مثال ۳۰مرحلهای: تغییر لختی دورانی استوانه توپر
مرحله ۱: تعریف مسئله
استوانهای با شعاع R، ارتفاع h و چگالی ρ داریم. هر سه کمی تغییر میکنند.
مرحله ۲: فرمول جرم استوانه
M(R,h,ρ) = ρπR²h
مرحله ۳: فرمول لختی دورانی
I = (1/2)MR² = (1/2)πρhR⁴
مرحله ۴: مقدار جدید
Inew = (1/2)π(ρ+dρ)(h+dh)(R+dR)⁴
مرحله ۵: تغییر دقیق
ΔI = Inew − Iold
مرحله ۶: بسط توان چهارم
(R+dR)⁴ = R⁴ + 4R³dR + 6R²(dR)² + ...
مرحله ۷: ضرب سهگانه
ترکیب (ρ+dρ)(h+dh)(R+dR)⁴.
مرحله ۸: تفریق از مقدار اولیه
بهدست آوردن ΔI دقیق.
مرحله ۹: تقریب مرتبه اول
ΔI ≈ 2πρhR³dR + (1/2)πR⁴(ρdh + hdρ)
مرحله ۱۰: گرادیانها
∂I/∂R ، ∂I/∂h ، ∂I/∂ρ محاسبه میشوند.
مرحله ۱۱: تغییر نسبی
ΔI/I ≈ 4(dR/R) + (dh/h) + (dρ/ρ)
مرحله ۱۲: جملههای مرتبه دوم
افزودن 3πρhR²(dR)² و ترمهای ضربی.
مرحله ۱۳: تفسیر هندسی
اثر R غالب است چون توان چهار دارد.
مرحله ۱۴: بررسی واحدها
واحد I: جرم × طول².
مرحله ۱۵: حالتهای خاص
فقط dR یا فقط dh یا فقط dρ.
مرحله ۱۶: کران خطا
خطا ~ O(ε²).
مرحله ۱۷: دادههای عددی
R=10 cm ، h=20 cm ، ρ=7.8 g/cm³ ، dR=0.15 cm ، dh=0.4 cm ، dρ=0.12 g/cm³
مرحله ۱۸: جرم اولیه
Mold = 156000π g ≈ 489090 g
مرحله ۱۹: لختی اولیه
Iold = 78,000,000π ≈ 244.35×10⁶ g·cm²
مرحله ۲۰: مقدار جدید دقیق
محاسبه با جایگذاری اعداد.
مرحله ۲۱: تغییر دقیق
ΔI ≈ 25.15×10⁶ g·cm²
مرحله ۲۲: تقریب مرتبه اول
ΔI ≈ 0.234×10⁶ g·cm²
مرحله ۲۳: افزودن مرتبه دوم
تصحیحات ~ 19,636 g·cm²
مرحله ۲۴: درصد خطا
خطا ~ چند درصد.
مرحله ۲۵: تحلیل حساسیت
R بیشترین اثر را دارد.
مرحله ۲۶: کاربردها
طراحی میللنگها، روتورها.
مرحله ۲۷: قوانین توان
I ∝ R⁴.
مرحله ۲۸: تلرانسها
کنترل دقیق R حیاتی است.
مرحله ۲۹: جمعبندی
تقریب مرتبه اول سریع و نزدیک است؛ مرتبه دوم دقت را کامل میکند.
مرحله ۳۰: نتیجهگیری
✅ تغییر لختی دورانی استوانه بهشدت به شعاع وابسته است؛ تغییرات کوچک R اثر بزرگی دارند.
مثال ۳۰مرحلهای: تغییر لختی دورانی استوانه توپر
مرحله ۱: تعریف مسئله
استوانهای با شعاع R، ارتفاع h و چگالی ρ داریم. هر سه کمی تغییر میکنند.
مرحله ۲: فرمول جرم استوانه
M(R,h,ρ) = ρπR²h
مرحله ۳: فرمول لختی دورانی
I = (1/2)MR² = (1/2)πρhR⁴
مرحله ۴: مقدار جدید
Inew = (1/2)π(ρ+dρ)(h+dh)(R+dR)⁴
مرحله ۵: تغییر دقیق
ΔI = Inew − Iold
مرحله ۶: بسط توان چهارم
(R+dR)⁴ = R⁴ + 4R³dR + 6R²(dR)² + ...
مرحله ۷: ضرب سهگانه
ترکیب (ρ+dρ)(h+dh)(R+dR)⁴.
مرحله ۸: تفریق از مقدار اولیه
بهدست آوردن ΔI دقیق.
مرحله ۹: تقریب مرتبه اول
ΔI ≈ 2πρhR³dR + (1/2)πR⁴(ρdh + hdρ)
مرحله ۱۰: گرادیانها
∂I/∂R ، ∂I/∂h ، ∂I/∂ρ محاسبه میشوند.
مرحله ۱۱: تغییر نسبی
ΔI/I ≈ 4(dR/R) + (dh/h) + (dρ/ρ)
مرحله ۱۲: جملههای مرتبه دوم
افزودن 3πρhR²(dR)² و ترمهای ضربی.
مرحله ۱۳: تفسیر هندسی
اثر R غالب است چون توان چهار دارد.
مرحله ۱۴: بررسی واحدها
واحد I: جرم × طول².
مرحله ۱۵: حالتهای خاص
فقط dR یا فقط dh یا فقط dρ.
مرحله ۱۶: کران خطا
خطا ~ O(ε²).
مرحله ۱۷: دادههای عددی
R=10 cm ، h=20 cm ، ρ=7.8 g/cm³ ، dR=0.15 cm ، dh=0.4 cm ، dρ=0.12 g/cm³
مرحله ۱۸: جرم اولیه
Mold = 156000π g ≈ 489090 g
مرحله ۱۹: لختی اولیه
Iold = 78,000,000π ≈ 244.35×10⁶ g·cm²
مرحله ۲۰: مقدار جدید دقیق
محاسبه با جایگذاری اعداد.
مرحله ۲۱: تغییر دقیق
ΔI ≈ 25.15×10⁶ g·cm²
مرحله ۲۲: تقریب مرتبه اول
ΔI ≈ 0.234×10⁶ g·cm²
مرحله ۲۳: افزودن مرتبه دوم
تصحیحات ~ 19,636 g·cm²
مرحله ۲۴: درصد خطا
خطا ~ چند درصد.
مرحله ۲۵: تحلیل حساسیت
R بیشترین اثر را دارد.
مرحله ۲۶: کاربردها
طراحی میللنگها، روتورها.
مرحله ۲۷: قوانین توان
I ∝ R⁴.
مرحله ۲۸: تلرانسها
کنترل دقیق R حیاتی است.
مرحله ۲۹: جمعبندی
تقریب مرتبه اول سریع و نزدیک است؛ مرتبه دوم دقت را کامل میکند.
مرحله ۳۰: نتیجهگیری
✅ تغییر لختی دورانی استوانه بهشدت به شعاع وابسته است؛ تغییرات کوچک R اثر بزرگی دارند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.