ریاضیات

پاسخ کوتاه:
اعداد صحیح مجموعه‌ای بی‌نهایت از اعداد مثبت، منفی و صفر هستند. توپولوژی روی این مجموعه معمولاً به صورت زیرمجموعه‌هایی از Z تعریف می‌شود و بسته به انتخاب توپولوژی، ویژگی‌های متفاوتی مانند گسسته بودن یا ساختارهای پیچیده‌تر به دست می‌آید.

🔢 تعریف اعداد صحیح

Z = {..... ,-3,-2,-1,0,1,2,3,..........}

• مجموعه اعداد صحیح با نماد Z نمایش داده می‌شود:
• این مجموعه شامل:

• اعداد مثبت: 1,2,3......
• اعداد منفی: -1,-2,-3,.......
• عدد صفر: که نه مثبت است و نه منفی.

🌐 توپولوژی روی اعداد صحیح

توپولوژی مجموعه‌ای از زیرمجموعه‌هاست که شرایط خاصی را برآورده می‌کنند (شامل مجموعه تهی و کل مجموعه، بسته بودن تحت اجتماع و اشتراک محدود). روی Z توپولوژی‌های مختلفی قابل تعریف است:

🌐 توپولوژی روی مجموعه اعداد صحیح Z

توپولوژی روی Z یعنی انتخاب مجموعه‌ای از زیرمجموعه‌های Z به‌عنوان "مجموعه‌های باز" که شرایط توپولوژی را برآورده کنند. چند توپولوژی مهم روی اعداد صحیح وجود دارد:

1. توپولوژی گسسته (Discrete Topology)

• در این توپولوژی، هر زیرمجموعه‌ای از Z باز است.
• این ساده‌ترین توپولوژی است و باعث می‌شود هر نقطه یک مجموعه باز تک‌نقطه‌ای داشته باشد.
• ویژگی‌ها:
  • همه توابع از Z به هر فضای توپولوژیک دیگر پیوسته‌اند.
  • Z در این توپولوژی هم فشرده نیست (چون بی‌نهایت و گسسته است).

2. توپولوژی همبسته با اعداد اول (Topologies from Number Theory)

• یک توپولوژی جالب روی Z توپولوژی p-آدیک است.
• در این توپولوژی، همسایگی‌های یک عدد صحیح a به صورت مجموعه‌هایی از اعداد صحیحی تعریف می‌شوند که با a در پیمانه‌های توان‌های p هم合同 باشند.
• مثال: برای عدد اول (p)، مجموعه
  [ a + p^n Z = { a + kp^n /n in Z } ] یک همسایگی از (a) است.
• این توپولوژی پایه‌ای برای تعریف اعداد p -آدیک است.

3. توپولوژی کوفینیت (Cofinite Topology)

• در این توپولوژی، مجموعه‌های باز یا کل Z هستند یا متمم آن‌ها متناهی است.
• ویژگی‌ها:
  • این توپولوژی روی Z فشرده است.
  • اما گسسته نیست، چون تک‌نقطه‌ها باز نیستند.

4. توپولوژی استاندارد به‌عنوان زیرمجموعه‌ای از R

• اگر Z را زیرمجموعه‌ای از خط حقیقی با توپولوژی معمولی در نظر بگیریم، توپولوژی القایی روی Z همان توپولوژی گسسته خواهد بود.
• چون هر عدد صحیح یک همسایگی باز در R دارد که فقط همان عدد را در Z شامل می‌شود.

✨ جمع‌بندی

• گسسته: همه زیرمجموعه‌ها باز هستند.
• p-آدیک: همسایگی‌ها بر اساس پیمانه توان‌های یک عدد اول ساخته می‌شوند.
• کوفینیت: مجموعه‌های باز متمم‌های متناهی دارند.
• القایی از R : همان توپولوژی گسسته است.

آیا دوست داری من یک جدول مقایسه‌ای از این توپولوژی‌ها روی Z بسازم تا ویژگی‌هایشان (مثل فشردگی، همبستگی، جدایی‌پذیری را کنار هم ببینیم؟