3-متیو

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه دوم آذر ۱۴۰۴ | 18:48

توابع اصلاح‌شده

یک رویکرد سنتی برای ارزیابی عددی توابع اصلاح‌شده متیو از طریق سری ضرب توابع بسل است. [ 24 ] برای مقادیر بزرگ $n$ و $q$ ، شکل سری باید با دقت انتخاب شود تا از خطاهای تفریق جلوگیری شود . [ 25 ] [ 26 ]

خواص

عبارات و اتحادهای تحلیلی نسبتاً کمی شامل توابع ماتیو وجود دارد. علاوه بر این، برخلاف بسیاری از توابع خاص دیگر ، جواب‌های معادله ماتیو را نمی‌توان به طور کلی بر حسب توابع فوق هندسی بیان کرد . این را می‌توان با تبدیل معادله ماتیو به فرم جبری، با استفاده از تغییر متغیر، مشاهده کرد. $t=\cos(x)$ :

$(1-t^{2}){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}-t\,{\frac {dy}{dt}}+(a+2q(1-2t^{2}))\,y=0.}$

از آنجایی که این معادله یک نقطه تکین نامنظم در بی‌نهایت دارد، نمی‌توان آن را به معادله‌ای از نوع فوق‌هندسی تبدیل کرد. [ 20 ]

رفتار کیفی

نمودارهای نمونه از توابع متیو نوع اول

طرح ${\text{ce}}_{1}(x,q)$ برای متغیر $q$

برای کوچک $q$ ، ${\text{ce}}_{n}$ و ${\text{se}}_{n}$ رفتاری مشابه باچون $\cos nx$ و $\sin nx$ برای دلخواه $q$ ، آنها ممکن است به طور قابل توجهی از همتایان مثلثاتی خود منحرف شوند؛ با این حال، به طور کلی دوره ای باقی می مانند. علاوه بر این، برای هر مقدار حقیقی $q$ ، ${\text{ce}}_{m}(x,q)$ و ${\text{se}}_{m+1}(x,q)$ دقیقاً داشته باشید $m$ صفرهای ساده در $0<x<\pi$ ، و همانطور که $q\right arrow \infty$ صفرها دور هم جمع می‌شوند $x=\pi /2$ . [ 27 ] [ 28 ]

برای $q>0$ و همانطور که $x\right arrow \infty$ توابع متیو اصلاح‌شده تمایل دارند مانند توابع تناوبی میرا رفتار کنند.

در ادامه، $A$ و $B$ عواملی از بسط فوریه برای ${\text{ce}}_{n}$ و ${\text{se}}_{n}$ ممکن است به آنها ارجاع داده شود (به نمایش و محاسبه صریح مراجعه کنید ). آنها به ... بستگی دارند $q$ و $n$ اما مستقل از $x$ .

تأملات و ترجمه‌ها

به دلیل برابری و تناوب آنها، ${\text{ce}}_{n}$ و ${\text{se}}_{n}$ تحت بازتاب‌ها و انتقال‌ها با مضربی از $\pi$ : [ 7 ]

$\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(x)\\&{\text{se}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{se}}_{n}(x)\\&{\text{ce}}_{n}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(-x+\pi /2)\\&{\text{se}}_{n+1}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{se}}_{n+1}(-x+\pi /2)\end{aligned}}}$

همچنین می‌توان توابعی با مقادیر منفی نوشت. $q$ از نظر کسانی که مثبت هستند $q$ : [ 5 ] [ 29 ]

$\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{ce}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\end{aligned}}}$

علاوه بر این،

$\displaystyle {\begin{aligned}&a_{2n+1}(q)=b_{2n+1}(-q)\\&b_{2n+2}(q)=b_{2n+2}(-q)\end{aligned}}}$

تعامد و کامل بودن

مانند همتایان مثلثاتی خود $\cos nx$ و $\sin nx$ توابع دوره‌ای متیو ${\text{ce}}_{n}(x,q)$ و ${\text{se}}_{n}(x,q)$ روابط تعامد را برآورده کنید

$\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{ce}}_{m}\,dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=\delta _{nm}\pi \\&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=0\end{aligned}}}$

علاوه بر این، با $q$ ثابت و $a$ اگر به عنوان مقدار ویژه در نظر گرفته شود، معادله متیو به فرم استورم-لیوویل است . این نشان می‌دهد که توابع ویژه ${\text{ce}}_{n}(x,q)$ و ${\text{se}}_{n}(x,q)$ یک مجموعه کامل را تشکیل می‌دهند، یعنی هر $\pi$ - یا $2\pi$ تابع تناوبی $x$ می‌تواند به صورت یک سری در ادامه گسترش یابد ${\text{ce}}_{n}(x,q)$ و ${\text{se}}_{n}(x,q)$ . [ 4 ]

هویت‌های انتگرالی

جواب‌های معادله متیو، دسته‌ای از اتحادهای انتگرالی را نسبت به هسته‌ها ارضا می‌کنند. $\chi(x,x')$ که راه حل هایی برای

$\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$

به طور دقیق‌تر، اگر $\phi (x)$ معادله متیو را با داده شده حل می‌کند $a$ و $q$ ، سپس انتگرال

$\psi (x)\equiv \int _{C}\chi (x,x')\phi (x')dx'$

که $C$ مسیری در صفحه مختلط است ، همچنین معادله متیو را با همین روش حل می‌کند $a$ و $q$ مشروط بر اینکه شرایط زیر رعایت شود: [ 30 ]

$\chi(x,x')$ حل می‌کند $\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$
در مناطق مورد بررسی، $\psi (x)$ وجود دارد و $\chi(x,x')$ تحلیلی است
$\left(\phi {\frac {\partial \chi }{\partial x'}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x'}}\chi \right)$ در نقاط انتهایی مقدار یکسانی دارد $C$

با استفاده از تغییر متغیر مناسب، معادله برای $\chi$ می‌توان آن را به معادله موج تبدیل و حل کرد. برای مثال، یک جواب به صورت زیر است: $\chi (x,x')=\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x')$ نمونه‌هایی از هویت‌های به‌دست‌آمده از این طریق عبارتند از [ 31 ]

$\displaystyle {\begin{aligned}{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q)}{\pi q^{1/2}B_{1}^{(2n+1)}}}\int _{0}^{\pi }\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x'){\text{se}}_{2n+1}(x',q)dx'\qquad (q>0)\\{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&={\frac {{\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{\pi A_{0}^{(2n)}}}\int _{0}^{\pi }\cos(2q^{1/2}\cosh x\cos x'){\text{ce}}_{2n}(x',q)dx'\qquad \ \ \ (q>0)\end{aligned}}}$

اتحادهای نوع دوم برای مطالعه خواص مجانبی توابع اصلاح‌شده متیو مفید هستند. [ 32 ]

همچنین روابط انتگرالی بین توابع نوع اول و دوم وجود دارد، به عنوان مثال: [ 23 ]

${\displaystyle {\text{fe}}_{2n}(x,q)=2n\int _{0}^{x}{\text{ce}}_{2n}(\tau ,-q)\ J_{0}\left({\sqrt {2q(\cos 2x-\cos 2\tau )\qqua d)\n، راست$

برای هر کمپلکس معتبر است $x$ و واقعی $q$ .

بسط‌های مجانبی

بسط‌های مجانبی زیر برای ... برقرار است $q>0$ ، ${\text{Im}}(x)=0$ ،دوباره ${\text{Re}}(x)\rightarrow \infty$ ، و $2q^{1/2}\cosh x\simeq q^{1/2}e^{x}$ : [ 33 ]

$\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{1/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n}(0,q){\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{A_{0}^{(2n)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Ce}}_{2n+1}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n+1}(0,q){\text{ce}}'_{2n+1}(\pi /2,q)}{A_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{Se}}_{2n+1}(x,q)&\sim -\left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q){\text{se}}_{2n+1}(\pi /2,q)}{B_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{Se}}_{2n+2}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{5/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+2}(0,q){\text{se}}'_{2n+2}(\pi /2,q)}{B_{2}^{(2n+2)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}}$

بنابراین، توابع متیو اصلاح‌شده برای آرگومان‌های حقیقی بزرگ به صورت نمایی واپاشی می‌کنند. بسط‌های مجانبی مشابهی را می‌توان برای ${\text{Fe}}_{n}$ و ${\text{Ge}}_{n}$ این‌ها همچنین برای آرگومان‌های حقیقی بزرگ به صورت نمایی کاهش می‌یابند.

برای توابع متیو تناوبی زوج و فرد $ce,se$ و اعداد مشخصه مرتبط $a$ همچنین می‌توان بسط‌های مجانبی را برای اعداد بزرگ استخراج کرد $q$ [ 34 ] به طور خاص برای اعداد مشخصه، می‌توان بان $N$ تقریباً یک عدد صحیح فرد، یعنی $N\approx N_{0}=2n+1,n=1,2,3,...,$

$\displaystyle {\begin{aligned}a(N)={}&-2q+2q^{1/2}N-{\frac {1}{2^{3}}}(N^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N(N^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N^{4}+34N^{2}+9)\\&-{\frac {1}{2^{17}q^{3/2}}}N(33N^{4}+410N^{2}+405)-{\frac {1}{2^{20}q^{2}}}(63N^{6}+1260N^{4}+2943N^{2}+41807)+{\mathcal {O}}(q^{-5/2})\end{تراز شده}}}$

تقارن را در اینجا در جایگزینی رعایت کنید $q^{1/2}$ ون $N$ توسط $-q^{1/2}$ و $-N$ که از ویژگی‌های مهم این گسترش است. شرایط این گسترش به صراحت تا و از جمله مدت سفارش به دست آمده است. $|q|^{-7/2}$ . [ 35 ] اینجان $N$ فقط تقریباً یک عدد صحیح فرد است زیرا در حد $q\to \infty$ تمام بخش‌های حداقل پتانسیل تناو $\cos 2x$ به طور مؤثر به نوسانگرهای هارمونیک مستقل تبدیل می‌شوند (از این رو $N_{0}$ یک عدد صحیح فرد). با کاهش $q$ ، تونل زدن از میان موانع (به زبان فیزیکی) امکان‌پذیر می‌شود و منجر به تقسیم اعداد مشخصه می‌شود. $a\to a_{\mp }$ (در مکانیک کوانتومی به آنها مقادیر ویژه گفته می‌شود) مربوط به توابع متیو تناوبی زوج و فرد. این تقسیم‌بندی با شرایط مرزی [ 35 ] بدست می‌آید (در مکانیک کوانتومی، این امر تقسیم مقادیر ویژه به نوارهای انرژی را فراهم می‌کند). [ 36 ] شرایط مرزی عبارتند از:

$\left({\frac {dce_{N_{0}-1}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;\;\left({\frac {dse_{N_{0}}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;\;se_{N_{0}+1}(\pi /2)=0.$

با اعمال این شرایط مرزی بر توابع متیو دوره‌ای مجانبی مرتبط با بسط فوق برای $a$ یکی به دست می‌آورد

$N-N_{0}=\mp 2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}\left[1-{\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{13}q}}(9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+\dots \right].$

سپس اعداد مشخصه یا مقادیر ویژه مربوطه با بسط دنبال می‌شوند، یعنی

$\displaystyle a(N)=a(N_{0})+(N-N_{0})\left({\frac {\partial a}{\partial N}}\right)_{N_{0}}+\cdots .}$

درج عبارات مناسب بالا، نتیجه را به دست می‌دهد.

$\displaystyle {\begin{aligned}a(N)\to a_{\mp }(N_{0})={}&-2q+2q^{1/2}N_{0}-{\frac {1}{2^{3}}}(N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{0}^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-\cdots \\&\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi )^{1/2{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {N_{0}}{2^{6}q^{1/2}}}(3N_{0}^{2}+8N_{0}+3)+\cdots {\bigg ]}.\end{aligned}}}$

برای $N_{0}=1,3,5,\dots$ اینها مقادیر ویژه مرتبط با توابع ویژه زوج متیو هستند $ce_{N_{0}}$ یا $ce_{N_{0}-1}$ (یعنی با علامت منفی بالا) و توابع ویژه فرد متیوها $se_{N_{0}+1}$ یا ها $se_{N_{0}}$ (یعنی با علامت مثبت کوچکتر). بسط‌های صریح و نرمال‌شده‌ی توابع ویژه را می‌توان در [ 35 ] یا [ 36 ] یافت.

بسط‌های مجانبی مشابهی را می‌توان برای جواب‌های سایر معادلات دیفرانسیل تناوبی، مانند توابع لامه و توابع موج کروی کشیده و پهن شده، بدست آورد .

کاربردها

معادلات دیفرانسیل متیو در طیف گسترده‌ای از زمینه‌ها در مهندسی، فیزیک و ریاضیات کاربردی ظاهر می‌شوند . بسیاری از این کاربردها در یکی از دو دسته کلی قرار می‌گیرند: ۱) تحلیل معادلات دیفرانسیل جزئی در هندسه‌های بیضوی، و ۲) مسائل دینامیکی که شامل نیروهایی هستند که در فضا یا زمان تناوبی هستند. مثال‌هایی از هر دو دسته در زیر مورد بحث قرار گرفته است.

معادلات دیفرانسیل جزئی

توابع متیو زمانی ایجاد می‌شوند که جداسازی متغیرها در مختصات بیضوی بر ۱) معادله لاپلاس در ۳ بعد و ۲) معادله هلمهولتز در ۲ یا ۳ بعد اعمال شود. از آنجایی که معادله هلمهولتز یک معادله نمونه اولیه برای مدل‌سازی تغییرات مکانی امواج کلاسیک است، توابع متیو می‌توانند برای توصیف انواع پدیده‌های موج استفاده شوند. به عنوان مثال، در الکترومغناطیس محاسباتی می‌توان از آنها برای تجزیه و تحلیل پراکندگی امواج الکترومغناطیسی از استوانه‌های بیضوی و انتشار موج در موجبرهای بیضوی استفاده کرد . [ 37 ] در نسبیت عام ، یک جواب موج تخت دقیق برای معادله میدان انیشتین را می‌توان بر حسب توابع متیو ارائه داد.

اخیراً، توابع متیو برای حل حالت خاصی از معادله اسمولوچوفسکی استفاده شده‌اند که آمار حالت پایدار ذرات خودران را توصیف می‌کند . [ 38 ]

ادامه این بخش به جزئیات تحلیل معادله دوبعدی هلمهولتز می‌پردازد. [ 39 ] در مختصات مستطیلی، معادله هلمهولتز به صورت زیر است:

$\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0,}$

مختصات بیضوی به صورت زیر تعریف می‌شوند:

${\begin{aligned}x&=c\cosh \mu \cos \nu \\y&=c\sinh \mu \sin \nu \end{تراز شده}}$

که $0\leq \mu <\infty$ ، $0\leq \nu <2\pi$ ، و $c$ یک ثابت مثبت است. معادله هلمهولتز در این مختصات به صورت زیر است:

$\displaystyle {\frac {1}{c^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \nu ^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0}$

ثابتمیکرو $\mu$ منحنی‌ها بیضی‌های هم کانونی با فاصله کانونی هستند $c$ از این رو، این مختصات برای حل معادله هلمهولتز روی دامنه‌هایی با مرزهای بیضوی مناسب هستند. جداسازی متغیرها از طریق $\psi (\mu ,\nu)=F(\mu)G(\nu)$ معادلات متیو را به دست می‌دهد

$\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}F}{d\mu ^{2}}}-\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cosh 2\mu \right)F=0\\&{\frac {d^{2}G}{d\nu ^{2}}}+\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cos 2\nu \right)G=0\\\end{aligned}}}$

که $a$ یک ثابت جداسازی است.

به عنوان یک مثال فیزیکی خاص، معادله هلمهولتز را می‌توان به عنوان توصیف‌کننده حالت‌های نرمال یک غشای الاستیک تحت کشش یکنواخت تفسیر کرد . در این حالت، شرایط فیزیکی زیر اعمال می‌شود: [ 40 ]

تناوبی بودن نسبت به $\nu$ ، یعنی $\psi (\mu ,\nu )=\psi (\mu ,\nu +2\pi )$
پیوستگی جابجایی در امتداد خط بین کانونی: $\psi (0,\nu )=\psi (0,-\nu )$
پیوستگی مشتق در امتداد خط بین کانونی: $\psi _{\mu }(0,\nu )=-\psi _{\mu }(0,-\nu )$

برای داده شده $k$ ، این امر راه‌حل‌ها را به راه‌حل‌های به شکل زیر محدود می‌کند ${\text{Ce}}_{n}(\mu ,q){\text{ce}}_{n}(\nu ,q)$ و ${\text{Se}}_{n}(\mu,q){\text{se}}_{n}(\nu,q)$ ، که $q=c^{2}k^{2}/4$ این همان محدود کردن مقادیر مجاز استالف $a$ برای داده شدهک $k$ محدودیت‌ها در مورد $k$ سپس به دلیل اعمال شرایط فیزیکی بر روی یک سطح مرزی، مانند مرز بیضوی تعریف شده توسط، بوجود می‌آیند. $\mu =\mu _{0}>0$ برای مثال، بستن غشاء در $\mu =\mu _{0}$ تحمیل می‌کند $\psi (\mu _{0},\nu )=0$ ، که به نوبه خود مستلزم آن است

${\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(\mu _{0},q)=0\\{\text{Se}}_{n}(\mu _{0},q)=0\end{aligned}}$

این شرایط، حالت‌های عادی سیستم را تعریف می‌کنند.

مسائل دینامیکی

در مسائل دینامیکی با نیروهای متغیر دوره‌ای، معادله حرکت گاهی اوقات به شکل معادله متیو در می‌آید. در چنین مواردی، آگاهی از خواص کلی معادله متیو - به ویژه در مورد پایداری جواب‌ها - می‌تواند برای درک ویژگی‌های کیفی دینامیک فیزیکی ضروری باشد. [ 41 ] یک مثال کلاسیک در این زمینه، پاندول معکوس است . [ 42 ] مثال‌های دیگر عبارتند از

ارتعاشات یک سیم با تنش متغیر دوره‌ای [ 41 ]
پایداری ریل‌های راه‌آهن هنگام عبور قطار از روی آنها
پویایی اجباری فصلی جمعیت
پدیده تشدید پارامتری در نوسانگرهای اجباری
حرکت یون‌ها در یک تله یونی چهارقطبی [ 43 ]
اثر استارک برای یک دوقطبی الکتریکی چرخان
نظریه فلوکه در مورد پایداری چرخه‌های حدی
جواب‌های تحلیلی موج سیار معادله رشد فصل مشترک کاردار-پاریسی-ژانگ با عبارت نویز تناوبی [ 44 ]

مکانیک کوانتومی

توابع متیو در برخی از سیستم‌های مکانیک کوانتومی، به ویژه سیستم‌هایی با پتانسیل‌های تناوبی فضایی مانند پاندول کوانتومی و شبکه‌های کریستالی ، نقش دارند .

معادله اصلاح‌شده متیو همچنین هنگام توصیف مکانیک کوانتومی پتانسیل‌های تکین مطرح می‌شود. برای پتانسیل تکین خاص $V(r)=g^{2}/r^{4}$ معادله شرودینگر شعاعی

${\frac {d^{2}y}{dr^{2}}}+\left[k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-{\frac {g^{2}}{r^{4}}}\right]y=0$

قابل تبدیل به معادله

$\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\left[2h^{2}\cosh 2z-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]\varphi =0.}$

این تبدیل با جایگزینی‌های زیر انجام می‌شود

$y=r^{1/2}\varphi ,r=\gamma e^{z},\gamma ={\frac {ig}{h}},h^{2}=ikg,h=e^{I\pi /4}(kg)^{1/2}.$

با حل معادله شرودینگر (برای این پتانسیل خاص) بر حسب جواب‌های معادله اصلاح‌شده متیو، می‌توان خواص پراکندگی مانند ماتریس S و ضریب جذب را بدست آورد. [ 45 ]

در ابتدا معادله شرودینگر با تابع کسینوس در سال 1928 توسط استرات حل شد. [ 46 ]

همچنین ببینید

https://en.wikipedia.org/wiki/Mathieu_function

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی