خودکارهای سلولی [ ویرایش ]
مثلث سیرپینسکی همچنین در خودکارهای سلولی خاص (مانند قانون 90 ) ظاهر می شود ، از جمله موارد مربوط به بازی زندگی کانوی . به عنوان مثال ، اتومات سلولی شبیه به زندگی B1 / S12 که در یک سلول واحد اعمال می شود ، چهار تقریب مثلث سیرپینسکی را ایجاد می کند. [10] یک خط ضخیم بسیار طولانی یک سلول در زندگی استاندارد ، دو مثلث سیرپینسکی آینه ای را ایجاد می کند. نمودار زمان و مکان یک الگوی تکثیر در یک اتوماتیک سلولی نیز اغلب شبیه یک مثلث سیرپینسکی است ، مانند آن از تکرار کننده های رایج در HighLife. [11] مثلث سیرپینسکی را می توان در اتومات Ulam-Warburton و اتومات Hex-Ulam-Warburton نیز یافت.[12]
مثلث پاسکال [ ویرایش ]
تقریب سطح 5 به مثلث سیرپینسکی که با سایه زدن 2 2 5 (32) سطح اول مثلث پاسکال سفید به دست می آید اگر ضریب دوتایی یکنواخت و سیاه باشد در غیر این صورت
اگر یک مثلث پاسکال را با 2 n ردیف بکشید و حتی اعداد مساوی را به رنگ سفید و اعداد عجیب و غریب سیاه رنگ کنید ، نتیجه تقریبی مثلث سیرپینسکی است. بطور دقیقتر، حد به عنوان نفر نزدیک بی نهایت از این برابری -colored 2 نفر جریحه مثلث پاسکال مثلث Sierpinski برای است. [13]
برج هانوی [ ویرایش ]
برج هانوی پازل شامل انتقال دیسک با اندازه های مختلف بین سه گیره، حفظ اموال است که هیچ دیسک است که تا کنون در بالای یک دیسک کوچکتر قرار داده. کشورهای یک نفر پازل نیم دیسک، و حرکت مجاز از حالتی به حالت دیگر، تشکیل یک گراف بدون جهت از نمودار هانوی ، که می تواند هندسی به عنوان نمایندگی نمودار تقاطع از مجموعه ای از مثلث باقی مانده پس از N هفتم گام در ساخت مثلث سیرپینسکی بنابراین ، در حد به عنوان n به بی نهایت ، این دنباله نمودارها می تواند به عنوان یک آنالوگ گسسته مثلث سیرپینسکی تعبیر شود. [14]
خواص [ ویرایش ]
برای عدد صحیح از ابعاد د ، هنگامی که دو برابر یک طرف از یک شی، 2 D کپی از آن ایجاد می کند، به عنوان مثال 2 نسخه برای شی 1 بعدی، 4 نسخه برای 2 بعدی شی و 8 نسخه برای شی 3 بعدی است. برای مثلث Sierpinski ، دو برابر کردن آن ، 3 نسخه از خودش را ایجاد می کند. بنابراین مثلث سیرپینسکی از بعد Hausdorff برخوردار است ورود (3)/ورود (2) = log 2 3 / 1.585 log ، که نتیجه آن حل 2 d = 3 برای d است . [15]
مساحت مثلث سیرپینسکی صفر است (در اندازه گیری Lebesgue ). ناحیه باقی مانده پس از هر تکرار است3/4از ناحیه از تکرار قبلی ، و تعداد نامتناهی از تکرارها در منطقه ای به صفر نزدیک می شود. [16]
نقاط مثلث سیرپینسکی در مختصات باری سنترال یک توصیف ساده دارد . [17] اگر یک نقطه مختصات داشته باشد (0. U 1 u 2 U 3 …، 0. v 1 v 2 v 3 …، 0. w 1 w 2 w 3 …) که به صورت اعداد باینری بیان شده است ، پس نقطه در مثلث سیرپینسکی اگر و فقط اگر شما i + v i + w i = 1 برای همه من است .
تعمیم به سایر واحدها [ ویرایش ]
در صورت استفاده از مودولو متفاوت ، می توان مثلث سیرپینسکی را نیز با استفاده از مثلث پاسکال ایجاد کرد . با گرفتن مثلث پاسکال با ردیف های P n و رنگ آمیزی اعداد توسط مقدار آنها برای x mod P می توان Iteration n را تولید کرد . با نزدیک شدن به n به بینهایت ، یک فراکتال ایجاد می شود.
همان فرکتال را می توان با تقسیم یک مثلث به یک tessellation مثلث های مشابه P 2 و جدا کردن مثلث هایی که از قسمت اصلی به صورت وارونه است ، بدست آورد و سپس با هر مثلث کوچکتر این مرحله را تکرار کرد.
در مقابل ، فراکتال نیز با شروع با یک مثلث و تکثیر آن و تنظیم ، می تواند ایجاد شود n ( n + 1)/2از چهره های جدید در همان جهت به یک مثلث مشابه بزرگتر با رئوس چهره های قبلی لمس می شود ، سپس آن مرحله را تکرار می کند. [18]
آنالوگ ها در ابعاد بالاتر [ ویرایش ]
هرم مبتنی بر مربع سیرپینسکی و "وارونه" آن
پیشرفت بازگشتی هرم Sierpinski (7 مرحله)
هرم مبتنی بر مثلث Sierpiński همانطور که از بالا مشاهده می شود (4 بخش اصلی برجسته). به این شباهت خود در این نمای پیش بینی شده دو بعدی توجه داشته باشید ، به طوری که مثلث حاصل می تواند به خودی خود یک فراکتال 2D باشد.
چهار ضلعی Sierpinski با یا tetrix آنالوگ سه بعدی از مثلث Sierpinski برای است، تشکیل شده توسط بارها و بارها به طور منظم کاهش چهار ضلعی به یکی از نیمی ارتفاع اصلی آن، کنار هم قرار دادن چهار نسخه از این چهار ضلعی با گوشه دست زدن، و سپس تکرار این روند.
یک تتریكس ساخته شده از یك چهار ضلعی اولیه با طول L L این خاصیت را دارد كه مساحت كل سطح با هر تكرار ثابت می ماند. سطح اولیه از (تکرار-0) چهار ضلعی به طول ضلع L است L 2 √ 3 . تکرار بعدی شامل چهار نسخه با طول کناره استل/2بنابراین کل مساحت 4 است (ل/2) 2 √ 3 = 4 L 2 ·3 پوند/4 = L 2 √ 3 دوباره. ضمناً حجم ساخت در هر مرحله نصف می شود و بنابراین به صفر می رسد. حد این فرآیند نه حجم دارد و نه سطح ، اما مانند واشر سیرپینسکی منحنی کاملاً پیچیده است. ابعاد Hausdorff آن استورود (4)/ورود (2) = 2. اگر همه نقاط بر روی صفحه ای که موازی با دو لبه بیرونی است ، پیش بینی می شوند ، دقیقاً یک مربع از طول کناره را پر می کنند ل/2 پوندبدون همپوشانی [ نیاز به استناد ]
انیمیشن یک چرخه سطح چرخان سطح 4 که نشان می دهد چگونه برخی از پیش بینی های ارتوژیک یک تتریکس می توانند یک هواپیما را پر کنند - در این SVG تعاملی ، برای چرخاندن مدل سه بعدی ، از چپ و راست بر روی تتریکس حرکت کنید.
تاریخچه [ ویرایش ]
این Wacław Sierpinski با مثلث Sierpinski با در سال 1915. توصیف با این حال، به نظر می رسد الگوهای مشابهی در حال حاضر در 13th قرن Cosmati موزاییک در کلیسای جامع از اناگنی ، ایتالیا ، [19] و مکان های دیگر از مرکز ایتالیا، فرش در بسیاری از نقاط مانند شبستان از ریحان رومی سانتا ماریا در Cosmedin ، [20] و برای مثلث های جدا شده قرار گرفته در روتا در چندین کلیسا و ریحان. [1] [2] در مورد مثلث جدا شده ، تکرار حداقل از سه سطح است.
مثلث قرون وسطایی ، با قدمت تاریخی خاص [2] اخیراً مورد مطالعه قرار گرفته است. این گیاه در پورفیری و برگ طلایی ، جدا شده و تکرار سطح 4 است
واشر آپولونی برای اولین بار توسط توصیف شد آپولونیوس برج (قرن 3 قبل از میلاد) و بیشتر توسط تجزیه و تحلیل گوتفرید لایبنیتس (قرن 17)، و پیش منحنی از 20 قرن مثلث Sierpinski برای است. [21]
اخلاق شناسی [ ویرایش ]
استفاده از کلمه "واشر" برای اشاره به مثلث سیرپینسکی به واشر هایی از قبیل موتورهای موجود در آن اشاره دارد و در بعضی مواقع یک سری سوراخ هایی با اندازه کاهش می یابد که شبیه به فراکتال است. این استفاده توسط Benoit Mandelbrot ابداع شد ، که فکر می کرد فراکتال شبیه به "قسمتی است که مانع نشت موتورها می شود". [22]
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.