عملکرد محدب چندین متغیر

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه سی و یکم فروردین ۱۳۹۹ | 3:15

توابع چندین متغیر [ ویرایش ]

یک تابع دو بار به طور مداوم مشتقپذیر از چند متغیر محدب در یک مجموعه محدب است اگر و تنها اگر آن ماتریس هشین دوم مشتقات جزئی است semidefinite مثبت در داخل کشور، از مجموعه محدب.
هر حداقل محلی از عملکرد یک محدب نیز حداقل جهانی است . یک عملکرد کاملا محدب حداکثر یک حداقل جهانی خواهد داشت. [4]
برای یک تابع محدب، $f ،$ مجموعه زیرسطح { X | f ( x ) < a } و { x | f ( x ) ≤ a } a ∈ R مجموعه های محدب هستند. با این حال ، تابعی که مجموعه های زیرسطحی آن مجموعه های محدب هستند ممکن است یک عملکرد محدب باشند. تابعی که مجموعه های زیرسطح آن محدب است تابع quasiconvex نامیده می شود .
نابرابری جنسن برای هر عملکرد محدب صدق می کند $f$ . اگر X یک متغیر تصادفی در نظر گرفته شده در دامنه است $f$ ، سپس ${\ displaystyle \ operatorname {E} (f (X)) \ geq f (\ operatorname {E} (X))$ ، جایی که E بیانگر انتظار ریاضی است .
یک عملکرد همگن مرتبه اول از دو متغیر مثبت و ( f ( ax، ay ) = af ( x، y برای هر a، x، y > 0) که محدب در یک متغیر است باید در دیگری متغیر محدب باشد. متغیر. [5]

عملیاتی که همرفت را حفظ می کنند [ ویرایش ]

$-ف$ مقعر است اگر و فقط اگر $f$ محدب است
مبالغ وزنه بردار غیر منفی:
- ${\ displaystyle w_ {1} ، \ ldots ، w_ {n} \ geq 0$ و ${\ displaystyle f_ {1} ، \ ldots ، f_ {n}$ همه محدب هستند ، $\ displaystyle w_ {1} f_ {1} + \ cdots + w_ {n} f_ {n}$ . به طور خاص ، مجموع دو عملکرد محدب محدب است.
- این ویژگی تا مبالغ نامحدود ، انتگرال ها و مقادیر مورد انتظار نیز گسترش می یابد (به شرط وجود آنها).
حداکثر عنصر: اجازه دهید مجموعه ای از توابع محدب باشد. سپسمحدب است دامنهمجموعه نقاطی است که در آن متن محدود است. موارد ویژه مهم:
- اگر ${\ displaystyle f_ {1} ، \ ldots ، f_ {n}$ بنابراین توابع محدب هستند $\ displaystyle g (x) = \ max \ {f_ {1} (x) ، \ ldots ، f_ {n} (x) \}$
- اگر $f (x ، y)$ سپس در x محدب است $\ displaystyle g (x) = \ sup \ nolimits _ {y \ in C} f (x، y)$ در X محدب است حتی اگر C مجموعه محدب نباشد.
ترکیب بندی:
- اگر f و g توابع محدب و g در یک دامنه غیر متغیره کاهش یابد ، پس از آن $ساعت (x) = گرم (f (x))$ محدب است به عنوان نمونه ، اگر $f$ محدب است ، پس همینطور است $e ^ {f (x)$ . زیرا $e ^ {x}$ محدب و یکنواخت در حال افزایش است.
- اگر f مقعر باشد و g محدب باشد و بیش از یک دامنه یک متغیره افزایش نیابد ، پس از آن $ساعت (x) = گرم (f (x))$ محدب است
- محدب زیر نقشه های وابسته تغییرناپذیر است: یعنی اگر f محدب با دامنه باشد $D_ {f} \ subseteq \ mathbf {R} ^ {m}$ پس همینطور است $g (x) = f (تبر + b)$ ، جایی که $\ displaystyle A \ in \ mathbf {R} ^ {m \ times n} {\ text،}} b \ in \ mathbf {R} ^ {m}}$ با دامنه $D_ {g} \ subseteq \ mathbf {R} ^ {n$ .
به حداقل رساندن: اگر $f (x ، y)$ محدب است $(x ، y)$ سپس $\ displaystyle g (x) = \ inf \ nolimits _ {y \ در C} f (x ، y)$ در x محدب است به شرط آنكه C مجموعه محدب و آن باشد $\ نمایشگر g (x) \ neq - \ infty$
اگر $f$ محدب است ، سپس چشم انداز آن ${\ displaystyle g (x، t) = tf \ left ({\ tfrac {x} {t}} \ Right)$ با دامنه $\ displaystyle \ left \ lbrace (x، t) \ mid {\ tfrac {x} {t}} \ in \ operatorname {Dom} (f)، t> 0 \ Right \ rbrace$ محدب است

توابع محکم محکم [ ویرایش ]

مفهوم همرفتی قوی مفهوم تقارب شدید را گسترش داده و پارامتر می کند. یک عملکرد به شدت محدب نیز کاملاً محدب است ، اما برعکس.

یک عملکرد متفاوت $f$ اگر نابرابری زیر برای همه نقاط x ، y در دامنه خود داشته باشد به شدت محدب است با پارامتر m > 0 : [6]

$\ displaystyle (\ nabla f (x) - \ nabla f (y)) ^ {T} (xy) \ geq m \ | xy \ | _ {2} ^ {2}}$

یا به طور کلی ،

$\ displaystyle \ langle \ nabla f (x) - \ nabla f (y)، xy \ rangle \ geq m \ | xy \ | ^ {2}$

جایی که $\ | \ cdot \ |$ هر هنجاری است برخی از نویسندگان ، مانند [7] به توابع برآورده کننده این نابرابری به عنوان توابع بیضوی اشاره می کنند.

شرط معادل آن به شرح زیر است: [8]

$f (y) \ geq f (x) + \ nabla f (x) ^ {T} (yx) + {\ frac {m} {2}} \ | yx \ | _ {2} ^ {2}$

لازم نیست یک تابع برای اینکه محکم محدب باشد ، متفاوت باشد. تعریف سوم [8] برای یک تابع به شدت محدب ، با پارامتر m ، این است که ، برای همه x ، y در دامنه $\ displaystyle t \ in [0،1] ،}$

$f (tx + (1-t) y) \ leq tf (x) + (1-t) f (y) - {\ frac {1} {2}} mt (1-t) \ | xy \ | _ { 2} ^ {2$

توجه کنید که این تعریف به تعریف محدب سخت به عنوان m → 0 نزدیک می شود و با تعریف یک عملکرد محدب وقتی m = 0. یکسان است با وجود این ، توابع وجود دارد که کاملاً محدب هستند اما برای هر m > 0 محدب نیستند مثال زیر را ببینید)

اگر عملکرد $f$ دو بار به طور مداوم متفاوت است ، پس از آن کاملاً محکم با پارامتر m اگر و فقط اگر باشد $\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (x) \ succeq mI$ برای همه x در دامنه ، که در آن من هویت هستم و $\ nabla ^ {2} f$ است ماتریس هشین ، و نابرابری $\ succeq$ یعنی که $\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (x) -mI$ است مثبت نیمه معین . این معادل است با کمترین مقدار ضروری بودن مقادیر $\ nabla ^ {2} f (x)$ حداقل متر برای همه ایکس . اگر دامنه فقط خط واقعی است ، پس از آن $\ nabla ^ {2} f (x)$ فقط مشتق دوم است ${\ displaystyle f '' (x) ،}$ بنابراین شرایط می شود $f '' (x) \ geq m$ . اگر m = 0 باشد ، این بدان معنی است که Hessian semidefinite مثبت است (یا اگر دامنه خط واقعی است ، به این معنی است که0 $f '' (x) \ geq 0$ ) ، که نشان می دهد عملکرد محدب است ، و شاید به شدت محدب باشد ، اما به شدت محدب نیست.

با فرض این که عملکرد دو بار به طور مداوم متفاوت است ، می توان نشان داد که مرز پایین $\ nabla ^ {2} f (x)$ دلالت دارد که بسیار محدب است. با استفاده از قضیه تیلور وجود دارد

$z \ in \ {tx + (1-t) y: t \ in [0،1] \}$

به طوری که

$\ displaystyle f (y) = f (x) + \ nabla f (x) ^ {T} (yx) + {\ frac {1} {2}} (yx) ^ {T} \ nabla ^ {2 f (z) (yx)$

سپس

$(yx) ^ {T} \ nabla ^ {2} f (z) (yx) \ geq m (yx) ^ {T} (yx)$

با این فرض در مورد مقادیر ویژه ، و از این رو ما دومین معادله محدب قوی را در بالا بازیابی می کنیم.

یک عملکرد $f$ اگر عملکرد فقط با پارامتر m محدب باشد ، فقط و فقط اگر تابع باشد

$\ displaystyle x \ mapsto f (x) - {\ frac {m} {2}} \ | x \ | ^ {2}}$

محدب است

تمایز بین محدب ، کاملاً محدب و به شدت محدب می تواند در نگاه اول ظریف باشد. اگر $f$ دو بار به طور مداوم متفاوت است و دامنه خط واقعی است ، پس می توانیم آن را به شرح زیر توصیف کنیم:

$f$ محدب اگر و فقط اگر $f '' (x) \ geq 0$ برای همه x

$f$ اگر کاملاً محدب باشد $f '' (x)> 0$ برای همه x (توجه: این کافی است ، اما لازم نیست).

$f$ به شدت محدب اگر و فقط اگر $\ displaystyle f '' (x) \ geq m> 0$ برای همه ایکس .

به عنوان مثال ، اجازه دهید $f$ کاملاً محدب باشد و فرض کنید توالی نقاط وجود دارد $(x_ {n})$ به طوری که $\ displaystyle f '' (x_ {n) = {\ tfrac {1} {n}}}$ . بااینکه $\ displaystyle f '' (x_ {n})> 0$ ، عملکرد بسیار محدب نیست زیرا $f '' (x)$ خودسرانه کوچک خواهد شد.

دو بار عملکرد متمایز متفاوت $f$ در یک دامنه جمع و جور {\ نمایشگر X} $ایکس$ که ارضا می شود \ displaystyle f '' (x)> 0} $\ displaystyle f '' (x)> 0}$ برای همه {\ نمایشگر x \ در X $x \ in X$ به شدت محدب است. اثبات این جمله از قضیه ارزش شدید ناشی می شود ، که بیان می کند یک عملکرد مداوم روی یک مجموعه جمع و جور دارای حداکثر و حداقل است.

عملکردهای محدب به طور کلی کار ساده تر از توابع محدب یا کاملاً محدب هستند ، زیرا آنها یک کلاس کوچکتر هستند. مانند عملکردهای محدب کاملاً محدب ، عملکردهای به شدت محدب دارای حداقل عملکردهای منحصر به فرد در مجموعه های جمع و جور هستند.

توابع محدب به طور یکنواخت [ ویرایش ]

یک عملکرد یکنواخت محدب ، [9] [10] با مدول $\ فی$ ، تابعی است $f$ که ، برای همه x ، y در دامنه و t ∈ [0 ، 1] ، راضی می کند

$f (tx + (1-t) y) \ leq tf (x) + (1-t) f (y) -t (1-t) \ phi (\ | xy \ |)$

جایی که $\ فی$ تابعی غیر منفی است و تنها در 0 از بین می رود. این تعمیم مفهوم عملکرد به شدت محدب است. با گرفتن $\ displaystyle \ phi (\ alpha) = {\ tfrac {m} {2}} \ alpha ^ {2}}$ ما تعریف تحدب قوی را بازیابی می کنیم.

مثالها [ ویرایش ]

توابع یک متغیر [ ویرایش ]

کارکرد $f (x) = x ^ {2$ دارای $f '' (x) = 2> 0$ بنابراین ، f یک عملکرد محدب است. همچنین به شدت محدب است (و از این رو به شدت محدب هم) ، با ثابت ثابت محدب 2.
کارکرد $f (x) = x ^ {4$ دارای $\ displaystyle f '' (x) = 12x ^ {2} \ geq 0$ بنابراین ، f یک عملکرد محدب است. این کاملاً محدب است ، حتی اگر مشتق دوم در همه نقاط کاملاً مثبت نباشد. به شدت محدب نیست.
ارزش مطلق تابع $f (x) = | x |$ محدب است (همانطور که در نابرابری مثلث منعکس شده است ) ، حتی اگر در نقطه x = 0. مشتق نداشته باشد. کاملاً محدب نیست.
کارکرد $f (x) = | x | ^ {پ$ برای $\ displaystyle p \ geq 1$ محدب است
تابع نمایی $f (x) = e ^ {x}$ محدب است از آنجا که این نیز کاملاً محدب است $f '' (x) = e ^ {x}> 0$ اما از آنجا که مشتق دوم می تواند به طور دلخواه نزدیک به صفر باشد ، محدب نیست. به طور کلی ، عملکرد $g (x) = e ^ {f (x)$ اگر f یک تابع محدب باشد ، به صورت لگاریتمی محدب است. اصطلاح superconvex گاه به جای آن استفاده می شود. [11]
کارکرد $f$ با دامنه [0،1] تعریف شده توسط $\ displaystyle f (0) = f (1) = 1 ، f (x) = 0}$ برای $\ displaystyle 0 <x <1$ محدب است؛ در فاصله باز (0 ، 1) مداوم است ، اما در 0 و 1 مداوم نیست.
تابع x 3 مشتق دوم 6 x است . بنابراین بر روی مجموعه ای قرار دارد که x ≥ 0 و مقعر آن بر روی ست که x ≤ 0 است.
نمونه هایی از توابع که به طور یکنواخت افزایش می یابند اما محدب هم نیستند $f (x) = {\ sqrt {x}}$ و $\ نمایشگر g (x) = \ log x$ .
نمونه هایی از توابع است که می محدب اما نه یکنواخت افزایش شامل $\ displaystyle h (x) = x ^ {2}$ و $k (x) = - x$ .
کارکرد $\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1 {{x}}}$ دارای $\ displaystyle f '' (x) = {\ tfrac {2} {x ^ {3}}}}$ که در صورت x > 0 بیشتر از 0 است $f (x)$ در فاصله زمانی محدب است $(0 ، \ infty)$ . در فاصله مقعر مقعر است ${\ displaystyle (- \ infty ، 0)$ .
کارکرد $\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1 {{x ^ {2}}}}$ با $\ displaystyle f (0) = \ infty$ ، در فاصله زمانی محدب است $(0 ، \ infty)$ و فاصله بین محدب ${\ displaystyle (- \ infty ، 0)$ اما در فاصله زمانی محدب نیست $(- \ infty ، \ infty)$ ، به دلیل تکینگی در x = 0.

توابع n متغیرها [ ویرایش ]

کارکرد ${\ displaystyle - \ log \ det (X)$ در حوزه ماتریس های مثبت مثبت محدب است. [2] : 74
هر تحول خطی با ارزش واقعی محدب است اما کاملاً محدب نیست ، زیرا اگر f خطی باشد ، پس از آن $\ displaystyle f (a + b) = f (a) + f (b)$ . این عبارت همچنین در صورت جایگزینی "محدب" با "مقعر" است.
هر عملکرد عاطفی واقعی ، یعنی هر عملکرد فرم $f (x) = a ^ {T} x + b$ ، به طور هم زمان محدب و مقعر است.
هر هنجار یک تابع محدب است ، با نابرابری مثلث و یکدست مثبت .
شعاع طیفی از یک ماتریس نامنفی یک تابع محدب عناصر مورب است. [12]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی