ریاضیات

مثلث سیرپینسکی

با استفاده از یک الگوریتم تصادفی تولید می شود

مثلث سیرپینسکی در منطق: 16 پیوند اول استدلال های واژگان مرتب شده. ستونهایی که به صورت اعداد باینری تعبیر می شوند ، 1 ، 3 ، 5 ، 15 ، 17 ، 51 ... (دنباله A001317 در OEIS )

Sierpinski با مثلث (همچنین با اصلی خط Sierpinski با )، نیز نامیده می شود لایی Sierpinski یا Sierpinski برای غربال ، یک است فراکتال مجموعه جذاب ثابت با شکل کلی یک مثلث متساوی الاضلاع ، تقسیم به صورت بازگشتی مثلث متساوی الاضلاع را کوچکتر است. در اصل به عنوان یک منحنی ساخته شده ، این یکی از نمونه های اصلی مجموعه های مشابه خود است - یعنی یک الگوی ریاضی تولید شده است که در هر بزرگنمایی یا کاهش قابل تکرار است. این نام پس از ریاضی دان لهستانی Wacław Sierpiński نامگذاری شده است اما قرن ها قبل از کار Sierpiński به عنوان یک الگوی تزئینی ظاهر شد. [1] [2]

فهرست

• 1ساخت و سازها
  • 1.1حذف مثلث
  • 1.2کوچک شدن و تکثیر
  • 1.3بازی هرج و مرج
  • 1.4ساخت فلش واشر سیرپینسکی
  • 1.5خودکارهای سلولی
  • 1.6مثلث پاسکال
  • 1.7برج های هانوی
• 2خصوصیات
• 3تعمیم به سایر ماژول ها
• 4آنالوگ ها در ابعاد بالاتر
• 5تاریخ
• 6علم اشتقاق لغات
• 7همچنین ببینید
• 8منابع
• 9لینک های خارجی

سازه ها [ ویرایش ]

روش های مختلفی برای ساخت مثلث سیرپینسکی وجود دارد.

حذف مثلث ها [ ویرایش ]

تکامل مثلث سیرپینسکی

مثلث Sierpinski با ممکن است از یک ساخته مثلث متساوی الاضلاع با حذف تکرار از زیر مجموعه های مثلثی:

1. با یک مثلث مساوی شروع کنید.
2. آن را به چهار مثلث مساوی کوچکتر متناسب تقسیم کنید و مثلث مرکزی را بردارید.
3. مرحله 2 را با هر یک از مثلث های کوچکتر باقیمانده تکرار کنید.

هر مثلث برداشته شده ( trma ) از نظر توپولوژیک یک مجموعه باز است . [3] این روند حذف مثلثی بازگشتی به مثابه یک قانون تقسیم متناهی است .

کوچک سازی و تکثیر [ ویرایش ]

همان توالی شکل ها ، که با مثلث سیرپینسکی همگرا می شوند ، می تواند با مراحل زیر تولید شود:

1. با هر مثلث در هواپیما شروع کنید (هر منطقه بسته و محدود در هواپیما واقعاً کار خواهد کرد). مثلث معمولی سیرپینسکی از مثلث متساوی الاضلاع با پایه موازی با محور افقی (تصویر اول) استفاده می کند.
2. مثلث را به کوچک کنید 1/2 قد و 1/2عرض ، سه نسخه را بسازید و سه مثلث کوچک شده را طوری قرار دهید که هر مثلث دو مثلث دیگر را در یک گوشه لمس کند (تصویر 2). توجه به ظهور سوراخ مرکزی داشته باشید زیرا سه مثلث کوچک شده فقط بین آنها می توانند بپوشانند3/4مساحت اصلی. (سوراخ ها یک ویژگی مهم مثلث سیرپینسکی هستند.)
3. مرحله 2 را با هر یک از مثلث های کوچکتر تکرار کنید (تصویر 3 و غیره).

توجه داشته باشید که این فرایند نامتناهی به شکل شروع مثلث بستگی ندارد - این روش کاملاً واضح تر است. چند قدم اول که مثلاً از یک مربع شروع می شود ، به سمت مثلث سیرپینسکی گرایش پیدا می کند. مایکل بارنزلی برای نشان دادن این موضوع در مقاله خود "فراکتالهای متغیر V و فوق العاده" از تصویر ماهی استفاده کرده است. [4] [5]

پخش از یک مربع

فراکتال واقعی همان چیزی است که پس از تعداد نامحدود تکرارها بدست می آید. رسماً ، آن را از لحاظ عملکرد در مجموعه های بسته از نقاط توصیف می کند. اگر ما اجازه د نشان دهنده اتساع با ضریب1/2در حدود یک نقطه A ، سپس مثلث سیرپینسکی با گوشه های A ، B و C مجموعه ثابت تحول d A  ∪  d B  ∪  d C است .

این یک مجموعه ثابت ثابت است ، به طوری که وقتی این عمل به طور مکرر به هر مجموعه دیگر اعمال می شود ، تصاویر در مثلث سیرپینسکی همگرا می شوند. این همان چیزی است که با مثلث فوق اتفاق می افتد ، اما هر مجموعه دیگر کافی خواهد بود.

بازی هرج و مرج [ ویرایش ]

ایجاد انیمیشن مثلث سیرپینسکی با استفاده از بازی هرج و مرج

اگر یک نکته در نظر گرفته شود و هر یک از دگرگونی های d A ، d B و d C را به طور تصادفی اعمال کند ، نقاط حاصل در مثلث سیرپینسکی متراکم می شوند ، بنابراین الگوریتم زیر دوباره تقریب های دلخواه خود را به طور مجزا ایجاد می کند: [6 ]

با برچسب زدن به p 1 ، p 2 و p 3 به عنوان گوشه های مثلث سیرپینسکی و یک نقطه تصادفی v 1 شروع کنید . تنظیم v n +1 =1/2( V N + P R N ) ، که در آن R N یک عدد تصادفی 1، 2 یا 3. رسم است که نقاط پنجم 1 به V ∞ . اگر نقطه اول v 1 یک نقطه در مثلث Sierpiński بود ، پس از آن تمام نقاط v n مثلث Sierpinski قرار دارند. اگر اولین نقطه v 1 که در محیط مثلث قرار دارد ، یک نقطه در مثلث سیرپینسکی نباشد ، هیچ یک از نقاط v n در مثلث سیرپینسکی قرار نخواهند گرفت ، اما در مثلث همگرا می شوند. اگر v 1در خارج از مثلث، تنها راه V N بر روی مثلث واقعی زمین، اگر V N است در چه خواهد بخشی از مثلث، اگر مثلث بی نهایت بزرگ بود.

ساخت متحرک مثلث سیرپینسکی

مثلث سیرپینسکی توسط یک درخت فراکتال با سه شاخه تشکیل شده است که زاویه 60 درجه بین یکدیگر تشکیل می دهد. اگر زاویه کاهش یابد ، مثلث را می توان به طور مداوم به یک فراکتال شبیه درخت تبدیل کرد.

هر subtriangle از N هفتم تکرار از مثلث Sierpinski برای قطعی است یک آدرس در یک درخت با N سطح (اگر N = ∞ سپس درخت همچنین یک فراکتال)؛ T = بالای / مرکز ، L = چپ ، R = راست ، و این توالی ها می توانند نمایانگر فرم تعیین کننده و "یک سری حرکت در بازی هرج و مرج" باشند. [7]

یا ساده تر:

1. سه شکل را در هواپیما بگیرید تا مثلث تشکیل شود ، لازم نیست آن را ترسیم کنید.
2. به طور تصادفی هر نقطه ای را درون مثلث انتخاب کنید و موقعیت فعلی خود را در نظر بگیرید.
3. به طور تصادفی هر یک از سه نقطه راس را انتخاب کنید.
4. نیمی از فاصله از موقعیت فعلی خود را به راس انتخاب شده منتقل کنید.
5. موقعیت فعلی را ترسیم کنید.
6. از مرحله 3 تکرار کنید.

این روش همچنین بازی هرج و مرج نامیده می شود و نمونه ای از یک سیستم عملکردی تکراری است . می توانید از هر نقطه خارج یا داخل مثلث شروع کنید ، و در نهایت می تواند Sierpinski Gasket را با چند نقطه باقیمانده تشکیل دهد (اگر نقطه شروع در رئوس مثلث باشد ، هیچ نقطه باقی مانده وجود ندارد). با استفاده از مداد و کاغذ ، یک طرح کوتاه پس از قرار دادن تقریباً صد نقطه تشکیل می شود و جزئیات پس از چند صد شروع می شوند. نسخه تعاملی از بازی هرج و مرج را می توان در اینجا یافت .

مثلث سیرپینسکی با استفاده از سیستم عملکرد تکرار شونده

ساخت فلش از واشر سیرپینسکی [ ویرایش ]

ساخت فلش از واشر سیرپینسکی

ساخت دیگری برای واشر سیرپینسکی نشان می دهد که می توان آن را به عنوان منحنی در هواپیما ساخت. این کار با فرآیند اصلاح مکرر منحنیهای ساده تر ، مشابه ساخت برف برف کچ :

1. با یک قطعه تک خط در هواپیما شروع کنید
2. به طور مکرر هر بخش خط منحنی را با سه بخش کوتاهتر جایگزین کنید و در هر محل اتصال بین دو بخش متوالی ، زاویه 120 درجه تشکیل دهید ، با اولین و آخرین بخش منحنی یا موازی با بخش خط اصلی یا تشکیل یک زاویه 60 درجه با آن باشید.

در هر تکرار ، این ساختار منحنی مداوم می دهد. در حد محدود ، اینها به منحنی نزدیک می شوند که مثلث سیرپنسکی را با یک مسیر واحد مداوم کارگردانی (بی نهایت wiggly) ، که به آن پیکان Sierpinski گفته می شود ، ردیابی می کند . [8] در حقیقت ، هدف مقاله اصلی سیرپینسکی از سال 1915 ، نشان دادن نمونه ای از منحنی (منحنی کانتورین) بود ، همانطور که عنوان مقاله خود اعلام می کند. [9] [2]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Sierpi%C5%84ski_triangle