بعد هاسدورف

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه هفدهم اردیبهشت ۱۳۹۹ | 2:57

بعد هاسدورف

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نمونه ای از ابعاد غیر عدد صحیح. چهار تکرار اول از منحنی کوچ ، که در آن پس از هر تکرار ، تمام بخش های خط اصلی با چهار جایگزین می شوند ، هر کدام یک کپی شبیه به خود که 1/3 طول اصلی است. یک فرمالیسم از بعد هاسدورف از این فاکتور مقیاس (3) و تعداد اشیاء مشابه (4) برای محاسبه ابعاد ، D ، برای محاسبه ابعاد ، D ، پس از اولین تکرار به صورت

D = (log N) / (log S) = ( log 4) / (log 3) 1.26. [1]

یعنی اگرچه ابعاد هاسدورف یک نقطه واحد صفر است ، یک قطعه خط 1 است ، یک مربع 2 و یک مکعب 3 است ، برای فراکتال ها مانند این ، جسم می تواند ابعادی غیر عدد صحیح داشته باشد.

در ریاضیات ، بعد هاسدورف اندازه گیری است زبری ، یا به طور خاص، بعد فرکتال ، که اولین بار در سال 1918 توسط معرفی شد ریاضیدان فلیکس هاسدورف . [2] به عنوان مثال، بعد هاسدورف یک نقطه صفر است، از یک پاره خط 1، از یک مربع 2 است و از یک مکعب 3. یعنی، برای مجموعه از نقاط است که تعریف یک شکل صاف یا یک است شکل که تعداد کمی گوشه دارد - شکل هندسه سنتی و علم - بعد Haus Hausff یک عدد صحیح استتوافق با حس معمول بعد ، که به عنوان بعد توپولوژیکی نیز شناخته می شود . با این حال ، فرمول هایی نیز ایجاد شده اند که امکان محاسبه ابعاد سایر اشیاء کمتر ساده را نیز امکان پذیر می سازد ، جایی که صرفاً براساس خصوصیات مقیاس پذیری و شباهت به خود ، به این نتیجه می رسند که اشیاء خاص از جمله فراکتال ها غیر از اینها هستند. ابعاد نگارنده هاسدورف. به دلیل پیشرفت های فنی قابل توجهی که توسط آبرام ساموویوویچ بشیکوویچ انجام شده است و امکان محاسبه ابعاد برای مجموعه های بسیار نامنظم یا "خشن" را فراهم می کند ، این بعد نیز معمولاً به عنوان بعد Haus Hausff-Besicovitch گفته می شود.

ابعاد هاسدورف ، به طور خاص ، یک عدد بعدی بعدی است که با یک مجموعه معین مرتبط است ، جایی که مسافت بین همه اعضای آن مجموعه تعریف شده است. چنین مجموعه ای به فضای متریک گفته می شود . بعد از اعداد واقعی توسعه یافته ترسیم می شود ، $\ overline {\ mathbb {R}}$ ، برخلاف تصور بصری تر ابعاد ، که به فضاهای متریک عمومی مرتبط نیست و فقط در اعداد صحیح غیر منفی مقادیر را می گیرد.

از نظر ریاضی ، بعد هاسدورف مفهوم ابعاد یک فضای بردار واقعی را تعمیم می دهد . یعنی ابعاد هاسدورف یک فضای داخلی تولیدی n- بعدی با n برابر است . این زیربنای عبارت قبلی است که ابعاد هاسدورف یک نقطه صفر است ، یک خط یک و غیره است ، و مجموعه های نامنظم می توانند دارای ابعاد Hausinffff ناپایدار باشند. به عنوان مثال ، برف كوش كه در سمت راست نشان داده شده است از يك مثلث مساوی ساخته شده است. در هر تکرار ، بخش های خط جزء آن به 3 بخش از طول واحد تقسیم می شوند ، بخش میانی تازه ایجاد شده به عنوان پایه یک قطعه جدید متساوی جدید استفاده می شود.مثلثی که به سمت بیرون نشان می دهد ، و این قسمت پایه حذف می شود تا یک قطعه اصلی از تکرار طول واحد 4 باقی بماند. [3] یعنی پس از اولین تکرار ، هر بخش خط اصلی با N = 4 جایگزین می شود. هر نسخه مشابه خود 1 / S = 1/3 تا زمانی که اصلی باشد. [1] به روشی دیگر بیان کردیم ، ما یک شی با ابعاد اقلیدسی ، D گرفته ایم و مقیاس خطی آن را در هر جهت 1/3 کاهش داده ایم ، به طوری که طول آن به N = S D افزایش می یابد . [4] این معادله به راحتی برای D حل می شود ، و نسبت لگاریتم ها (یا لگاریتم های طبیعی ) موجود در شکل ها را نشان می دهد ، و در کچ و سایر موارد فراکتال dimensions ابعاد غیر کامل برای این اشیاء می دهد.

بعد هاسدورف جانشین ابعاد ساده اما معمولاً معادل شمارش جعبه یا Minkowski-Bouligand است .

فهرست

1شهود
2تعاریف رسمی
- 2.1محتوای هاسدورف
- 2.2اندازه گیری هاسدورف
- 2.3ابعاد هاسدورف
3نمونه
4ویژگی از ابعاد هاسدورف
- 4.1ابعاد هاسدورف و بعد القایی
- بعد4.2هاسدورف و بعد Minkowski
- 4.3ابعاد هاوسدورف و اقدامات فراستمن
- 4.4رفتار تحت اتحادیه ها و محصولات
5مجموعه شبیه به خود
- 5.1شرط مجموعه باز
6همچنین ببینید
7مرجع
8مطالعه بیشتر
9پیوند خارجی

شهود [ ویرایش ]

مفهوم بصری ابعاد یک جسم هندسی X تعداد پارامترهای مستقل است که باید یک نکته منحصر به فرد را در داخل انتخاب کنید. با این حال ، هر نقطه مشخص شده توسط دو پارامتر می تواند در عوض توسط یک مشخص شود ، زیرا کاردینال بودن هواپیمای واقعی برابر است با کاردینال بودن خط واقعی (این را می توان با استدلال شامل درهم آمیختن ارقام دو عدد برای عملکرد یک تک مشاهده کرد. شماره کدگذاری همان اطلاعات). مثال منحنی پر شدن فضا نشان می دهد که حتی می توانید خط واقعی را به صورت واقعی از نقشه بکشید(با در نظر گرفتن یک عدد واقعی به یک جفت از اعداد واقعی به گونه ای که همه جفت های اعداد پوشانده شوند) و به طور مداوم ، به گونه ای که یک شیء یک بعدی کاملاً یک شیء بعدی بالاتر را پر کند.

هر منحنی پر شدن فضا چندین بار به برخی نقاط برخورد می کند و وارونگی مداوم ندارد. غیرممکن است که دو بعد را بر روی یکی به شکلی نقشه برداری کنید که پیوسته و پیوسته غیرقابل برگشت باشد. بعد توپولوژیکی ، همچنین به نام Lebesgue بعد پوشش ، توضیح می دهد که چرا. این بعد n است اگر در هر پوشش X توسط توپ های باز کوچک ، حداقل یک نقطه وجود داشته باشد که n + 1 توپ با هم همپوشانی داشته باشند. به عنوان مثال ، وقتی یک خط با فواصل باز کوتاه باز می شود ، باید بعضی از نقاط دو بار پوشانده شود ، و بعد n = 1 می دهد.

اما بعد توپولوژیک اندازه گیری بسیار خام اندازه محلی یک فضا (اندازه نزدیک یک نقطه) است. منحنی که تقریباً پر از فضا می شود ، می تواند بعد از آنکه ابعاد توپولوژیکی یک را داشته باشد ، حتی اگر اکثر منطقه یک منطقه را پر کند ، هنوز هم ممکن است داشته باشد. یک فراکتال از لحاظ توپولوژیکی دارای یک عدد صحیح است ، اما از نظر میزان فضایی که در اختیار شما قرار می گیرد ، مانند فضایی با ابعاد بالاتر رفتار می کند.

بعد هاسدورف اندازه محلی محلی را با در نظر گرفتن فاصله بین نقاط ، متریک اندازه گیری می کند . تعداد N ( r ) توپ شعاع را در بیشتر r مورد نیاز برای پوشاندن کامل X در نظر بگیرید. هنگامی که r بسیار کوچک است ، N ( r ) به صورت چند جمله ای با 1 / r رشد می کند . برای به اندازه کافی به خوبی رفتار X ، بعد هاسدورف تعداد منحصر به فرد است د که N ( R ) به عنوان / 1 رشد می کند تحقیق د به عنوان تحقیق به صفر میرسد. دقیق تر ، این تعریف را تعریف می کندبعد شمارش جعبه ، که برابر با ابعاد هاسدورف است وقتی مقدار d یک مرز مهم بین نرخهای رشد است که برای پوشاندن فضا کافی نیست و نرخهای رشد بیش از حد.

برای اشکال صاف ، یا اشکال با تعداد کمی گوشه ، شکل هندسه و علم سنتی ، بعد هاسدورف یک عدد صحیح است که با بعد توپولوژیکی موافق است. اما Benoit Mandelbrot مشاهده کرد که فراکتالها ، مجموعه هایی با ابعاد غیرسوزنده هاسدورف ، در همه جای طبیعت یافت می شوند. وی مشاهده کرد که ایده آل کردن اکثر اشکال خشن که در اطراف خود مشاهده می کنید از نظر اشکال ایده آل و صاف نیست بلکه از نظر اشکال ایده آل فرکتالی است:

ابرها کره نیستند ، کوهها مخروط نیستند ، خطوط ساحلی دایره ای نیستند ، و پوست نیز صاف نیست و همچنین صاعقه در یک خط مستقیم حرکت نمی کند. [5]

برای فراکتالهایی که در طبیعت رخ می دهند ، بعد هاسدورف و شمارش جعبه ها برابر است. ابعاد بسته بندی یکی دیگر از مفهوم مشابهی می دهد که همان مقدار برای بسیاری از اشکال، اما استثنا به خوبی مستند که در آن تمام این ابعاد متفاوت وجود دارد.

تعاریف رسمی [ ویرایش ]

محتوای هاسدورف[ ویرایش ]

بگذارید X یک فضای متریک باشد. اگر S ⊂ X و d ∈ [0 ، ∞) ، محتوای نامحدود هاسدورف d- بعدی از S توسط تعریف شده است

$C_H ^ d (S): = \ inf \ Bigl \ {\ sum_i r_i ^ d: \ text a یک جلد از} S \ text {توسط توپ هایی با شعاع} r_i> 0 \ Bigr \ {وجود دارد.$

به عبارت دیگر، $C_H ^ d (S)$ است infimum از مجموعه ای از اعداد $\ displaystyle \ delta \ geq 0$ به گونه ای که مجموعه ای از توپ ها (فهرست بندی شده) وجود دارد $\ {B (x_i، r_i): i \ in I \$ پوشش S با r i > 0 برای هر i ∈ من که راضی کننده است $\ sum_ {i \ in I} r_i ^ d <\ delta$ . (در اینجا ، ما از کنوانسیون استاندارد استفاده می کنیم که inf Ø = ∞ .)

اندازه گیری هاسدورف[ ویرایش ]

اندازه گیری بیرونی هاسدورف با محتوای بی حد و حصر Haus Hausff متفاوت است زیرا در نظر گرفتن تمام پوشش های ممکن S ، می بینیم که وقتی اندازه توپ ها به صفر می رسد چه اتفاقی می افتد. این برای $\ displaystyle d \ geq 0$ ، تعریف کنیم د بعدی هاسدورف اندازه گیری بیرونی S به عنوان

$\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {d} (S): = \ lim _ {r \ to 0} \ inf {\ Bigl \ {} \ sum _ {i} r_ {i} ^ {d : {\ text a پوششی از}} S {\ text {توسط توپ با شعاع وجود دارد}} 0 <r_ {i} <r {\ Bigr \}}.}$

ابعاد هاسدورف [ ویرایش ]

بعد هاسدورف از X تعریف شده توسط

$\ displaystyle \ dim _ {\ operatorname {H}} (X): = \ inf \ {d \ geq 0: {\ mathcal {H}} ^ {d} (X) = 0 \}.$

بدین ترتیب در کم نور H ( X ) ممکن است به عنوان تعریف infimum از مجموعه ای از د ∈ [0، ∞) به طوری که د بعدی اندازه گیری هاسدورف از X صفر است. این همان supremum مجموعه d ∈ [0، ∞] است به این ترتیب که اندازه گیری d- بعدی هاسدورف از X بی نهایت است (به جز اینکه وقتی این مجموعه اعداد d خالی باشد ابعاد هاسدورف صفر است).

مثالها [ ویرایش ]

ابعاد یک مثال فراکتال دیگر . مثلث Sierpinski برای ، یک شی با بعد هاسدورف ورود به سیستم (3) / ورود به سیستم (2) ≈1.58. [4]

مجموعه های قابل شمارش دارای ابعاد Haus Hausff 0. [6]
فضای اقلیدسی ℝ N است بعد هاسدورف N و دایره S 1 است بعد هاسدورف 1. [6]
فراکتال ها اغلب فضاهایی هستند که ابعاد هاسدورف به شدت از بعد توپولوژیکی فراتر می رود . [5] به عنوان مثال، مجموعه کانتور ، یک فضای توپولوژیک صفر بعدی، اتحاد دو کپی از خودش است، هر کپی منقبض توسط یک عامل 01/03؛ از این رو می توان نشان داد که ابعاد هاسدورف آن ln (2) / ln (3) 0.63 ≈ است. [7] مثلث Sierpinski برای یک اتحادیه از سه کپی از خودش است، هر کپی منقبض توسط یک عامل از 1/2؛ این یک ابعاد هاسدورف از ln (3) / ln (2) 1.58 ≈ می دهد. [1] این ابعاد هاسدورف مربوط به "نماینده مهم" قضیه استاد برای حل روابط عود درتجزیه و تحلیل الگوریتم ها .
منحنی های پر شدن فضا مانند منحنی Peano همان ابعاد هاسدورف با فضای پر شده آنها دارد.
مسیر حرکت براون در ابعاد 2 و بالاتر ، به ابعاد 2. هاسدورف حدس زده شده است. [8]

تخمین بعد هاسدورف از سواحل انگلیس

لوئیس فر ریچاردسون برای اندازه گیری ابعاد تقریبی Haus Hausff برای خطوط ساحلی آزمایش های دقیقی انجام داده است. نتایج وی از 1.02 برای خط ساحلی آفریقای جنوبی تا 1.25 برای ساحل غربی انگلیس متغیر است . [5]

ویژگی های ابعاد هاسدورف [ ویرایش ]

ابعاد هاسدورف و بعد استقرایی [ ویرایش ]

بگذارید X یک فضای متریک جداکننده دلخواه باشد . یک مفهوم توپولوژیکی از ابعاد ابعادی برای X وجود دارد که به صورت بازگشتی تعریف می شود. این است که همیشه یک عدد صحیح (یا + ∞) و نشان داده می شود کم است

IND ( X ).

قضیه . فرض کنید X خالی نیست. سپس

$\ dim _ {{{\ mathrm {Haus}}} X (X) \ geq \ dim _ {{\ operatorname {ind}}} (X).$

علاوه بر این،

$\ inf _ {Y} \ dim _ {{\ operatorname {Haus}} Y (Y) = \ dim _ {{\ operatorname {ind}}} (X)،$

جایی که Y از فاصلههای متریک هومومورف تا X متغیر است . به عبارت دیگر، X و Y دارند مجموعه اساسی همان نقاط و متریک د Y از Y توپولوژیکی به معادل است د X .

این نتایج در ابتدا توسط ادوارد سبزپیراخ ( 1977-1790 ) تأسیس شد ، به عنوان مثال ، به هورویچ و والمن ، فصل هفتم مراجعه کنید. [ نیاز به استناد کامل ]

ابعاد هاسدورف و بعد Minkowski [ ویرایش ]

بعد مینکوفسکی مشابه است، و حداقل به عنوان بزرگ به عنوان، بعد هاسدورف، و آنها در بسیاری از موارد با هم برابر هستند. با این حال ، مجموعه ای از نکات منطقی در [0 ، 1] دارای ابعاد هاسدورف صفر و بعد Minkowski یک است. همچنین مجموعه های جمع و جور نیز وجود دارد که ابعاد مینکوفسکی از ابعاد Hausdorff به شدت بزرگتر است.

ابعاد هاوسدورف و اقدامات فراستمن [ ویرایش ]

در صورتی که یک وجود دارد اندازه گیری μ تعریف شده بر روی بورل زیر مجموعه از یک فضای متریک X به طوری که μ ( X )> 0 و μ ( B ( X ، R )) ≤ r و بازدید کنندگان نگه می دارد برای برخی از ثابت ها > 0 و برای هر توپ B ( X ، r ) در X و سپس کم رنگ Haus ( X ) s . مکالمه جزئی توسط لیم Frostman ارائه می شود . [ نیاز به استناد ] [9]

رفتار تحت اتحادیه ها و محصولات [ ویرایش ]

$X = \ bigcup_ {i \ in I} X_i$ پس یک اتحادیه محدود یا حساب شده است

$\ dim _ {{\ operatorname {Haus}}} (X) = \ sup _ {\ i \ in I}} \ dim _ {{\ operatorname {Haus}}} (X_ {i}).$

این را می توان مستقیم از تعریف تأیید کرد.

اگر X و Y فضاهای متری غیر خالی باشند ، بعد ابعاد هاسدورف محصول آنها را برآورده می کند [10]

$\ dim _ {{\ operatorname {Haus}}} (X \ برابر Y) \ geq \ dim _ {{\ operatorname {Haus}}} (X) + \ dim _ {{\ operatorname {Haus}}} (Y )$

این نابرابری می تواند دقیق باشد. ممکن است که به پیدا کردن دو مجموعه از ابعاد 0 که محصول ابعاد 1. دارد [11] در جهت مخالف، آن را شناخته شده است که هنگامی که X و Y زیر مجموعه بورل هستند R N ، بعد هاسدورف X × Y است از بالا محدود توسط بعد هاسدورف X به همراه ابعاد بسته بندی بالا از Y . این حقایق در ماتیلا (1995) مورد بحث قرار گرفته است.

مجموعه های مشابه خود [ ویرایش ]

بسیاری از مجموعه های تعریف شده توسط یک شرایط شباهت دارای ابعادی هستند که می توانند به صراحت تعیین شوند. تقریباً ، اگر E یک نقطه ثابت یک تغییر ارزش افزوده باشد ، مجموعه E شبیه به خودش است ، یعنی ψ ( E ) = E ، اگرچه تعریف زیر در زیر آورده شده است.

قضیه . فرض کنید
$\ psi_i: \ mathbf {R} ^ n \ rightarrow \ mathbf {R} ^ n، \ quad i = 1، \ ldots، m$
می انقباضی نگاشت در R N با انقباض ثابت R J <1. سپس یک منحصر به فرد وجود دارد غیر خالی فشرده مجموعه به طوری که
$A = \ bigcup_ {i = 1} ^ m \ psi_i (A).$

قضیه زیر از استفان Banach را نقشه برداری انقباضی قضیه نقطه ثابت به فضای متریک، کامل از زیر مجموعه های جمع و جور غیر خالی از اعمال R N با فاصله هاسدورف . [12]

شرط تنظیم باز [ ویرایش ]

برای تعیین ابعاد خود مشابه مجموعه (در موارد خاص)، ما نیاز به یک وضعیت فنی به نام شرط مجموعه باز (OSC) در دنباله ای از انقباضات ψ من .

یک مجموعه باز V نسبتاً فشرده به گونه ای است که وجود دارد

$\ bigcup_ {i = 1} ^ m \ psi_i (V) \ subeteq V،$

جایی که مجموعه های اتحادیه در سمت چپ از هم جدا هستند

شرط مجموعه باز شرط جداسازی است که تضمین می کند تصاویر( ψ i ( V با هم همپوشانی ندارند "بیش از حد".

قضیه . فرض کنید شرط مجموعه باز است و هر ψ i یک شباهت است ، این یک ترکیب از یک ایزومتر و گشاد شدن در اطراف برخی از نقطه است. سپس نقطه ثابت منحصر به فرد از ψ مجموعه ای که بعد هاسدورف است بازدید کنندگان که در آن بازدید کنندگان است که راه حل منحصر به فرد از [13]

$\ sum_ {i = 1} ^ m r_i ^ s = 1.$

ضریب انقباض یک شباهت بزرگی اتساع است.

ما می توانیم از این قضیه برای محاسبه ابعاد هاسدورف مثلث سیرپینسکی (یا بعضا واشر Sierpinski) استفاده کنیم. سه در نظر بگیرید نقاط غیر واقع شونده 1 ، 2 ، 3 در هواپیما R 2 و اجازه دهید ψ من باشد اتساع نسبت 1/2 در اطراف من . منحصر به فرد غیر خالی نقطه ثابت مربوطه ψ طراحی، یک لایی Sierpinski است و ابعاد بازدید کنندگان است که راه حل منحصر به فرد از

$\ چپ (\ frac {1}} 2} \ راست) ^ s + \ left (\ frac {1} {2} \ Right) ^ s + \ left (\ frac {1} {2} \ Right) ^ s = 3 \ سمت چپ (\ frac {1} {2} \ سمت راست) ^ s = 1.$

با استفاده از لگاریتم های طبیعی هر دو طرف معادله فوق می توانیم برای s حل کنیم ، یعنی: s = ln (3) / ln (2). واشر سیرپینسکی شبیه به خود بوده و OSC را راضی می کند. به طور کلی یک مجموعه E که یک نقطه ثابت نقشه برداری است

$A \ mapsto \ psi (A) = \ bigcup_ {i = 1} ^ m \ psi_i (A)$

اگر در تقاطعها فقط و فقط شبیه باشد

$H ^ s \ left (\ psi_i (E) \ cap \ psi_j (E) \ Right) = 0،$

که در آن بازدید کنندگان بعد هاسدورف است E و H بازدید کنندگان نشان دهنده اندازه گیری هاسدورف . این در مورد واشر سیرپینسکی واضح است (تقاطعها فقط نقاط هستند) ، اما به طور عادی نیز صادق است:

قضیه . تحت شرایط مشابه قضیه قبلی ، نقطه ثابت منحصر به فرد ψ شبیه به خود است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_dimension

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

بعد هاسدورف

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین