ادامه جبر هندسی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و هفتم فروردین ۱۳۹۹ | 18:36

بازنمایی زیر فضاها [ ویرایش ]

جبر هندسی نمایانگر فضاهای زیر است $V$ به عنوان تیغه ها ، و بنابراین آنها در همان جبر با بردارهای از همزیستی قرار می گیرند $V$ . $ک$ فضای فرعی بعدی $W$ از $V$ با گرفتن یک پایه متعامد نمایش داده می شود ${\ displaystyle \ {b_ {1} ، b_ {2} ، \ ldots ، b_ {k} \}$ و با استفاده از محصول هندسی برای تشکیل تیغه $\ displaystyle D = b_ {1} b_ {2} \ cdots b_ {k}}$ . چندین تیغه نمایان است $W$ ؛ همه کسانی که نماینده هستند $W$ چند برابر مقیاس هستند $د$ . این تیغه ها را می توان به دو مجموعه تقسیم کرد: چند قطعه مثبت از $د$ و چند برابر منفی $د$ . ضرب های مثبت از $د$ گفته می شود که همان جهت گیری را دارند $د$ ، و منفی جهت گیری متضاد را چند برابر می کند .

تیغه ها از آنجایی اهمیت دارند که عملیات هندسی مانند پیش بینی ها ، چرخش ها و بازتاب ها به قابلیت تولید از طریق محصول خارجی وابسته است ((کلاس محدود)) $ن$ تیغه ها را ارائه می دهند اما درجه (کلاس عمومی)n $ن$ مولتی وکتورها کی نیستند $\ displaystyle n \ geq 4$ .

واحد شبه واحد [ ویرایش ]

pseudoscalars واحد تیغه هایی هستند که نقش مهمی در GA بازی می کنند. pseudoscalar واحد برای یک فضا غیر منحط $W$ از $V$ تیغه ای است که محصول اعضای پایه ارتونومیکی برای آن است $W$ . می توان نشان داد که اگ $من$ و ' $من'$ هر دو شبه واحد هستند $W$ ، سپس ${\ displaystyle I = \ pm I '}$ و بعد از ظهر 1 $\ displaystyle I ^ {2} = \ بعد از ظهر 1$ .

فرض کنید جبر هندسی ${\ mathcal {G}} (تعداد ، 0)$ با محصول مثبت داخلی قطعی آشنا در $\ mathbf {R} ^ {n$ شکل گرفته است با توجه به هواپیما ( $2$ -فضایی بعدی) از $\ mathbf {R} ^ {n$ ، می توان یک مبنای متعامد را پیدا کرد ${\ displaystyle \ {b_ {1} ، b_ {2} \}$ در حال پرواز هواپیما ، و در نتیجه یک واحد شبه واحد را پیدا کنید $\ displaystyle I = b_ {1} b_ {2}}$ نماینده این هواپیما محصول هندسی هر دو بردار در دهانه $b_ {1$ و $b_ {2$ دراز است $\ displaystyle \ {\ alpha _ {0} + \ alfa _ {1} I \ mid \ alpha _ {i} \ in \ mathbf {R} \}}$ ، این است که ، آن یک جمع از است ${\ نمایشگر 0}$ وکتور و الف $2$ مدیر

با توجه به خواص محصول هندسی ، $\ displaystyle I ^ {2} = b_ {1} b_ {2} b_ {1} b_ {2} = - b_ {1} b_ {2} b_ {2} b_ {1} = - 1}$ . شباهت به واحد خیالی اتفاقی نیست: فضای فرعی $\ displaystyle \ {\ alpha _ {0} + \ alfa _ {1} I \ mid \ alpha _ {i} \ in \ mathbf {R} \}}$ است $\ mathbf {R$ جبر ریخت به اعداد مختلط . به این ترتیب ، یک نسخه از اعداد پیچیده در جبر هندسی برای هر زیر فضای 2 بعدی از $V$ که شکل چهارم قطعی است.

گاهی اوقات می توان حضور یک واحد خیالی را در یک معادله فیزیکی تشخیص داد. چنین واحدهایی از یکی از مقادیر زیادی در جبر واقعی که مربع است به وجود می آید $-1$ و اینها به دلیل خاصیت جبر و برهم کنش فضاهای مختلف آن از اهمیت هندسی برخوردارند.

که در ${\ mathcal {G}} (3،0)$ ، یک مورد آشنا بیشتر رخ می دهد. با توجه به مبانی متعارف متشکل از بردارهای متعامد $e_ {i$ از $V$ ، مجموعه همه $2$ بردارها توسط

${\ displaystyle \ {e_ {3} e_ {2}، e_ {1} e_ {3، e_ {2} e_ {1} \}.$

برچسب زدن به اینها $من$ ، $ج$ و $ک$ (لحظه ای انحراف از کنوانسیون بزرگ ما) ، فضای فرعی ایجاد شده توسط ${\ نمایشگر 0}$ -وکتورها و $2$ دقیقاً بردارها $\ displaystyle \ {\ alpha _ {0} + i \ alpha _ {1} + j \ alpha _ {2} + k \ alpha _ {3} \ mid \ alpha _ {i} \ in \ mathbf {R \}}$ . به نظر می رسد این مجموعه فرعی از زیر مجموعه است ${\ mathcal {G}} (3،0)$ ، و علاوه بر این isomorphic به عنوان یک است $\ mathbf {R$ - جبر به کواترنون ها ، یکی دیگر از سیستم های مهم جبر.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_algebra

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی