ریاضیات

"امبدینگ" (Embedding) یک مفهوم گسترده در ریاضیات و علوم کامپیوتر است که به معنای قرار دادن یک ساختار ریاضی در ساختار دیگری است، به گونه‌ای که ویژگی‌ها و روابط بین عناصر حفظ شود. این مفهوم در حوزه‌های مختلفی از ریاضیات و کاربردهای آن ظاهر می‌شود.

1. امبدینگ در ریاضیات محض:

در ریاضیات محض، "امبدینگ" به طور کلی به یک نگاشت (تابع) یک به یک و ساختار-نگهدارنده از یک فضای ریاضی به فضای دیگر اشاره دارد. رشته‌های ریاضی که به طور مستقیم با امبدینگ سروکار دارند عبارتند از:

• توپولوژی:

  • توپولوژی عمومی: در اینجا، امبدینگ به معنای یک نگاشت پیوسته و یک به یک است که معکوس آن نیز پیوسته باشد (همئومورفیسم روی تصویر). به عبارت دیگر، یک امبدینگ، یک کپی توپولوژیکی از یک فضا در فضای دیگر ایجاد می‌کند.
  • توپولوژی دیفرانسیل: در این شاخه، امبدینگ‌های هموار (Smooth embeddings) مورد مطالعه قرار می‌گیرند که نگاشت‌هایی دیفرانسیل‌پذیر هستند و معکوس آن‌ها نیز دیفرانسیل‌پذیر است. این مفهوم در مطالعه منیفولدها (Manifolds) و نحوه "جا شدن" یک منیفولد در منیفولد دیگر بسیار اساسی است.
  • هندسه ریمانی و شبه ریمانی: در اینجا، امبدینگ‌هایی که ساختار متری (فاصله) را حفظ می‌کنند، اهمیت دارند.

• جبر:

  • نظریه میدان‌ها (Field Theory): یک امبدینگ از یک میدان در میدان دیگر، یک همریختی حلقه‌ای است که یک به یک باشد. این به معنای قرار دادن یک میدان کوچکتر به عنوان زیرمیدان در یک میدان بزرگتر است.
  • جبر جهانی (Universal Algebra) و نظریه مدل (Model Theory): امبدینگ‌ها در این حوزه‌ها به مطالعه نگاشت‌های ساختار-نگهدارنده بین ساختارهای جبری عمومی می‌پردازند.

• نظریه ترتیب (Order Theory): امبدینگ‌ها در اینجا به نگاشت‌هایی اشاره دارند که ترتیب را حفظ می‌کنند.

• فضاهای متری: در این فضاها، امبدینگ‌ها نگاشت‌هایی هستند که فاصله بین نقاط را حفظ می‌کنند (یا به نوعی تغییر نمی‌دهند).

2. امبدینگ در علوم کامپیوتر و هوش مصنوعی (به خصوص یادگیری عمیق):

در سال‌های اخیر، مفهوم "امبدینگ" به طور گسترده‌ای در حوزه علوم کامپیوتر، به ویژه در یادگیری عمیق و پردازش زبان طبیعی (NLP) مطرح شده است. در اینجا، منظور از امبدینگ، تبدیل داده‌های با ابعاد بالا (مانند کلمات، تصاویر، گراف‌ها و...) به بردارهایی با ابعاد کمتر در یک فضای برداری پیوسته است. هدف از این کار، به تصویر کشیدن معنای داده‌ها به گونه‌ای است که داده‌های مشابه از نظر معنایی یا ساختاری، در فضای امبدینگ به هم نزدیک باشند.

رشته‌های ریاضی مرتبط با امبدینگ در این حوزه عبارتند از:

• جبر خطی: برای نمایش داده‌ها به صورت بردار و انجام عملیات برداری (جمع، تفریق، ضرب اسکالر، محاسبات فاصله مانند فاصله اقلیدسی یا تشابه کسینوسی).
• آنالیز ماتریسی: برای کار با ماتریس‌های امبدینگ و تجزیه و تحلیل آن‌ها (مثلاً SVD).
• بهینه‌سازی: برای آموزش مدل‌های امبدینگ (مثلاً با استفاده از گرادیان کاهشی) و یافتن بردارهای بهینه.
• آمار و احتمال: برای تحلیل توزیع داده‌ها در فضای امبدینگ و مدل‌سازی روابط احتمالی.
• نظریه اطلاعات: برای درک میزان اطلاعاتی که در یک امبدینگ حفظ می‌شود.
• نظریه گراف: در امبدینگ گراف، هدف نگاشت گره‌ها و لبه‌های گراف به یک فضای برداری است.
• یادگیری ماشینی و یادگیری عمیق: به طور کلی، امبدینگ یک جزء کلیدی در بسیاری از مدل‌های یادگیری عمیق (مانند شبکه‌های عصبی) است، به خصوص در:
  • پردازش زبان طبیعی (NLP):
    • Word Embeddings (امبدینگ کلمه): مانند Word2Vec، GloVe، FastText که کلمات را به بردارهایی تبدیل می‌کنند تا روابط معنایی و نحوی بین کلمات را به تصویر بکشند (مثلاً "پادشاه - مرد + زن = ملکه").
    • Sentence Embeddings و Document Embeddings: امبدینگ جملات و اسناد.
  • بینایی کامپیوتر (Computer Vision): امبدینگ تصاویر و ویژگی‌های آن‌ها.
  • سیستم‌های توصیه‌گر (Recommender Systems): امبدینگ کاربران و آیتم‌ها برای پیش‌بینی علایق.

خلاصه:

بنابراین، مفهوم امبدینگ در ریاضیات یک ایده بنیادی برای مطالعه چگونگی گنجاندن یک ساختار در ساختار دیگر به صورت ساختار-نگهدارنده است. در کاربردهای مدرن، به خصوص در هوش مصنوعی، این مفهوم به تبدیل داده‌ها به نمایش‌های برداری کم‌بعد و معنایی اشاره دارد که در یادگیری ماشینی و عمیق بسیار حیاتی است. رشته‌های ریاضی پایه مانند جبر خطی، توپولوژی، و بهینه‌سازی از جمله مهم‌ترین حوزه‌های ریاضی هستند که به درک و توسعه امبدینگ‌ها کمک می‌کنند.