ریاضیات

آها، نکته‌ی خیلی خوبی را مطرح کردی 🌟

وقتی می‌گوییمZ /n Z یک فضای توپولوژیک جیری (trivial topology) دارد، منظور این است که روی این مجموعه‌ی متناهی (کلاس‌های پیمانه‌ای) توپولوژی‌ای در نظر گرفته‌ایم که فقط دو مجموعه باز دارد:

tau = {{}, Z /n Z }

🔹 توضیح

• فضای جیری (Trivial Topology) یا همان توپولوژی ناچیز، ساده‌ترین توپولوژی ممکن است.
• در این توپولوژی هیچ زیرمجموعه‌ی غیرتهی دیگری باز نیست، جز کل فضا.
• بنابراین هیچ نقطه‌ای همسایگی خاصی ندارد جز کل فضا.

🔹 ویژگی‌ها

• این توپولوژی همیشه فشرده است، چون هر پوشش باز فقط شامل کل فضا می‌شود.
• همیشه همبسته است، چون نمی‌توان آن را به دو مجموعه‌ی باز جدا تقسیم کرد.
• اما جدایی‌پذیر یا هاوسدورف نیست، چون نمی‌توان دو نقطه‌ی متمایز را با مجموعه‌های باز جدا کرد.

🔹 روی Z /n Z

• مجموعه Z /n Z دارای n عنصر است:
  ([0], [1], ......, [n-1]).
• اگر توپولوژی جیری روی آن در نظر بگیریم، تنها بازها تهی و کل مجموعه هستند.
• بنابراین هیچ کلاس پیمانه‌ای به‌تنهایی باز نیست.

✨ پس درست گفتی:Z /n Z می‌تواند با توپولوژی جیری دیده شود، و در این حالت یک فضای توپولوژیک بسیار ساده اما غیرهاوسدورف خواهد بود.

می‌خواهی من یک جدول مقایسه‌ای بین توپولوژی جیری و توپولوژی گسسته رویZ /n Z بسازم تا تفاوت‌ها روشن‌تر شوند؟