ادامه سهمی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دهم اردیبهشت ۱۳۹۹ | 19:58

نسل اشتاینر [ ویرایش ]

Parabola [ ویرایش ]

نسل Steiner از یک مثلث

اشتاینر روش زیر را برای ساخت مخروط غیر تخریب شده (به مخروط استاینر مراجعه کنید ):

با توجه به دو مداد ${\ نمایشگر B (U) ، B (V)$ خطوط در دو نقطه $U ، V$ (همه خطوط حاوی $تو$ و $V$ به ترتیب) و یک نقشه برداری پروژکتور اما نه چشم انداز $\ pi$ از $ب (U)$ به سوی $ب (V)$ ، نقطه های تقاطع خطوط مربوطه یک بخش مخروطی پیش بینی نشده منحط شده را تشکیل می دهند.

این روش می تواند برای ساخت ساده نقاط بر روی پارابولا مورد استفاده قرار گیرد $\ displaystyle y = ax ^ {2}}$ :

مداد در راس را در نظر بگیرید ${\ نمایشگر S (0،0)$ و مجموعه خطوط ${\ displaystyle \ Pi _ {y}}$ که به موازات محور y است.

اجازه دهید $\ displaystyle P = (x_ {0} ، y_ {0})}$ یک نکته در پارابولا باشد ، و ${\ displaystyle A = (0 ، y_ {0})}$ ، $\ displaystyle B = (x_ {0} ، 0)$ .
بخش خط ${\ displaystyle {\ Overline {BP}}}$ تقسیم می شود به N بخش به همان اندازه فاصله، و این تقسیم بندی پیش بینی شده است (در جهت $کارشناسی$ ) بر روی قسمت خط ${\ displaystyle {\ Overline {AP}}$ (شکل را ببین). این طرح ریزی منجر به نقشه برداری پروژکتور می شود $\ pi$ از مداد $س$ روی مداد ${\ displaystyle \ Pi _ {y}}$ .
تقاطع خط $display \ نمایشگر SB_ {من}}$ و موازی i -th به محور y ، نقطه ای از پارابولا است.

اثبات: محاسبه سرراست.

نکته: نسل اشتاینر برای بیضی ها و هایپروبول ها نیز موجود است .

پارابولا دوگانه [ ویرایش ]

پارابولا دوگانه و منحنی بزیر درجه 2 (راست: نقطه منحنی و نقاط تقسیم) ${\ displaystyle Q_ {0} ، Q_ {1}$ برای پارامتر $\ displaystyle t = 0.4$ )

یک حفره دوتایی از مجموعه ای از مماس های یک مثلث معمولی تشکیل شده است.

مخروط اشتاینر مخروط با تغییر معانی نقاط و خطوط می تواند برای تولید یک مخروط دوگانه اعمال شود:

بگذارید دو مجموعه نقطه در دو خط داده شود $تو ، v$ ، و یک نقشه برداری پروژکتور اما نه چشم انداز $\ pi$ بین این مجموعه های نقطه ، سپس خطوط اتصال نقاط مربوطه یک مخروط دوگانه غیر انحطاط را تشکیل می دهند.

به منظور تولید عناصر یک پارابولا دوگانه ، یکی از آنها شروع می شود

سه امتیاز ${\ displaystyle P_ {0 ، P_ {1} ، P_ {2}$ نه روی یک خط ،
بخش های خط را تقسیم می کند ${\ displaystyle {\ overline {P_ {0} P_ {1}}}}$ و ${\ displaystyle {\ Overline {P_ {1} P_ {2}}}}$ هر کدام به $ن$ بخش های خط به همان اندازه فاصله می گیرند و اعداد را همانطور که در تصویر نشان داده شده اضافه می کند.
سپس خطوط ${\ displaystyle P_ {0} P_ {1} ، P_ {1} P_ {2} ، (1،1) ، (2،2) ، \ dotsc$ مماسهای یک پارابولا هستند ، از این رو عناصر یک parabola دوگانه هستند.
پارابولا منحنی Bezier از درجه 2 با نقاط کنترل است ${\ displaystyle P_ {0 ، P_ {1} ، P_ {2}$ .

اثبات یک نتیجه از است د Casteljau الگوریتم برای یک منحنی بزیر از درجه 2.

زاویه های درج شده و فرم 3 نقطه ای [ ویرایش ]

زاویه های کتیبه ای از یک پارابولا

پارابولا با معادله $\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c، \ a \ neq 0$ با سه امتیاز منحصر به فرد تعیین می شود $display \ displaystyle (x_ {1} ، y_ {1}) ، (x_ {2} ، y_ {2}) ، (x_ {3 ، y_ {3})}$ با مختصات x مختلف . روش معمول برای تعیین ضرایب $الف ، ج ، ج$ قرار دادن مختصات نقطه در معادله است. نتیجه ، یک سیستم خطی از سه معادله است که می توان با حذف گاوسی یا قانون کرامر ، آن را حل کرد . یک روش جایگزین از قضیه زاویه درج شده برای parabolas استفاده می کند.

در ادامه ، زاویه دو خط با تفاوت شیب های خط با توجه به دایرکتوری پارابولا اندازه گیری می شود. یعنی برای یک مثلث معادله $\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c،$ زاویه بین دو خط معادله ${\ displaystyle y = m_ {1} x + d_ {1}، \ y = m_ {2} x + d_ {2}}$ توسط اندازه گیری می شود ${\ displaystyle m_ {1} -m_ {2}.}$

شبیه به قضیه زاویه ضبط شده برای حلقه ها ، یک قضیه زاویه درج برای پارابلا دارد : [11] [12]

چهار امتیاز، ${\ displaystyle P_ {i} = (x_ {i}، y_ {i})، \ i = 1، \ ldots، 4،$ با مختصات x مختلف (تصویر را مشاهده کنید) در معادل قرار گرفته است $\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c$ اگر و فقط اگر زوایای در $P_ {3$ و $P_ {4$ همان اندازه را داشته باشید که در بالا تعریف شده است. به این معنا که،

$\ displaystyle \ frac {y_ {4} -y_ {1}} {x_ {4} -x_ {1}}} - {\ frac {y_ {4} -y_ {2}} x_ {4} - x_ {2}}} = {\ frac {y_ {3} -y_ {1}} {x_ {3} -x_ {1}}} - {\ frac {y_ {3} -y_ {2}} {x_ {3} -x_ {2}}}.$

(اثبات: محاسبه مستقیم: اگر امتیازها بر روی پارابولا قرار دارند ، ممکن است مختصات را برای داشتن معادله ترجمه کنید $\ displaystyle y = ax ^ {2}}$ ، پس از آن یکی است $\ displaystyle {\ frac {y_ {i} -y_ {j}} {x_ {i} -x_ {j}}} = x_ {i} + x_ {j}}$ اگر امتیازها روی پارابولا باشد.)

نتیجه این است که معادله ( $\ displaystyle {\ رنگ {سبز} x} ، {\ رنگ {قرمز} y}$ ) پارابولا که با 3 امتیاز تعیین می شود $\ displaystyle P_ {i} = (x_ {i} ، y_ {i}) ، \ i = 1،2،3 ،}$ با مختصات x متفاوت است (اگر دو مختصات x برابر باشند ، هيچ پارابولا با مستقيم موازي با محور x كه از نقاط عبور مي كند) وجود ندارد.

$\ displaystyle {\ frac {{\ رنگ {قرمز} y} -y_ {1}} {{\ رنگ {سبز} x} -x_ {1}}} - {\ frac {{\ رنگ {قرمز} y -y_ {2}} {color \ رنگ {سبز} x} -x_ {2}}} = {\ frac {y_ {3} -y_ {1}} {x_ {3} -x_ {1}}} - {\ frac {y_ {3} -y_ {2}} {x_ {3} -x_ {2}}}.}$

ضرب توسط مخرج وابسته ${\ displaystyle {\ رنگ {سبز} x} ،}$ یکی فرم استاندارد تری به دست می آورد

$display \ displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) {\ رنگ {قرمز} y} = ({\ رنگ {سبز} x} -x_ {1}) ({\ رنگ {سبز} x} -x_ 2}) \ سمت چپ ({\ frac {y_ {3} -y_ {1}} {x_ {3} -x_ {1}}} - {\ frac {y_ {3} -y_ {2}} _ x_ 3} -x_ {2}} right \ Right) + (y_ {1} -y_ {2}) {\ color {green} x} + x_ {1} y_ {2 -x_ {2} y_ {1 }$

رابطه قطبی و قطبی [ ویرایش ]

Parabola: رابطه قطبی - قطبی

در یک سیستم مختصات مناسب ، هر نوع برابری با یک معادله قابل توصیف است $\ displaystyle y = ax ^ {2}}$ . معادله مماس در یک نقطه ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0} ، y_ {0}) ، \ y_ {0} = ax_ {0} ^ {2}}$ است

${\ displaystyle y = 2ax_ {0} (x-x_ {0}) + y_ {0} = 2ax_ {0} x-ax_ {0} ^ {2} = 2ax_ {0} x-y_ {0}.}$

یکی عملکرد را بدست می آورد

$display \ displaystyle (x_ {0} ، y_ {0}) \ to y = 2ax_ {0} x-y_ {0}}$

روی مجموعه ای از نقاط parabola بر روی مجموعه ای از مماس.

بدیهی است ، این عملکرد را می توان بر روی مجموعه ای از نقاط اضافه کرد $\ R ^ 2$ به یک زیبایی بین نقاط $\ R ^ 2$ و خط با معادلات $\ displaystyle y = mx + d، \ m، d \ in \ mathbb {R}$ . نقشه برعکس است

خط $\ displaystyle y = mx + d$ نکته ${\ displaystyle ({\ tfrac {m} {2a}}، - d)$ .

این رابطه به رابطه قطبی - قطبی از parabola گفته می شود ، جایی که نقطه قطب است و خط مربوط به قطب آن .

با محاسبه ، یکی از خصوصیات زیر رابط relation قطبی-قطبی پارابولا را بررسی می کند:

برای یک نقطه (قطب) روی پارابولا ، قطبی در این مرحله مماس است (تصویر را مشاهده کنید: ${\ نمایشگر P_ {1} ، \ p_ {1}$ )
برای یک قطب $پ$ در خارج از پارابولا نقاط تقاطع قطبی آن با پارابولا نقاط لمس کننده دو مماس در حال عبور است $پ$ (تصویر را ببینید: ${\ نمایشگر P_ {2} ، \ p_ {2}$ )
برای یک نقطه در داخل parabola ، قطبی هیچ نقطه ای با parabola مشترک ندارد (تصویر را ببینید: ${\ نمایشگر P_ {3} ، \ p_ {3}$ و ${\ نمایشگر P_ {4} ، \ p_ {4}$ )
نقطه تقاطع دو خط قطبی (به عنوان مثال ، ${\ displaystyle p_ {3} ، p_ {4}$ ) قطب خط اتصال قطبهای آنها (به عنوان مثال: ${\ displaystyle P_ {3} ، P_ {4}$ )
تمرکز و Directrix پارابولا یک جفت قطبی - قطبی هستند.

نکته: روابط قطبی و قطبی نیز برای بیضی ها و پرفشار وجود دارد.

خواص مماس [ ویرایش ]

دو خاصیت مماس مربوط به لاتوس رکتوم [ ویرایش ]

بگذارید خط تقارن از پاراگولا در نقطه Q عبور کند و فوکوس را به عنوان نقطه F و فاصله آن از نقطه Q به عنوان f نشان دهید . بگذارید عمود بر خط تقارن ، از طریق فوکوس ، پارابولا را در یک نقطه T تقاطع کنیم. (1) فاصله از F تا T برابر 2 f است ، و (2) یک مماس با پارابولا در نقطه T از خط عبور می کند. تقارن در زاویه 45 درجه. [13] : ص.26

مماس عمود بر روی مستقیما تقاطع می کند

خاصیت ارتوپتیک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ارتوپدی (هندسه)

اگر دو مماس بر یک مثلث عمود بر یکدیگر باشند ، آنگاه آنها بر روی مستقیما تقاطع می کنند. برعکس ، دو مماس که بر روی مستقیما قرار دارند ، عمود هستند.

قضیه لامبرت [ ویرایش ]

بگذارید سه مماس به یک مثلث مثلث تشکیل دهند. سپس لمبرت قضیه بیان می کند که تمرکز از دروغ سهمی در محیطی مثلث. [14] [8] : نتیجه 20

مکمل تسوکرمن با قضیه لامبرت اظهار داشت که ، با توجه به سه خط که مثلث را به هم متصل می کنند ، اگر دو خط از یک پارابولا مماس باشند که تمرکز آن بر دور محور مثلث باشد ، آنگاه خط سوم نیز برای پارابولا مماس است. [15]

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی