ریاضیات

فهرست

• 1تاریخچه
• 2تعریف
  • 2.1رویکرد Axiomatic
  • 2.2ساخت و ساز از اعداد منطقی
• 3خواص
  • 3.1خواص اولیه
  • 3.2تکمیل
  • 3.3"میدان منظم کامل"
  • 3.4خواص پیشرفته
• 4برنامه ها و اتصالات به مناطق دیگر
  • 4.1اعداد واقعی و منطق
  • 4.2در فیزیک
  • 4.3در محاسبه
  • 4.4واقعی در نظریه مجموعه
• 5واژگان و نشانه
• 6تعاریف و اصطلاحات
• 7همچنین ببینید
• 8یادداشت
• 9منابع
  • 9.1نقلقول
  • 9.2منابع
• 10لینک خارجی

تاریخچه [ ویرایش ]

اعداد حقیقی (ℝ) شامل اعداد عقلانی (ℚ) هستند که شامل اعداد صحیح (ℤ) هستند که شامل اعداد طبیعی (〈)

تقسیم بندی های ساده توسط مصری ها در حدود 1000 سال قبل از میلاد استفاده شد؛ ودایی " سوتراهای Sulba " ( "قوانین آکورد") در، ج. 600 سال قبل از میلاد ، شامل مواردی می شود که اولین "استفاده" از اعداد غیر منطقی است . مفهوم غیرعقلانی به طور ضمنی توسطریاضیدانان اولیه هندی از زمان Manava ( c 750-690 پیش از میلاد) پذیرفته شد ، که آگاه بودند که ریشه های مربع تعداد معینی مانند 2 و 61 دقیقا مشخص نیست. [1] حدود 500 سال قبل از میلاد، ریاضیدانان یونانی به رهبری پیثاقورنیاز به اعداد غیر منطقی، به ویژه ابهام بودن ریشه مربع 2 را درک کرد .

قرون وسطی به ارمغان آورد و پذیرش صفر ، منفی ، جدایی ناپذیر ، و کسری اعداد، برای اولین بار توسط هند و ریاضیدانان چینی توسط، و سپسریاضیدانان عربی ، که او نیز برای اولین بار به درمان اعداد گنگ به عنوان اشیاء جبری بودند، [2] که ممکن است ساخته شده توسط توسعه جبر .ریاضیدانان عربی مفاهیم " تعداد " و " قدر " را به یک ایده کلی تر از اعداد واقعی ادغام کردند . [3] ریاضیدان مصری ابو Kamil Shujai ابن اسلم (ج 850-930) نخستین بار به عنوان راه حل معادلات درجه دوم یا به عنوان ضرایب در معادله ، اغلب به صورت ریشه های مربع، ریشه های مکعب و ریشه های چهارم ،اعداد غیر منطقی را پذیرفتند. [4]

در قرن شانزدهم، سیمون استیوین پایه ای برای نشانه های اعشاری مدرن ایجاد کرد و اصرار داشت که بین اعداد منطقی و غیر منطقی در این رابطه تفاوتی وجود ندارد.

در قرن هفدهم، دکارت اصطلاح "واقعی" را برای توصیف ریشه های چند جملهای معرفی کرد، و آنها را از "خیالی" جدا کرد.

در قرن های هجدهم و نوزدهم، کارهای زیادی در مورد اعداد غیر منطقی و متعالی انجام شد . یوهان هاینریش لامبرت (1761) بود که برای اولین بار اثبات ناقص است که π نمی تواند عقلانی؛ Adrien-Marie Legendre (1794) اثبات را تکمیل کرد [5] و نشان داد که π ریشه یک عدد منطقی نیست. [6] پائولو روفینی (1799) و نیلز هنریک آئل (1842) هر دو اثباتهای قضیه آبل-روفیینی را ساختند : معادلات کوانتومی یا بالاتر کلی با یک فرمول کلی که تنها شامل عملیات ریاضی و ریشه است حل نمی شود.

Évariste Galois (1832) تکنیک هایی را برای تعیین اینکه آیا یک معادله معین می تواند توسط رادیکال حل شود، ایجاد می کند و موجب ایجاد زمینه نظریه گالویز شده است . جوزف لیوویل(1840) نشان داد که نه e نه e 2 می تواند یک ریشه از معادله درجه دوم عدد صحیح باشد و سپس وجود تعداد عدد متعالی را برقرار می کند؛ جورج کانتور (1873) این اثبات را گسترش داده و تا حد زیادی ساده کرده است. [7] چارلز هرمیت (1873) اولین بار ثابت کرد که E فراتر از حد است و فردیناند فون لیندمن (1882) نشان داد که πمتعالی است اثبات Lindemann توسط Weirerstrass (1885) بسیار ساده شده است، هنوز هم توسط دیوید Hilbert (1893)، و در نهایت توسط آدولف Hurwitz [8] و پل گوردان ساخته شده است . [9]

توسعه محاسبات در قرن 18th تمام مجموعه ای از اعداد حقیقی را بدون استفاده از آنها به طور واضح تعریف کرد. اولین تعریف دقیق توسط منتشر شد گئورگ کانتور در سال 1871. در سال 1874، او نشان داد که مجموعه ای از تمام اعداد حقیقی است غیر قابل شمارش بی نهایت اما مجموعه ای از تمام اعداد جبری است شمارا نامحدودی . بر خلاف اعتقادات گسترده، اولین روش او معادله دیوانه وار معروف او نیست ، که او در سال 1891 منتشر کرد. مشاهده اولین اثبات غیرقابل اعتماد کانتور است .

تعریف [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ساخت اعداد واقعی

سیستم شماره واقعی می تواند به صورت ذهنی به صورت یک ایزومورفیسم تعریف شود که بعدا شرح داده می شود. راه های بسیاری از به ساخت "" سیستم تعداد واقعی وجود دارد، به عنوان مثال، با شروع از اعداد طبیعی، پس از آن تعریف اعداد گویا جبری، و در نهایت تعریف اعداد حقیقی به عنوان کلاسهای همارزی خود توالی کوشی و یا به عنوان کاهش ددکیند ، که زیر مجموعه های خاصی هستند اعداد گویا. امکان دیگر این است که از بعضی از عالئم دقیق هندسه اقلیدسی (هیلبرت، تارسکی و غیره) شروع کنیم و سپس سیستم هندسی واقعی را به صورت هندسی تعریف کنیم. تمام این ساختارهای اعداد واقعی نشان داده شده است که معادل هستند، به این معنی است که سیستمهای حاصل از آن، ایزومورفیک هستند .

رویکرد Axiomatic [ ویرایش ]

اجازه دهید R نشان دهنده مجموعه ای از همه اعداد حقیقی. سپس:

• مجموعه R یک میدان است ، به این معنی که افزودن و ضرب تعریف شده و دارای خواص معمول است.
• زمینه R است دستور داد ، به این معنی است که یک وجود دارد کل سفارش ≥ به طوری که، برای همه اعداد حقیقی x را ، Y و Z :
  • اگر X ≥ Y سپس X + Z ≥ Y + Z ؛
  • اگر x ≥ 0 و y ≥ 0 باشد، xy ≥ 0 است.
• سفارش Dedekind کامل است . یعنی: هر زیرمجموعه غیر خالی S از R با مرز بالا در Randed دارای کمترین مرز فوقانی (همچنین supremum نامیده می شود) در R است .

آخرین اموال چیزی است که تمثیلات را از دلایل (و از سایر زمینه های نظم عجیب و غریب ) متفاوت می سازد. به عنوان مثال، مجموعه ای از معادلات با مربع کمتر از 2 دارای حد بالایی منطقی (به عنوان مثال، 1.5) است، اما هیچ محدودیتی کمترین حد متعادل، زیرا ریشه مربع 2 منطقی نیست.

این خواص به معنای اموال Archimedean (که با تعریف های دیگر از کامل بودن تعریف نشده است). به این معناست که مجموعه ای از عدد صحیح در حد واقعی در حد بالا نیست. در واقع، اگر این غلط بود، پس از آن اعداد صحیح یک حداقل حد بالا دارند N ؛ سپس N - 1 یک حد بالا نیست و یک عدد صحیح n وجود دارد به طوری که n > N - 1 و به این ترتیب n + 1> N است که تناقض با ویژگی فوقانی محدود N است .

اعداد واقعی به وضوح مشخص شده توسط خواص فوق هستند. بطور دقیقتر، با توجه به هر دو حوزه ددکیند کامل دستور R 1 و R 2 وجود دارد، زمینه منحصر به فرد ریخت از R 1 به R 2 ، اجازه می دهد تا ما را به آنها فکر می کنم به عنوان اصل موضوع ریاضی است.

برای تحقق دیگری از R رابطه تریسکی را از معادلات واقعی بررسی کنید .

ساخت از اعداد منطقی [ ویرایش ]

اعداد حقیقی می تواند به عنوان ساخته تکمیل اعداد گویا در چنین راهی که دنباله تعریف شده توسط یک اعشاری یا بسط دودویی مانند (؛ 3.1؛ 3.14؛ 3.141؛ 3.1415؛ 3 ...) همگرا به یک عدد حقیقی منحصر به فرد، در این مورد π . برای جزئیات و ساختارهای دیگر از اعداد واقعی، ساخت اعداد واقعی را ببینید .

خواص [ ویرایش ]

خواص پایه [ ویرایش ]

• هر عدد غیر صفر یا منفی یا مثبت است .
• مجموع و محصول دو عدد حقیقی غیر عدد مجددی یک عدد واقعی غیر منفی است؛ یعنی آنها تحت این عملیات ها بسته شده و یک مخروط مثبت ایجاد می کنند و در نتیجه یک عدد خطی از عدد حقیقی در طول یک عدد ایجاد می کنند خط .
• اعداد واقعی یک مجموعه بی نهایت از اعداد را تشکیل می دهند که نمی توانند به مجموعه بی نهایت از اعداد طبیعی به صورت انتزاعی نمایش داده شوند ، یعنی تعداد اعداد حقیقی بی حد و حصرزیادی وجود دارد، در حالی که اعداد طبیعی نامحدود نامیده می شوند . این نشان می دهد که به نوعی تعداد واقعی بیشتری از عناصر در هر مجموعه قابل شمارش وجود دارد.
• یک سلسله مراتب از زیرمجموعه های شمارا بی نهایت از اعداد حقیقی وجود دارد، به عنوان مثال، عدد صحیح ، عقلانیت ، اعداد جبری و اعداد قابل محاسبه وجود دارد ، هر مجموعه یک زیر مجموعه مناسب از بعدی در دنباله است. مکمل از همه این مجموعه ( غیر منطقی ، متعالی ، و شماره های غیر قابل محاسبه واقعی) با توجه به اعداد حقیقی، مجموعه های نامحدود همه غیر قابل شمارش.
• اعداد حقیقی می توان مورد استفاده برای بیان اندازه گیری از مستمر مقادیر. آنها ممکن است توسط نمایندگی های اعشاری بیان شوند ، بیشتر آنها دارای دنباله ای نامحدود از ارقام به سمت راست ازنقطه اعشار است ؛ اینها اغلب مانند 324.823122147 ... نشان داده میشوند، جایی که بیضوی (سه نقطه) نشان میدهد که هنوز تعداد بیشتری رقم وجود دارد. این اشاره به این واقعیت است که ما دقیقا می توانیم فقط تعداد کمی از اعداد حقیقی انتخاب شده را با تعداد زیادی نمادها تعریف کنیم.

به طور رسمی، اعداد واقعی دارای دو ویژگی اساسی هستند که یک فیلد مرتب هستند و دارای کمترین مشخصه محدود است. اولا می گوید که عدد حقیقی یک فیلد است با افزودن و ضرب و همچنین تقسیم با عدد های غیر صفر که می توانند به طور کامل بر روی خط شماره به منظور سازگاری با افزودن و ضرب باشند. دوم می گوید که اگر یک مجموعه غیرعدم عدد حقیقی دارای محدودیت بالا باشد، آن دارای حداقل حداقل حد بالا است. حالت دوم، عدد حقیقی را از اعداد عقلانی تشخیص می دهد: برای مثال، مجموعه ای از اعداد منطقی که مربع آن کمتر از 2 مجموعه ای با مرز بالا (به عنوان مثال 1.5) است، اما هیچ (منطقی) کمترین حد بالا: از این رو اعداد عقلانی کمترین محدودیت اموال را برآورده نکنید.

تکمیل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تکمیل اعداد واقعی

دلیل اصلی استفاده از عدد حقیقی این است که عبارات حاوی تمام محدودیت ها هستند . دقیق تر، دنباله ای از اعداد واقعی دارای یک حد است، که یک عدد واقعی است، اگر (و تنها اگر) عناصر آن در نهایت می آیند و به طور خودسرانه به یکدیگر نزدیک می شوند. این به طور رسمی در زیر تعریف شده است و بدین معنی است که اصطلاحات کامل هستند (به معنای فضاهای متریک یا فضاهای یکنواخت ، که معنای دیگری از تکمیل تقدیر از دستور در بخش قبلی است). :

یک دنباله ( x n ) از اعداد واقعی یک توالی کوشی نامیده می شود اگر برای هر ε> 0 یک عدد صحیح N (احتمالا بسته به ε) وجود دارد به طوری که فاصله | x n - x m | کمتر از ε برای همه nو m است که هر دو بیشتر از N است . این تعریف، که در اصل توسط کوشی ارائه شده است ، این واقعیت را ثابت می کند که x n در نهایت می آید و به طور خودسرانه به یکدیگر نزدیک می شود.

یک دنباله ( x n ) به عالمت x نزدیک می شود اگر عناصر آن در نهایت می آیند و به طور خودسرانه به x نزدیک می شوند ، یعنی اگر برای هر ε> 0 یک عدد صحیح N (احتمالا بسته به ε وجود دارد) وجود دارد به طوری که فاصله | x n - x | کمتر از ε برای n بزرگتر از N است .

هر دنباله همگرا یک توالی کوشی است، و converse درست برای اعداد واقعی است، و این بدان معنی است که فضای توپولوژیک عدد حقیقی کامل است.

مجموعه اعداد منطقی کامل نیست. به عنوان مثال، دنباله (1، 1.4، 1.41، 1.414، 1.4142، 1.41421 ...)، که هر اصطلاح یک رقم از گسترش اعشاری ریشه مربع مثبت از 2 را اضافه می کند، کوشی است، اما به یک عدد منطقی (در عدد واقعی، در مقابل، آن را به ریشه مربع مثبت از 2) می یابد.

اموال کاملی از واقعیات مبنایی است که در آن محاسبات ، و عموما تجزیه و تحلیل ریاضی ساخته شده است. به طور خاص، آزمون که دنباله یک توالی کوشی است، می تواند ثابت کند که یک ترتیب دارای یک حد است، بدون آن که محاسبه شود، و حتی بدون دانستن آن.

به عنوان مثال، سری استاندارد تابع نمایشی