ریاضیات

دیورژانس

دیورژانس (Divergence)

دیورژانس یک مفهوم بنیادی در حساب برداری (Vector Calculus) است که به ما کمک می‌کند تا رفتار یک میدان برداری را در نقاط مختلف فضا درک کنیم. این یک عملگر برداری (vector operator) است که بر یک میدان برداری (vector field) عمل می‌کند و یک میدان اسکالر (scalar field) تولید می‌کند.

تعریف ریاضی

برای یک میدان برداری F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k در فضای سه بعدی، که در آن P,Q,R توابع مشتق‌پذیر هستند، دیورژانس F به صورت زیر تعریف می‌شود:

div F=∇⋅F=∂P/∂x​+∂Q​/∂y+∂R​/∂z

در این تعریف:

• ∇ (نبل یا دل) یک عملگر برداری دیفرانسیلی است که به صورت (x​,∂/∂y,∂/∂z∂​/∂) تعریف می‌شود.
• "⋅" نشان‌دهنده ضرب داخلی (Dot Product) است.
• نتیجه دیورژانس یک مقدار اسکالر (عددی) است، نه یک بردار.

اگر میدان برداری دو بعدی باشد، مثلاً F=P(x,y)i+Q(x,y)j، دیورژانس به صورت زیر تعریف می‌شود:

div F=∇⋅F=∂P/∂x​+∂Q​/∂y

مفهوم فیزیکی و شهودی

مفهوم فیزیکی دیورژانس بسیار مهم است. دیورژانس در هر نقطه، میزان "پراکندگی" یا "جمع‌شوندگی" (outflowing-ness or inflow-ness) یک میدان برداری را در اطراف آن نقطه اندازه‌گیری می‌کند. آن را به عنوان چگالی شار (flux density) در آن نقطه در نظر بگیرید:

• دیورژانس مثبت (div F>0): نشان‌دهنده این است که در آن نقطه، میدان برداری مانند یک چشمه (source) عمل می‌کند. به این معنی که بردارهای میدان تمایل دارند از آن نقطه دور شوند و از یک حجم بسیار کوچک اطراف آن نقطه به بیرون جریان یابند.
  • مثال: اگر F میدان سرعت یک سیال باشد، دیورژانس مثبت به معنای وجود چشمه سیال در آن نقطه است (مانند آبی که از یک شیر خارج می‌شود). در یک گاز، دیورژانس مثبت نشان‌دهنده انبساط یا گرم شدن گاز است.
• دیورژانس منفی (div F<0): نشان‌دهنده این است که در آن نقطه، میدان برداری مانند یک حوضچه (sink) عمل می‌کند. به این معنی که بردارهای میدان تمایل دارند به آن نقطه نزدیک شوند و به یک حجم بسیار کوچک اطراف آن نقطه وارد شوند.
  • مثال: در مورد سیال، دیورژانس منفی به معنای وجود یک حوضچه یا زهکش است (مانند آب که به یک فاضلاب مکش می‌شود). در یک گاز، دیورژانس منفی نشان‌دهنده انقباض یا سرد شدن گاز است.
• دیورژانس صفر (div F=0): نشان‌دهنده این است که در آن نقطه، نه چشمه‌ای وجود دارد و نه حوضچه‌ای. میزان ورود و خروج شار از یک حجم بسیار کوچک اطراف آن نقطه برابر است. به این میدان‌ها، میدان‌های ناهم فشرده (incompressible) یا میدان‌های بدون چشمه (solenoidal) گفته می‌شود.
  • مثال: میدان سرعت یک سیال ناهم فشرده (مانند آب) دارای دیورژانس صفر است، زیرا چگالی آن در طول زمان ثابت می‌ماند.

کاربردها

دیورژانس در فیزیک و مهندسی دارای کاربردهای بسیار گسترده‌ای است:

1. مکانیک سیالات (Fluid Dynamics):
   • دیورژانس میدان سرعت یک سیال، نرخ تغییر چگالی سیال را در یک نقطه نشان می‌دهد. این مفهوم برای درک جریان سیالات، پیش‌بینی انبساط یا انقباض آن‌ها و تحلیل خواص سیالات ناهم فشرده حیاتی است.
2. الکترومغناطیس (Electromagnetism):
   • قانون گاوس برای میدان الکتریکی: ∇⋅E=ϵ0​ρ​ (دیورژانس میدان الکتریکی E متناسب با چگالی بار الکتریکی ρ است). این بدان معناست که بارهای الکتریکی به عنوان چشمه (مثبت) یا حوضچه (منفی) برای خطوط میدان الکتریکی عمل می‌کنند.
   • قانون گاوس برای میدان مغناطیسی: ∇⋅B=0 (دیورژانس میدان مغناطیسی B همیشه صفر است). این بدان معناست که هیچ تک‌قطبی مغناطیسی (monopole) وجود ندارد؛ خطوط میدان مغناطیسی همیشه حلقه‌های بسته تشکیل می‌دهند (نه از یک چشمه شروع و به یک حوضچه ختم نمی‌شوند).
3. انتقال حرارت (Heat Transfer):
   • دیورژانس میدان شار حرارتی، میزان تولید یا جذب حرارت در یک نقطه را نشان می‌دهد.
4. نظریه نسبیت (Relativity Theory):
   • دیورژانس تنسور انرژی-تکانه (Energy-Momentum Tensor) در معادلات میدان اینشتین استفاده می‌شود و اصل بقای انرژی و تکانه را بیان می‌کند.
5. معادلات دیفرانسیل جزئی (Partial Differential Equations - PDEs):
   • بسیاری از معادلات اساسی فیزیک (مانند معادله پیوستگی، معادله ناویه-استوکس) شامل عملگر دیورژانس هستند.
6. مدل‌سازی آب و هوا (Weather Modeling):
   • دیورژانس میدان سرعت باد در اتمسفر برای پیش‌بینی مناطق همگرایی (convergence) و واگرایی (divergence) که به ترتیب با افزایش فشار و کاهش فشار جوی (و در نتیجه تشکیل طوفان) مرتبط هستند، استفاده می‌شود.

قضیه دیورژانس (Divergence Theorem) / قضیه گاوس (Gauss's Theorem)

یکی از مهم‌ترین قضایا در حساب برداری، قضیه دیورژانس است که رابطه بین شار یک میدان برداری از یک سطح بسته و دیورژانس آن میدان در حجم محصور شده توسط آن سطح را بیان می‌کند.

سمت چپ، شار (Flux) میدان برداری F از سطح بسته S (که مرز حجم V است) را نشان می‌دهد. شار، میزان "جریان" میدان از سطح را اندازه‌گیری می‌کند.

• سمت راست، انتگرال دیورژانس میدان برداری در تمام حجم V را نشان می‌دهد.

اهمیت قضیه دیورژانس: این قضیه به ما اجازه می‌دهد که انتگرال‌های سطحی (که محاسبه آن‌ها دشوار است) را به انتگرال‌های حجمی (که گاهی ساده‌ترند) تبدیل کنیم و برعکس. همچنین، این قضیه بیان ریاضی اصل بقا (Conservation Law) است: میزان خالص شار خارج شده از یک حجم برابر است با مجموع چشمه‌ها (منابع) و حوضچه‌های (مصرف‌کننده‌های) میدان در داخل آن حجم.

به طور خلاصه، دیورژانس یک ابزار ریاضی قدرتمند است که بینش‌های فیزیکی عمیقی را در مورد چگونگی گسترش یا فشرده شدن میدان‌های برداری و وجود چشمه‌ها یا حوضچه‌ها در فضا ارائه می‌دهد.