4--تبدیل‌های لورنتس

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه نهم دی ۱۴۰۳ | 8:9

فرض کنید دو رویداد در امتداد محور x به طور همزمان رخ می دهد ( Δ t = 0 ) در F ، اما با یک جابجایی غیر صفر Δ x از هم جدا شده اند . سپس در F " ، آن را پیدا می کنیم $\Delta t'=\gamma {\frac {-v\,\Delta x}{c^{2}}}$ ، بنابراین به گفته یک ناظر متحرک، رویدادها دیگر همزمان نیستند.

اتساع زمان

فرض کنید یک ساعت در حالت استراحت در F وجود دارد . اگر یک بازه زمانی در همان نقطه در آن قاب اندازه گیری شود، به طوری که Δ x = 0 ، آنگاه تبدیل ها این فاصله را در F ′ با Δ t ′ = γ Δ t می دهند . برعکس، فرض کنید ساعتی در حالت سکون در F ′ است . اگر بازه‌ای در همان نقطه در آن قاب اندازه‌گیری شود، به طوری که Δ x ′ = 0 باشد ، آنگاه تبدیل‌ها این فاصله را در F با Δ t = γ Δ t ′ به دست می‌دهند . در هر صورت، هر ناظر فاصله زمانی بین تیک‌های ساعت متحرک را اندازه می‌گیرد تا ضریب γ از فاصله زمانی بین تیک‌های ساعت خودش بیشتر باشد.

انقباض طول

فرض کنید میله ای در حالت سکون در F وجود دارد که در امتداد محور x قرار دارد، با طول Δ x . در F ' ، میله با سرعت - v حرکت می کند، بنابراین طول آن باید با انجام دو اندازه گیری همزمان ( Δ t ' = 0 ) در انتهای مخالف اندازه گیری شود . تحت این شرایط، تبدیل معکوس لورنتس نشان می دهد که Δ x = γ Δ x ′ . در F این دو اندازه گیری دیگر همزمان نیستند، اما این مهم نیست زیرا میله در F در حال استراحت است . بنابراین هر ناظری فاصله بین نقاط انتهایی یک میله متحرک را اندازه می گیرد تا با ضریب 1/ γ کوتاهتر از نقاط انتهایی یک میله یکسان در حالت استراحت در چارچوب خودش باشد. انقباض طول بر هر کمیت هندسی مربوط به طول ها تأثیر می گذارد، بنابراین از دیدگاه ناظر متحرک، نواحی و حجم ها نیز در جهت حرکت کوچک می شوند.

تبدیل های برداری

[ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: بردار اقلیدسی و طرح برداری

یک ناظر در قاب F F را برای حرکت با سرعت v مشاهده می کند ، در حالی که F را مشاهده می کند که F را با سرعت - v حرکت می کند . محورهای مختصات هر فریم هنوز موازی هستند [ با توجه به چه کسی؟ ] و متعامد. بردار موقعیت همانطور که در هر فریم اندازه گیری می شود به اجزای موازی و عمود بر بردار سرعت نسبی v تقسیم می شود .
سمت چپ: پیکربندی استاندارد. سمت راست: پیکربندی معکوس.

استفاده از بردارها اجازه می دهد تا موقعیت ها و سرعت ها در جهت های دلخواه به صورت فشرده بیان شوند. یک بوست واحد در هر جهت به بردار سرعت نسبی کامل v با قدر | بستگی دارد v | = v که نمی تواند برابر یا بیشتر از c باشد ، به طوری که 0 ≤ v < c .

فقط زمان و مختصات موازی با جهت حرکت نسبی تغییر می کنند، در حالی که مختصات عمودی تغییر نمی کنند. با در نظر گرفتن این موضوع، بردار موقعیت مکانی r را همانطور که در F اندازه‌گیری می‌شود ، و r ′ را با اندازه‌گیری F' تقسیم کنید ، هر کدام را به اجزای عمود (⊥) و موازی (‖) بر v تقسیم کنید ، $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}\,,\quad \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\ perp }'+\mathbf {r} _{\|}'\,,$ سپس تحولات هستند

${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {\mathbf {r} _{\parallel }\cdot \mathbf {v}}{c^{2}}} \راست)\\\mathbf {r} _{\|}'&=\گاما (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)\\\mathbf {r} _{\perp }'&=\mathbf {r} _{\perp }\end{تراز شده}}$

کجا · محصول نقطه است . فاکتور لورنتز γ تعریف خود را برای افزایش در هر جهت حفظ می کند، زیرا فقط به بزرگی سرعت نسبی بستگی دارد. تعریف β = v / c با قدر 0 ≤ β < 1 نیز توسط برخی از نویسندگان استفاده می شود.

با معرفی یک بردار واحد n = v / v = β / β در جهت حرکت نسبی، سرعت نسبی v = v n با قدر v و جهت n است و بردار طرح ریزی و رد به ترتیب نشان می دهد. $\mathbf {r} _{\parallel }=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {r} _{\perp }=\ mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$

انباشته شدن نتایج تحولات کامل را به دست می دهد،

تقویت لورنتس ( در جهت n با قدر v )

${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\ ,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +(\گاما -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \,.\end{تراز شده}}$

فرافکنی و رد در مورد r نیز صدق می کند . برای تبدیل های معکوس، r و r ′ را مبادله کنید تا مختصات مشاهده شده را تغییر دهید و سرعت نسبی v → − v (یا به سادگی بردار واحد n → − n را از آنجایی که قدر v همیشه مثبت است) نفی کنید تا به دست آید.

تقویت معکوس لورنتس ( در جهت n با قدر v )

${\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {\mathbf {r} '\cdot v\mathbf {n} }{c^{2}}}\right)\ ,,\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+(\گاما -1)(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} +\گاما t'v\mathbf {n} \,,\end{تراز شده}}$

بردار واحد این مزیت را دارد که معادلات را برای یک بوست منفرد ساده می‌کند، اجازه می‌دهد تا در صورت مناسب بودن، v یا β دوباره برقرار شوند، و پارامترسازی سرعت بلافاصله با جایگزینی β و βγ به دست می‌آید . برای تقویت چندگانه مناسب نیست.

رابطه برداری بین سرعت نسبی و سرعت است [ 20 ]، ${\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh \zeta \,,$ و "بردار سرعت" را می توان به صورت تعریف کرد، ${\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta \,,$ که هر کدام در برخی زمینه ها به عنوان مخفف مفیدی عمل می کنند. بزرگی ζ قدر مطلق اسکالر سرعت محدود به 0 ≤ ζ < ∞ است که با محدوده 0 ≤ β < 1 مطابقت دارد .

تبدیل سرعت ها

[ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: دیفرانسیل فرمول جمع تابع و سرعت

تبدیل سرعت ها تعریفی را ارائه می دهد که علاوه بر سرعت نسبیتی ⊕ ، ترتیب بردارها برای منعکس کننده ترتیب جمع سرعت ها انتخاب شده است. ابتدا v (سرعت F' نسبت به F) سپس u (سرعت X نسبت به F') برای به دست آوردن u = v ⊕ u " (سرعت X نسبت به F) .

تعریف سرعت مختصات و ضریب لورنتس توسط

$\mathbf {u} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {u} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt '}}\,,\quad \gamma _{\mathbf {v} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}}$

گرفتن دیفرانسیل در مختصات و زمان تبدیل های برداری، سپس تقسیم معادلات، منجر به

$\mathbf {u} '={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}\left[{ \frac {\mathbf {u} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}\left(\mathbf {u} \ cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v} \right]$

سرعت های u و u سرعت یک جسم پرجرم است . آنها همچنین می توانند برای یک فریم اینرسی سوم باشند (مثلاً F ")، در این صورت باید ثابت باشند . هر یک از موجودات را با X مشخص کنید. سپس X با سرعت u نسبت به F یا به طور معادل با سرعت u نسبت به F حرکت می کند، به نوبه خود F با سرعت v نسبت به F حرکت می کند. تبدیل های معکوس را می توان به روشی مشابه بدست آورد یا مانند مختصات موقعیت، u و u را مبادله کنید و v را به −v تغییر دهید .

تبدیل سرعت در انحراف ستاره ای , آزمایش فیزو , و اثر نسبیتی داپلر مفید است .

تبدیل‌های لورنتس شتاب را می‌توان با گرفتن دیفرانسیل در بردارهای سرعت و تقسیم آن بر دیفرانسیل زمانی به‌دست آورد.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی