شماره مارکوف

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هجدهم اردیبهشت ۱۳۹۹ | 17:50

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

سطح اول درخت شماره مارکوف

یک علامت مارکوف یا علامت Markoff یک عدد صحیح مثبت x ، y یا z است که بخشی از راه حل معادله مارکوف دیوفانتین است.

$x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 3xyz ، \ ،$

توسط آندری مارکف ( 1879 ، 1880 ) مورد مطالعه قرار گرفت .

چند عدد اول مارکوف هستند

1 ، 2 ، 5 ، 13 ، 29 ، 34 ، 89 ، 169 ، 194 ، 233 ، 433 ، 610 ، 985 ، 1325 ، ... (دنباله A002559 در OEIS )

به عنوان مختصات سه گانه مارکوف ظاهر می شوند

(1، 1، 1)، (1، 1، 2)، (1، 2، 5)، (1، 5، 13)، (2، 5، 29)، (1، 13، 34)، (1 ، 34، 89)، (2، 29، 169)، (5، 13، 194)، (1، 89، 233)، (5، 29، 433)، (1، 233، 610)، (2، 169 ، 985) ، (13 ، 34 ، 1325) و غیره

بی نهایت تعداد مارکف و سه گانه مارکوف وجود دارد.

فهرست

درخت مارکوف [ ویرایش ]

دو روش ساده برای به دست آوردن یک سه گانه جدید مارکوف از یک روش قدیمی ( x ، y ، z ) وجود دارد. در ابتدا ، ممکن است 3 عدد x ، y ، z را محدود کند ، بنابراین به طور خاص می توان سه گانه را به طور عادی تنظیم کرد تا x ≤ y ≤ z . دوم ، اگر ( x ، y ، z ) سه گانه مارکوف است ، سپس با پرش ویتا ( x ، y ، 3 xy - z) استفاده از این عمل دو بار همان سه گانه ای را که با آن شروع شده بود برمی گرداند. پیوستن به هر سه قلو عادی ماركوف به 1 ، 2 یا 3 تریپل عادی كه می توانید از این نمودار بدست آورید همانطور كه در نمودار آمده از (1،1،1) می باشد. این نمودار به هم متصل است. به عبارت دیگر ، هر سه گانه مارکوف را می توان با دنباله ای از این عملیات به (1،1،1) وصل کرد. [1] اگر به عنوان نمونه با (1 ، 5 ، 13) شروع کنیم ، سه همسایه آن (5 ، 13 ، 194) ، (1 ، 13 ، 34) و (1 ، 2 ، 5) را در مارکوف به دست می آوریم. اگر z به ترتیب 1 ، 5 و 13 تنظیم شود. به عنوان مثال ، با شروع (1 ، 1 ، 2) و تجارت y و z قبل از هر تکرار از تبدیل ، ماركوف را سه برابر با شماره های فیبوناچی لیست می كند. با همان سه برابر کردن و تجارت x شروع می شودو z قبل از هر تکرار به سه برابر عدد Pell می دهد.

تمام اعداد مارکوف در نواحی مجاور منطقه 2 دارای شماره های Pell با نمایه های عجیب و غریب هستند (یا اعداد n به گونه ای است که 2 n 2 - 1 یک مربع باشد ، OEIS : A001653 ) و تمام اعداد مارکوف در مناطق مجاور منطقه 1 هستند. شماره فیبوناچی با نمایه عجیب و غریب ( OEIS : A001519 ). بنابراین ، بی نهایت بسیاری از سه قلو مارکوف از فرم وجود دارد

$(1 ، F _ {{2n-1}} ، F _ {n 2n + 1}}) ، \،$

که در آن F X است X امین عدد فیبوناچی است. به همین ترتیب ، بسیاری از سه گانه فرم مارکوف بی نهایت هستند

$(2 ، P _ {{2n-1}} ، P _ {n 2n + 1}}) ، \ ،$

که در آن P X است X هفتم تعداد پل . [2]

خواص دیگر [ ویرایش ]

گذشته از دو کوچکترین تکین تکگانه (1،1،1) و (1،1،2) ، هر سه‌گانه مارکوف از سه عدد صحیح مجزا تشکیل شده است. [3]

حدس UNICITY بیان می کند که برای داده مارکوف تعداد ج ، دقیقا همان یک راه حل نرمال داشتن وجود دارد ج به عنوان بزرگترین عنصر آن: اثبات این حدس ادعا میشود اما هیچ کدام به نظر می رسد درست باشد. [4]

تعداد اعداد مارکوف 1 برابر بیشتر از تعداد 4 است ، در حالی که حتی اعداد مارکوف نیز 2 بیشتر از تعداد 32 است. [5]

در مقاله 1982 خود، دان Zagier حدس زده که N امین عدد مارکوف است مجانبی شده توسط:

$\ displaystyle m_ {n} = {\ tfrac {1} {3}} e ^ {C {\ sqrt {n}} + o (1) \ quad {\ text {با} C = 2.3523414972 \ ldots. }$

علاوه بر این ، او اشاره کرد که $x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 3xyz + 4/9$ ، تقریب معادله Diophantine اصلی ، معادل است $f (x) + f (y) = f (z)$ با f ( t ) = arcosh (3 t / 2). [6] حدس ثابت شد [ مورد مناقشه - بحث در مورد ] توسط گرگ مکشین و ایگور Rivin در سال 1995 با استفاده از روش های از هندسه هذلولی. [7]

N هفتم تعداد لاگرانژ را می توان از محاسبه N امین عدد مارکوف با فرمول

$L_ {n} = {\ sqrt {9- {4 \ {_ m_ {n}} ^ {2}}}}. \،$

علامت های مارکوف تعداد جفت مربعات (غیر منحصر به فرد) است.

قضیه مارکوف [ ویرایش ]

مارکف ( 1879 ، 1880 ) نشان داد که اگر

$\ displaystyle f (x، y) = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}$

یک فرم دودویی نامحدود و بصری با ضرایب واقعی و تبعیض آمیز است $D = b ^ {2} -4ac$ ، سپس عدد صحیح x ، y وجود دارد که f برای آنها مقدار حداکثر مقدار خالص را دارد

$\ frac {{\ sqrt D}} {3}$

مگر اینکه f یک شکل مارکوف باشد : [8] یک بار ثابت یک فرم

$\ displaystyle px ^ {2} + (3p-2a) xy + (b-3a) y ^ {2}$

به طوری که

${\ displaystyle 0 <a <p / 2، aq \ equiv \ pm r {\ pmod {p}}، bp-a ^ {2} = 1،}$

جایی که ( p ، q ، r ) یک سه گانه مارکوف است.

در توپولوژی نیز یک قضیه مارکوف وجود دارد که پسرش آندری مارکوف ، آندری آندریویچ مارکوف نامگذاری شده است . [9]

ماتریس [ ویرایش ]

اجازه دهید Tr عملکرد ردیابی را روی ماتریس نشان دهد. اگر X و Y در SL 2 ( ℂ ) هستند ، پس از آن

Tr ( X ) Tr ( Y ) Tr ( X ⋅ Y ) + Tr ( X ⋅ Y ⋅ X ^−1 ⋅ Y ^−1 ) + 2 = Tr ( X ) ^2 + Tr ( Y ) ^2 +

Tr ( X ⋅ Y ) ^2

به طوری که اگر Tr ( X ⋅ Y ⋅ X^ −1 ⋅ Y^ −1 ) = −2 پس از آن

Tr ( X ) Tr ( Y ) Tr ( X ⋅ Y ) = Tr ( X ) ^2 + Tr ( Y ) ^2 + Tr ( X ⋅ Y ) ^2

به طور خاص اگر X و Y دارای ورودی های صحیح نیز باشند ، Tr ( X ) / 3 ، Tr ( Y ) / 3 و Tr ( X ⋅ Y ) / 3 یک مارکف سه قلو هستند. اگر X ⋅ Y ⋅ Z = 1 سپس( TR ( X ⋅ Y ) = TR ( Z ، بنابراین بیشتر متقارن اگر X ، Y ، و Z در SL هستند 2 (ℤ) با X ⋅ Y ⋅ Z = 1 و کموتاتور از دو تا از آنها اثری −2 است ، سپس ردیابی آنها / 3 یک سه گانه مارکوف هستند.[10]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_number

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی