ریاضیات

🔹 تعریف Z/nZ به‌عنوان یک فضای توپولوژیک جیری

Z/nZ مجموعه‌ی کلاس‌های پیمانه‌ای اعداد صحیح نسبت به پیمانه‌ی n است:

Z/nZ = { [0], [1], ......, [n-1] }

که در آن ([k] = { m \in \mathbb{Z} \mid m \equiv k \pmod{n} }).

🔹 توپولوژی جیری (Trivial Topology)

اگر روی این مجموعه توپولوژی جیری در نظر بگیریم، تعریف توپولوژی به شکل زیر است:

tau = { {}, Z/nZ } ]

یعنی تنها مجموعه‌های باز، تهی و کل فضا هستند. هیچ زیرمجموعه‌ی دیگری باز نیست.

🔹 ویژگی‌ها

• فشرده (Compact): چون هر پوشش باز فقط شامل کل فضا می‌شود.
• همبند(Connected): چون نمی‌توان آن را به دو مجموعه‌ی باز جدا تقسیم کرد.
• غیرهاوسدورف (Non-Hausdorff): چون هیچ دو نقطه‌ی متمایزی را نمی‌توان با مجموعه‌های باز جدا کرد.
• ساده‌ترین توپولوژی ممکن: هیچ ساختار پیچیده‌ای ندارد و همه‌ی نقاط از نظر توپولوژیک "غیرقابل تفکیک" هستند.

✅ بنابراین:
Z/nZ با توپولوژی جیری یک فضای توپولوژیک بسیار ساده است که تنها دو مجموعه‌ی باز دارد: تهی و کل مجموعه.

آیا دوست داری من یک جدول مقایسه‌ای بین توپولوژی جیری و توپولوژی گسسته روی Z/nZ آماده کنم تا تفاوت‌ها روشن‌تر شوند؟