 4
تقسیمات بی نهایت 5
رنج بی نهایت 6
بی نهایت کم 20
Infinitesimals
در مقابل جداول 19
بی نهایت 1
تجزیه و تحلیل هنرمند 5
حمله به 17
نمونه سازی 6
ادغام 18
همگرایی داخلی 27
معیار داخلی برای همگرایی 25
داخلی ناسازگار 4
شهود 25
تجربی 25
شهودی، خالص 25
شهادت 37، 46-51
اعداد غیر منطقی 3
ایزومورفیسم 5
کانت 46
کانت، Imanual 23، 24
مشکل معرفت شناختی 24
پایان نامه اول 24
کلاین 15
کرونکر، لئوپولد 23، 33
لامبرت 14
قانون متوسط محروم 51
لایبنیتس 21
سطوح اشیاء 37
محدود کردن 25
تعریف 25 ساله بولزانو
تعریف کوشی 26
تعریف اپسیلون دلتا 27
تعریف وایرشتراس 27
زبانشناسی 39
منطق 5، 35، 52
منطق 36
مغناطیس 11
القای ریاضی 33، 44
متامماتیک 41، 42
روش توابع مشخص 50
روش تعادل 10
روش خسته شدن 9-11
روش فلوسیسی 21
روش ایجاد موضوع 50
متدولوژی 1
میل، جان استوارت 23
مدل 16
لحظه ای از روان شناسی 21
34 نام
اعداد طبیعی
ساخت و ساز شهودی از 47
برنامه منفی شهود 46
هندسه ناطق 14
نیوتن 21
نیوتن و لایبنیتس، تأثیر 22
نیوتن، اسحاق 21
نیکلاس کوسا 16
هندسه غیر اقلیدسی 46
کشف 14
ارزیابی 13
مدلسازی در هندسه اقلیدسی 15
نظریه شماره 3
فرضیه زاویه ناخواسته 14
هستی شناسی 1
سفارش نوع 32
اعداد عددی 2
ارادت
مفهوم کانتور 32
دستورالعمل 21
پارادوکسها 1
پارادوکس فلش 4
موازی موقت 12، 14، 38
عقب نشینی 14
همبستگی، پیامدهای هیلبرت 12
پاسکال 20
Peano 33
نمودارهای تصویری 11
افلاطون 4
جداسازی هندسه و شماره 4
افلاطون 35
برنامه مثبت شهودی 46
پست های 6
بالقوه بی نهایت 5
قدرت 31
34 پیش فرض
زخم x 21
Principia Mathematica 37، 41، 44
اصل تفکر 35
Proclus 13
اثبات تناقض 4
روش های اثبات
دیدگاه ارسطو 5
اثبات، دروغ سنجی 3
اثبات 3
کلاس های مناسب 38
خواص
خود ارجاعی 36
ویژگی
اولین مرتبه 36
دومین مرتبه 36
فیثاغورث 3، 5
ریاضی 3
واکنش به برکلی 23
اعداد واقعی
ساخت و ساز 47 نفره
بخش واقعی ریاضیات 40
بازگشتی 35
کم کردن سرعت ad absurdum 47
ریمان 15
رژیم 17
دقیق 17
راسل، برتراند 34، 36، 37، 41
ساچری 14
بحران دوم بزرگ 22
مالکیت دوم مرتبه 36
پیش فرض های خود آشکار
11
خود ارجاعی 36
تنظیم 27
فضا 24
24 ساعتی
گونه ها 6
روحیه ظرافت 20
استیوین 17
فلش راست 50
ساختارگرایی 39
تالس 3
نظریه نسبت 6
مقادیر 11
شماره 11
تئوری توابع بازگشتی 51
بحران سوم 37
واکنش به 37
توماس هیت 11
زمان 24
تعداد سفارش 49
هندسه واقعی 16
تورین، آلن 42
تئوری نوع 37
عصبانیت 47
ریاضیات بدون استفاده 25
مجموعه های غیر قابل تعویض 50
سیستم رسمی بدون تفسیر 16
اثبات نشده 9
شهوات 48 شهریور
والری 17
معتبر 6
محل 19
VonNeuman، جان 38
والیس
axiom، او 15
واليس، جان 13، 19، 20
وایرشتراس 27
اعداد و اعداد چه هستند و چه باید باشند 39
مشکل قمر کانتور چیست؟ 39
وایتهد، آلفرد شمالی 37، 41
زنو 4
پارادوکس حرکت 4
پارادوکس Zeno 5، 11
Zermelo، Earnst 41
Zobachevsky 14
1. جالب توجه است، "محاسبات" لاتین برای سنگ ریزه است.
2. در فرانسه، شماره 80 گفته می شود "quatre-vingts" که به طور مستقیم به عنوان "four twenties" ترجمه می شود.
3. شماره 60 دارای سه جزء اول (2، 3 و 5)، یکی بیش از 10 یا 20 است. این جزء اولیه اضافی در محاسبات مفید بود.
4. Pythagoreans تقریبا مذهبی بود که پیاتگارا و ایده هایش را دنبال کرد.
5. یکی از اکتشافات نظریه ای که فیثاغورث ساخته شده این است که مربع ها مجموع دو عدد مثلث پیوندی است.
6. لاتین برای "کاهش به پوچی". اغلب به علت تناقض، اثبات یا اثبات غیر مستقیم نامیده می شود.
7. توجه کنید که تعریف بالقوه بالقوه، منفی نیست، بدون اشاره به وجود نهایی یک نقطه.
8. بیانیه به طور کلی درباره روابط مفاهیم سخن می گوید.
9. بازگشت برای همیشه
10. Axioms حقایق جهانی خودآزمایی هستند، در حالی که پیامهای مربوط به یک علم خاص هستند و ممکن است به سایر علوم ناسازگار باشد.
11. از جزوه "دو اصل اودوسیان".
12. توجه داشته باشید که در اینجا، متصل کردن به تفسیر نمادین تئوری نسبت، x و y، حوزه های مثلث هستند (همان نوع اندازه)، و z و w بخش های خطی (مجددا، همان اندازه ها) هستند. ما نمی توانیم بگوییم که مساحت یک مثلث نسبت به پایه آن برابر با مساحت دیگر است، نسبت به پایه آن.
13. این واقعیت که مثلث ارتفاع برابر دارای مقادیری نسبت به پایه آنهاست، توسط Pythagoras ثابت شده است.
14. این ایده یونان به نظر می رسد کمتر پیشرفته - یک گام به عقب. مصری ها و بابلی ها یک دیدگاه یکپارچه برای ریاضیات داشتند.
15. برعکس، با توجه به فرضیه پنجم اقلیدس، این فرضیه قابل اثبات است.
16. توجه داشته باشید که از این رو است که axiom والیس نادرست است.
17. این نیاز از کاربرد ریاضیات به دنیای فیزیکی حاصل می شود. یک مثال از گسترش دهی دهها اعداد.
18. گالیله معلم Cavalieri بود.
19. همراه با این ایده است اتمیسم ، که همه چهره های فضایی از قطعات اتمی ساخته شده است.
20. این اثبات با استفاده از همگن indivisible-- تقسیم ناپذیر و با همان تعداد از ابعاد به عنوان شکل آن می سازد تا. این در تضاد با یک indivisible-- ناهمگن که دارای ابعاد کمتر از طیف آن را به مبالغ است.
21. بارو معلم اسحاق نیوتن بود.
22. برای این موضوع هیچ توجیهی وجود ندارد؛ آن را بر اساس ریاضیدان پاسکال است که همچنین رویکرد بی نهایت کم را گرفته است. او آن را «روحیۀ ظرافت» نامید.
23. همچنین "خرابکاری x" نامیده می شود.
24. این فرایند، تحلیل ریاضیات است.
25. کانت فیلسوف قرن 18 میلادی بود.
26. میل یک فیلسوف آمریکایی قرن نوزدهم بود.
27. کرونکر یک ریاضیدان قرن نوزدهم بود.
28. خواص مورد نظر خواصی هستند که نمی تواند در غیر این صورت باشد.
29. ریاضیات محض است، بعد از همه، پیشینی علم؛ این شامل مطالعه چیزهایی است که قبل از داشتن تجربه شناخته شده است.
30. ریاضی شامل مطالعه فضا هندسه است. آنچه که شامل مطالعه زمان است، محاسبات (مفهوم جانشینی) است. محاسبات، به ویژه مکانیک، مطالعه حرکت، که مطالعه تعامل بین فضا و زمان است.
31. در مورد فضا، این نظریه صحیح هندسه اقلیدسی است.
32. خوانندگان باید از تعاریف شگفت انگیز در تعاریف امروز مدرن آگاه باشند: شرایط کوشی برای همگرایی در واقع از تعریف بالزنو استفاده می کند.
33. وایرشتراس ریاضیدان آلمانی در سال 1815 متولد شد. بر خلاف بسیاری از ریاضیدانان بزرگ، او بعد از 48 سالگی اکثریت مشارکتهایش را در زندگی به وجود آورد.
34- میله های دوگانه نشان دهنده توانایی مجموعه می باشد.
35. نماد به معنی "یک زیر مجموعه مناسب است." زیر مجموعه ای مناسب یک زیر مجموعه است که کل مجموعه نیست.
36. این اثبات دوباره از روش محبوب، reductio ad absurdum استفاده می کند .
37. شخصیتی که تعداد اصلی عدد طبیعی را 0 را نشان می دهد ، عطیه نامه عبری است که عدد صفر آن صفر است.
38. این مسئله تا سال 1962 باقی می ماند، و در آن زمان پاسخ این است که هیچ پاسخی وجود ندارد؛ این غیر قابل تشخیص است گودل نشان داد که وجود A به صورت سازگار است و بعد از آن کوهن نشان داد که عدم وجود آن هم سازگار است. مشاهده گودل، اشر، و باخ توسط داگلاس هوفستادر برای اطلاعات بیشتر در بدیهیات تصمیم ناپذیر. فرضیه هایی که 2 0 = 1 فرضیه پیوسته نامیده می شود.
39. کرونکر یک پیشرو ریاضیدان آلمانی قرن نوزدهم بود.
40. جالب توجه است، کانتور در نتیجه درگیری با کرونکر، به طور کلی عصبی بود. ریاضیات امروز کار کانتور را به عنوان پایه ای از تجزیه و تحلیل ریاضی پایه می پذیرد.
41. Peano یک ریاضیدان ایتالیایی بود.
42. گفته شده است که دارایی به سمت پیشرفت به ارث می رسد.
43. برتراند راسل اظهار داشت که "تمام ریاضیات به این سه مفهوم گروگان گرفته شده" است و به نیاز به مبانی انتولوژیکی سه ایده ابتدایی اشاره دارد.
44. راسل فکر کرد که عالمان، حداقل، مفهوم پیشرفت را مشخص می کنند - مجموعه ای از نوع نظم. با این حال، مجموعه ای از انواع سفارش ها + * + نیز به عنوان معیار تطبیق پائنو مطابقت دارد.
45. فرگه پروفسور ریاضیات در دانشگاه یینا بود.
46. Peano در واقع مقالات را در زبان مصنوعی فروج اختراع کرد.
47. این عنوان در مورد کتاب ددکیند، چه چیزی و چه چیزی باید به عنوان عدد باشد.
48. دیوید هیلبرت یکی از ریاضیدانان برتر در قرن بیستم بود. هیچ شاخه ای از ریاضیات بدون نفوذ هیلبرت نیست، و او در واقع پیشگام بسیاری از زمینه های پیشرفته ی تحقیق بود.
49. الهام اساسی هیلبرت برای ایجاد سیستم های رسمی در گواهی سازگار برای هندسه غیر اقلیدسی تاسیس شده است. هیلبرت مشاهده کرد که می تواند به طور جداگانه در زبان تمرکز کند، فراموش کردن یک تفسیر خاص، بنابراین تنها با یک چیز خاصی مقابله می کند.
50. یک زبان رسمی یک زبان مصنوعی است که به ویژه برای شاخه ای از ریاضیات طراحی شده است.
51. به ویژه جالب توجه است که اثر دیوید هیلبرت بر ریاضیات فراتر از نفوذ مستقیم خود است. هیلبرت چندین دانشجوی معروف داشت، از جمله Zermelo و Fraenkel، که کمک زیادی کرد.
52. تورینگ یکی از بنیانگذاران اولیه علوم رایانه بود. او مخصوصا برای دستگاه تورینگ مشهور است.
53. در اینجا، ما از Cst ( S ) استفاده می کنیم به این معنی است که سیستم رسمی، S ، سازگار است.
54. اشاره به تئوری توابع سازنده و توابع بازگشتی که توسط کورت گودل آغاز شده است.
55. Heyting یک دانش آموز از Brouwer بود.
56. به یاد داشته باشید یک نتیجه منفی نشان می دهد که چیزی وجود ندارد.
57. جالب توجه است، Brouwer نام خاصی برای عدد واقعی دارد که توالی های یکسان است. آنها فلش راست را نام بردند. توجه داشته باشید که مجموعه ای از تمام فلش های مستقیم قابل شمارش است.
58. به طرز وحشیانه ایده آللیسم معرفت شناختی بروور، بسیار محبوب و گسترده شده است.
به دو زیر مجموعه A و B به طوری که
غیرممکن است
.
، 
، و 
، سپس 
. (
. (
آثار. سپس یک برش داریم و مربع آن بزرگتر از 2 است، اما برای نشان دادن برابری لازم است نشان دهد که اگر r یک عدد منطقی کمتر از 2 باشد، x در A با 
یک 
گفته شده است کاملا مستمر در 
اگر برای هر عدد مثبت
، یک عدد مثبت وجود دارد 
به طوری که هر زمان که یک دنباله متناهی از 
از 
، و شیب خط مشتق تابع در است 
در تمایز است
در 
، احتمالا در یک زیر مجموعه از آن تعریف شده است 
، مشتق (یا مشتق تابع ) از 
(گاهی![{\ displaystyle C ^ {0} ([a، b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00d6ce898742eecd34c015f572eb993d854ee65)
برای نشان دادن فاصله کاربرد) شامل تمام توابع پیوسته است. کلاس
شامل تمام 
می توان با اعلام به 
مجموعه ای از تمام توابع متمایز است که مشتق شده است 
. به خصوص،
تقاطع مجموعه است 
شامل تمام 
شرایط دنباله، شناخته شده به عنوان مجموع جزئی، در نظر گرفته شده است، و مفهوم محدودیت به دنباله ای از مبالغ جزئی به عنوان 
، ما می توانیم یک سری مرتبط را به عنوان شیء رسمی ریاضی تعریف کنیم
، گاهی اوقات به سادگی نوشته می شود 
. مبالغ جزئی از یک سری
. یک سری
، همگرا است در غیر این صورت واگرا است مجموع یک سری همگرا به عنوان تعداد تعریف شده
.
.
.
"صرفا یک کنوانسیون نشانه ای است که نشان می دهد که مقادیر جزئی سری ها بدون محدودیت رشد می کنند.)
همگرا است سری همگرا
.
(بزرگترین چنین R که همگرایی تضمین شده است شعاع همگرایی نامیده می شود )، یا در کل خط واقعی همگرا می شود. حتی یک سری تیلور همگرا ممکن است به یک مقدار متفاوت از ارزش عملکرد در آن نقطه همگرا باشد. اگر سری تیلور در یک نقطه دارای یک ![[a، b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
یک 
از 
![[x_ {i-1}، x_ {i}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09cb12a889d47020c8ce7046a2eb60785e00c0b6)
نمایه شده توسط 
، که هر کدام دارای برچسب برجسته ای هستند ![{\ displaystyle t_ {i} \ in [x_ {i-1}، x_ {i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82811fdf676362991070d2ed9c835e61f95590f6)
. برای یک تابع
پهنای زیربازار است 
. بنابراین، هر اصطلاح از مجموع، مساحت یک مستطیل با ارتفاع برابر با مقدار تابع در نقطه مشخص شده از زیربازۀ داده شده است و عرض آن همان عرض عرض زیر است. مش چنین پارتیشن برچسب عرض از بزرگترین زیر فاصله تشکیل شده توسط پارتیشن،
. ما می گوئیم که انتگرال ریمان از
اگر برای هر 
وجود دارد 
به طوری که برای هر پارتیشن برچسب گذاری شده
، ما داریم
. هنگامی که تگ های انتخاب شده حداکثر (به ترتیب حداقل) مقدار هر فاصله را به دست می دهند، مجموع ریمان به عنوان Sumou بالا (به ترتیب پایین تر) Darbo معروف است . یک تابع Darbox یکپارچه است اگر Sumbo بالا و پایین 
. به طور خلاصه، با تعریف عملکرد متریک یا فاصله 
با استفاده از تابع 
، اعداد واقعی به نمونه اولیه ی یک 
به نظر می رسد همانند توپولوژی استاندارد القا شده توسط نظم است 
. هر یک
به عنواناصطلاح (یا، کمتر به عنوان یک عنصر ) توالی اشاره شده است. یک دنباله به ندرت به صورت صریح به عنوان یک تابع مشخص می شود؛ به جای آن، با تقسیم بندی، تقریبا همیشه نشانه آن است که اگر یک ∞-tuple مرتب شده باشد، با اصطلاحات فردی یا یک عبارت کلی تعبیر شده در پرانتز:
. 
گفته می شود همگرا است ؛ در غیر این صورت واگرا است ( برای جزئیات بیشتر به بخش محدودیت ها و همگرایی مراجعه کنید. ) دنباله ای ارزشمند
به طوری که 
برای همه
. توالی واقعی ارزش
یا
یا 
جایگزین <یا> می شود.
یک توالی از
برای تمام عدد صحیح مثبت 
یک دنباله ی کاملا طبیعی از اعداد طبیعی است.
هنگامی که رفتار رفتار یک تابع یا توالی را به عنوان متغیر افزایش می دهد یا بدون محدودیت کاهش می یابد.) ایده یک محدودیت برای 
. ما می گوییم این
تمایل دارد
مانند 
نزدیک می شود 
، یا اینکه محدودیت
دلالت دارد 
. ما این را به صورت نمادین نوشتیم
، یا
.
مانند 
، هنگامی که، با توجه به هر عدد مثبت
در تعریف، این است که اطمینان حاصل شود 
خودش در واقع،
خارج شدن.
به طوری که 
دلالت دارد 
. ما این را به صورت نمادین نوشتیم
، یا 
؛
توسط تابع 
و 
. معکوس کردن نابرابری
به 
تعریف متناظر از حد از
.
دلالت دارد 
.
، یک 
، نشان داده شده است 
، و خواص همگرا آنها. با این حال، در مورد توالی توابع، دو نوع همگرایی وجود دارد، که به عنوان همگرا پوچ و همگرایی یکنواخت شناخته می شود ، که باید تمایز قائل شوند.
به یک تابع محدود 
، نشان داده شده است 
، به سادگی به این معنی است که با توجه به هر 
مانند
. در مقابل، همگرایی یکنواختی یک نوع قوی تر همگرایی است، به این معنا که توالی یکنواخت همگرا از توابع همگرا به طور متوالی، اما نه برعکس. همگرایی یکنواخت نیاز به اعضای خانواده از توابع،
، چنین مقدار از
همه در یک لوله از عرض محدود می شوند 
و 
) برای هر مقدار در دامنه خود 
.
نمونه دیگری از یک مجموعه جمع و جور است. از سوی دیگر مجموعه
فاقد فاکتور است زیرا محدود است اما بسته نشده است، زیرا نقطه مرزی 0 عضو مجموعه نیست. مجموعه![[0، \ infty]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc2d914c2df66bc0f7893bfb8da36766650fe47)
همچنین فشرده نیست زیرا بسته است اما محدود نیست.
، اما برای فضاهای متریک به طور کلی معتبر نیست. معادله تعريف با تعريف فشردگي بر اساس زيرمجموعه ها، که بعدا در اين بخش ارائه شده، به عنوان 
گفته می شود یک پوشش باز از مجموعه است
اگر اتحاد این مجموعه ها یک سوپر است 
، مجموع مجموعه ای از اعداد واقعی، 
یا یک ![{\ displaystyle I = [a، b] = \ {x \ in \ mathbb {R} \، | \، a \ leq x \ leq b \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f32c7419841b88af2aa1770db80ba0eb7e6a86)
اینجا، 
اعداد حقیقی مجزا هستند، و ما موارد را رد می کنیم 
اگر 
. ما می گوییم این
.
که رفتار رفتار را محدود نمی کند 
، همچنین باید برای آن نگه داشته شود 
مانند 
. تعریف فوق در واقع برای هر دامنه اعمال می شود
با یک دامنه عمومی 
زیر است:
اگر، برای هر 
، 
دلالت دارد 
. ما می گوییم این
فضاهای توپولوژیکی هستند، ما می گوییم 
است به طور مداوم در 
یک 
از 
که در 
در باز است 
باز در
اشاره به 
زیر 
، 
دلالت دارد 
.
تعریف شده بوسیله ی 
. با انتخاب نقاط نزدیک به 0، ما همیشه می توانیم
برای هر انتخاب واحد 
برای هر xکاملا تعریف شده است .
؛ یعنی کوچکترین 
، توانایی عدد صحیح. 
یا 
) و نه تقریب منطقی یا تقریبی آنها. 
می تواند به صورت 
و 
مورچه ها در تصویر 
جایی که 
. ماتریکس فرومون
با مقدار تصادفی مقدار دهی اولیه می شوند. چالش اصلی در فرایند آغازین تعیین ماتریس اکتشافی است.
، که یک عامل عادی است
می تواند با استفاده از توابع زیر محاسبه شود:
در هر یک از توابع فوق، اشکال مربوط به توابع را تنظیم می کند. 
) به روز شده است جایی که در مرحله 5 نرخ تبخیر دنباله به روز شده است که توسط معادله زیر داده شده است.
، جایی که 
ضریب فرونشینی فرومون است 
Original_Image_(b)Image_Generated_using_equation(1)_(c)Image_generated_using_equation(2)_(d)_Image_generated_using_equation(3)_(e)Image_generated_using_equation(4).jpg)
، مربوط به یک راه حل کامل تر میانجی است. بنابراین، هر مورچه
از امکان عملی شدن در هر تکرار به حالت فعلی آن و به احتمال زیاد به یکی از اینها حرکت می کند. برای مورچه
از حرکت از دولت 
از حرکت، به عنوان محاسبه شده توسط برخی از اکتشافی نشان می دهد که پیش نیاز مطلوب این حرکت و سطح مسیر 
از حرکت، نشان می دهد که چقدر مهارت در گذشته بوده است تا این حرکت خاص را انجام دهد.
یک پارامتر برای کنترل نفوذ است 
( دانش پیشین ، به طور معمول
، جایی که 
≥ 1 یک پارامتر برای کنترل نفوذ است 
و 
نشان دهنده سطح جذابیت و پیگیری برای سایر تغییرات ممکن دولت است.
است ضریب تبخیر فرمون و
مقدار فرومون ذخیره شده توسط
هزینه این است 
یک ثابت است
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.