ریاضیات

با جملات زیر یک مسئله‌ی توپولوژی بساز:

وقتی خار گل می‌شود، درد به عطر بدل می‌گردد.

وقتی خار گل می‌شود، زخم به رنگ شکوفه می‌نشیند.

وقتی خار گل می‌شود، اندوه به امید جوانه می‌زند.

وقتی خار گل می‌شود، شب به صبح روشن بدل می‌شود.

وقتی خار گل می‌شود، تلخی به شیرینی عشق می‌رسد.

وقتی خار گل می‌شود، رنج به زیبایی جاودان می‌گردد.

وقتی خار گل می‌شود، دل به آرامش بهار می‌سپارد.

وقتی خار گل می‌شود، جهان به لبخند تازه می‌خندد.

خیلی عالی 🌐
بیا یک مسئله‌ی توپولوژی طراحی کنیم که هم مفهومی باشد و هم قابل حل برای دانشجویان ریاضی:

❓ صورت مسئله توپولوژیک

فرض کنید X یک فضای توپولوژیک است که از اجتماع دو دایره تشکیل شده است:

• دایره‌ی اول (S^1)
• دایره‌ی دوم (S^1)
  این دو دایره در یک نقطه مشترک‌اند
• گروه همبندی اول (pi_1(X))این فضا را پیدا کنید.

1. آیا این فضا همبند مسیر است؟
2. اگر روی این فضا یک توپولوژی کوتیینت (quotient topology) بسازیم که دو نقطه‌ی غیرمشترک از دایره‌ها را شناسایی کند، گروه همبندی اول چه تغییری می‌کند؟

✨ راهنمایی برای حل

• برای بخش (۱): گروه همبندی اول فضای «۸» همان گروه آزاد روی دو مولد است:
  [ \pi_1(X) \cong \mathbb{F}_2 ]
• برای بخش (۲): چون دو دایره در یک نقطه به هم وصل‌اند، فضا همبند مسیر است.
• برای بخش (۳): شناسایی دو نقطه‌ی غیرمشترک باعث اضافه شدن یک رابطه در گروه آزاد می‌شود و گروه همبندی اول تغییر می‌کند.

این یک نمونه‌ی کلاسیک از مسائل توپولوژی جبری است که هم ساده و هم آموزنده است.

می‌خواهی برایت یک مسئله توپولوژیک در سطح مقدماتی‌تر (مثلاً درباره‌ی پیوستگی یا فضاهای باز و بسته) هم طراحی کنم تا برای شروع راحت‌تر باشد؟