2-توابع متیو

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه دوم آذر ۱۴۰۴ | 18:35

مرتبه کسری

توابع متیو از مرتبه کسری را می‌توان به صورت آن دسته از جواب‌ها تعریف کرد ${\text{ce}}_{p}(x,q)$ و ${\text{se}}_{p}(x,q)$ ، $p$ یک عدد غیر صحیح، که تبدیل می‌شود به $\cos px$ و $\sin px$ به عنوان $q\rightarrow 0$ . [ 7 ] اگر $p$ گنگ باشد، آنها غیرمتناوب هستند؛ با این حال، آنها محدود باقی می‌مانند زیرا $x\right arrow \infty$ .

یک ویژگی مهم راه‌حل‌ها ${\text{ce}}_{p}(x,q)$ و ${\text{se}}_{p}(x,q)$ ، برای $p$ غیر صحیح، این است که آنها برای مقدار یکسانی از وجود دارند $a$ در مقابل، وقتی $p$ یک عدد صحیح است، ${\text{ce}}_{p}(x,q)$ و ${\text{se}}_{p}(x,q)$ هرگز برای همان مقدار رخ نمی دهند $a$ (به قضیه اینس در بالا مراجعه کنید.)

این طبقه‌بندی‌ها در جدول زیر خلاصه شده‌اند. معادل‌های تابع اصلاح‌شده متیو نیز به طور مشابه تعریف می‌شوند.

طبقه‌بندی توابع متیو [ 15 ]
مرتبه	نوع اول	نوع دوم
انتگرال	${\text{ce}}_{n}(x,q)$	${\text{fe}}_{n}(x,q)$
انتگرال	${\text{se}}_{n}(x,q)$	${\text{ge}}_{n}(x,q)$
کسری ( $p$ غیر انتگرال)	${\text{ce}}_{p}(x,q)$	${\text{se}}_{p}(x,q)$

نمایش و محاسبه صریح

نوع اول

توابع متیو از نوع اول را می‌توان به صورت سری فوریه نمایش داد : [ 5 ]

$\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ce}}_{2n}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r}^{(2n)}(q)\cos(2rx)\\{\text{ce}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+2}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+2}^{(2n+2)}(q)\sin \left[(2r+2)x\right]\\end{aligned}}}$

ضرایب انبساط $A_{j}^{(i)}(q)$ و $B_{j}^{(i)}(q)$ توابعی از $q$ اما مستقل از $x$ با جایگذاری در معادله متیو، می‌توان نشان داد که آنها از روابط بازگشتی سه جمله‌ای در اندیس پایین‌تر پیروی می‌کنند. برای مثال، برای هر ${\text{ce}}_{2n}$ یکی پیدا می‌کند [ 16 ]

$\displaystyle {\begin{aligned}aA_{0}-qA_{2}&=0\\(a-4)A_{2}-q(A_{4}+2A_{0})&=0\\(a-4r^{2})A_{2r}-q(A_{2r+2}+A_{2r-2})&=0,\quad r\geq 2\end{aligned}}}$

یک تابع بازگشتی مرتبه دوم در اندیس است $2r$ ، همیشه می‌توان دو جواب مستقل پیدا کرد $X_{2r}$ و $Y_{2r}$ به طوری که جواب عمومی را بتوان به صورت ترکیب خطی از این دو بیان کرد: $A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}$ علاوه بر این، در این مورد خاص، یک تحلیل مجانبی [ 17 ] نشان می‌دهد که یک انتخاب ممکن از راه‌حل‌های اساسی دارای این ویژگی است

$\displaystyle {\begin{aligned}X_{2r}&=r^{-2r-1}\left(-{\frac {e^{2}q}{4}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\left(-{\frac {4}{e^{2}q}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\end{aligned}}}$

به طور خاص،ایکس۲ر $X_{2r}$ متناهی است در حالی کهی۲ر $Y_{2r}$ واگرا می‌شود. نوشتن $A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}$ بنابراین، می‌بینیم که برای نمایش سری فوریه‌ ${\text{ce}}_{2n}$ همگرا شدن، $a$ باید طوری انتخاب شود . $c_{2}=0.$ این انتخاب‌ها از $a$ با اعداد مشخصه مطابقت دارند.

با این حال، به طور کلی، جواب یک معادله بازگشتی سه جمله‌ای با ضرایب متغیر را نمی‌توان به روشی ساده نمایش داد و از این رو هیچ راه ساده‌ای برای تعیین آن وجود ندارد. $a$ از شرایط $c_{2}=0$ علاوه بر این، حتی اگر مقدار تقریبی یک عدد مشخصه مشخص باشد، نمی‌توان از آن برای بدست آوردن ضرایب استفاده کرد. $A_{2r}$ با تکرار عددیِ بازگشتی به سمت افزایشر $r$ دلیلش این است که تا زمانی کهالف $a$ فقط یک عدد مشخصه را تقریب می‌زند،ج۲ $c_{2}$ یکسان نیست0 $0$ و راه حل واگرای $Y_{2r}$ در نهایت به اندازه کافی بزرگ غالب می‌شود $r$ .

برای غلبه بر این مشکلات، رویکردهای نیمه تحلیلی/عددی پیچیده‌تری مورد نیاز است، برای مثال استفاده از بسط کسر مسلسل ، [ 18 ] [ 5 ] تبدیل بازگشت به یک مسئله مقدار ویژه ماتریس ، [ 19 ] یا پیاده‌سازی یک الگوریتم بازگشت به عقب. [ 17 ] پیچیدگی رابطه بازگشت سه جمله‌ای یکی از دلایلی است که فرمول‌ها و اتحادهای ساده کمی شامل توابع متیو وجود دارد. [ 20 ]

در عمل، توابع متیو و اعداد مشخصه مربوطه را می‌توان با استفاده از نرم‌افزارهای از پیش آماده مانند Mathematica ، Maple ، MATLAB و SciPy محاسبه کرد . برای مقادیر کوچک $q$ و مرتبه پایین $n$ ، آنها همچنین می‌توانند به صورت اختلالی به صورت سری توانی از بیان شوند. $q$ که می‌تواند در کاربردهای فیزیکی مفید باشد. [ 21 ]

نوع دوم

روش‌های مختلفی برای نمایش توابع متیو از نوع دوم وجود دارد. [ 22 ] یکی از این روش‌ها نمایش بر حسب توابع بسل است : [ 23 ]

${\begin{aligned}{\text{fe}}_{2n}(x,q)&=-{\frac {\pi \gamma _{n}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{جایی که }}\gamma _{n}=\left\{{\begin{array}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{ if }}n=0\\2n,&{\text{ if }}n\geq 1\end{آرایه}}\right.\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2-n+1) {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sq {q}}e^{-ix})-J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4}\n+y) }(-1)^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+2}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+2}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}ed\}{-ix$

که $n,q>0$ ، و $J_{r}(x)$ و $Y_{r}(x)$ توابع بسل نوع اول و دوم هستند.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی